1. Encontrar una fórmula que exprese la suma parcial de las

1. Encontrar una fórmula que exprese la suma parcial de las siguientes series y, si es posible,
determinar su límite. Este límite se conoce como la suma de la serie.

(a)  n1 n 3  n  1 3 
Solución:
Para determinar la fórmula que exprese la suma parcial de la serie analizaremos cual
es el comportamiento que tiene los términos de la misma.
S1  1  8
S 2  1  8  8  3  27
S 3  1  8  8  3  27  27  64
...
S n  1  8  8  3  27  27  64 . . . n  1 3  n 3   n 3  n  1 3 
S n  1  n  1 3
Por tanto la fórmula que nos permite expresar la suma parcial de la serie

 n1 n 3  n  1 3  es S n  1  n  1 3
Luego, lim S n lim 1  n  1 3   

(b)  n1
n
n
1
nn1n2
Solución:
Mediante fracciones parciales tenemos que:


1
1
1
1
  n1 2n
 n1
 2n2
 n1 nn1n2
Luego:
S 1  12  12  16
S 2  12  12  16
S 3  12  12  16
S 4  12  12  16
...
S n  12  12  16



1
4
1
4
1
4



1
3
1
3
1
3



1
8
1
8
1
8


1
6
1
6


1
4
1
4


1
10
1
10

1
10

1
6

1
14

1
4

1
3

1
8

1
6

1
4

1
10

1
10

1
6

1
14
1
. . .  n1

Si observamos a simple vista no podemos encontrar alguna fórmula que nos permita
expresar la suma parcial de la serie dada, pero observemos lo siguiente:
1
2n
1
1
1
1
1
1
 2n2
 2n
 2n1
 2n1
 2n2
n1

1
1
1
1
1
 n2
 n1
donde
n  n1
n1 2

1
1
1
 n1
son dos series telescópicas, por
n1 2
n2




1
2

 n1
1
2
1
n
1
n

1
n1
1
n1


1
n2

y
tanto para nuesra serie inicial
tenemos que:
1
1
S n  12 1  n1
  12  n2
 
1
1
 n2
Luego, lim S n lim 12  12  n1

n
n
1 1
1
1
 n2
  n1
2 2
1
 12  14
2

1
1
n1

(c)  n1
1
n3

1
n1 3
Solución:
Para determinar la fórmula que exprese la suma parcial de la serie analizaremos cual
es el comportamiento que tiene los términos de la misma.
S 1  1  18
1
S 2  1  18  18  27
1
S 3  1  18  18  27
 271  641
...
1
8
1
n1 3
Sn  1 
Sn  1 

1
8

1
27

1
27

1
64
. . .   n13 
1
n3

1
n1 3
Por tanto la fórmula que nos permite expresar la suma parcial de la serie
1
1
 1 3 es S n  1  n1

3
n3

n1
n1
Luego, lim S n lim 1 
n

1
n0
n
1
n1 3
1
(d) 
Solución:
Para determinar la fórmula que exprese la suma parcial de la serie analizaremos cual
es el comportamiento que tiene los términos de la misma.
S0  1
S1  1  1
S2  1  1  1
S3  1  1  1 
...
S n  1  1  1  1 . . . 1 . . .
Sn  n  1

Por tanto la fórmula que nos permite expresar la suma parcial de la serie  n0 1 es
Sn  n  1
Luego, lim n  1  
n
2