Métodos de Antitransformación

Procesamiento Digital de Señales
Octubre 2012
PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES
Transformada Z
-
(Parte II)
Métodos de Antitransformación
Hay tres métodos de antitransformación, o “Transformación Z Inversa” para obtener la
función f(kT) a partir de F(z), basados en: a) el desarrollo de una serie infinita de potencias,
b) el desarrollo de fracciones parciales, y c) la integral curvilínea.
a) Obtención de la Transfotmada Z inversa desarrollando F(z) en una serie infinita
de potencias.
f(0) = 0
Si se desarrolla F(z) en una serie de potencias convergente , es decir:
f(T) = 10
f (kT ). z k f (0) f (T ). z 1 f (2T ). z 2 ....
f(2T) = 30
i 0
se pueden determinar los valores de f(kT) por simple inspección.
f(3T) = 70
Si F(z) tiene la forma de una función racional, se puede lograr el desarrollo f(4T) = 150
en una serie infinita de potencias, simplemente dividiendo el numerador en
el denominador. Si la serie resultante es convergente, los coeficientes de z -k en la serie
son los valores de f(kT) de la secuencia temporal.
Nota: Para obtener los coeficientes de la división se debe escribir tanto el numerador
como el denominador, en orden creciente de la variable z-k.
Desventajas del método: Aunque este método da los valores de f(0), f(T), f(2T), ... etc.,
en forma secuencial, habitualmente es difícil obtener a partir de estos coeficientes la
expresión del término general de la sucesión.
Ejemplo 1:
Hallar f(kT) para k=1, 2, 3, 4, , cuando F(z) está dado por
F ( z)
10 z
( z 1)( z
10 z 1
1 3z 1 2 z
2)
2
Efectuando la división:
10z-1
1-3z-1+2z-2
-10 z-1+30 z-2-20 z-3
10 z-1+30 z-2+70 z-3 +150 z-4
-2
-3
-4
-30 z +90 z -60 z
70z-3 - 60 z-4
-70z-3+210z-4- 140 z-5
150z-4- 140 z-5
-150z-4+ 450 z-5- 300 z-6
310z-5- 300 z-6
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Ejemplo 2:
Hallar f(kT) para k=1, 2, 3, 4, , cuando F(z) está dado por
7 z 2 19 z
( z 2 5 z 6)
F ( z)
7 19 z 1
1 5z 1 6 z
2
Efectuando la división:
F(z) = 7 + 16 z-1 + 38 z-2+94 z-3 +242 z-4+ ...
f(kT) = 7δ(k) +16 δ(k-1) + 38 δ(k-2)+94 δ(k-3)+242 δ(k-4)
Esta serie infinita no converge. Por simple inspección se obtiene:
f(0) = 7 ; f(T) = 16 ; f(2T) = 38 ; f(3T) = 94 ; f(4T) = 242
b) Método de obtención de la Transformada Z inversa desarrollando F(z) en
fracciones parciales
F ( z)
en
z
fracciones parciales y la identificación de cada uno de los términos en la tabla de
transformadas.
b z m b z m 1 b z m 2 ... bm 1z bm
; con m ≤ n
F ( z) 0 n 1 n 1 2 n 2
a0 z a1z
a2 z
... an 1z an
Primero se debe descomponer el denominador de F(z) encontrando las raíces o “polos”.
F ( z)
Luego se desarrolla
en fracciones parciales de manera de poder reconocer cada
z
término en una tabla de transformadas Z. La transformada Z inversa de F(z) es la suma
de todas las transformadas Z inversas de las fracciones parciales.
Este método se basa en obtener el desarrollo en fracciones parciales de
Ejemplo 1: Hallar la f(kT) si F(z) está dada por: F ( z )
10 z
( z 1)( z 2)
F ( z)
en fracciones parciales:
z
F ( z)
10
10 z 10 z
z
( z 1)( z 2) z 1 z 2
De la Tabla de Transformadas (se muestra más adelante) se obtiene:
Primero se desarrolla
Z
z
1
z 1
1 ; Z
1
z
z 2
2k ,
por lo tanto: f(kT) = 10 (-1 + 2k) , con k = 0, 1, 2,
3, ...
O bien:
f(0) = 0 ; f(T) = 10 ; f(2T) = 30 ; f(3T) = 70 ; f(4T) = 150
Estos resultados coinciden con los obtenidos por el método de la división de polinomios.
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c) Método de obtención de la Transformada Z inversa por la Integral curvilínea
Este método se utiliza aplicando la integral curvilínea sobre el círculo unitario (en el plano
z-1) en el sentido antihorario, a ambos miembros de la ecuación (α):
F ( z 1)
f (kT ) z
k
f (0)
f (T ) z
1
f (2T ) z
2
...
f (kT ) z
k
(α)
...
k 0
Multiplicando ambos miembros de (α) por z k-1, esto es:
F ( z 1 ) z k 1dz
f (0)z k 1dz
f (T ) z k 2dz
f (2T ) z k 3dz ...
f (kT) z 1dz ...
Por el Teorema de Cauchy, todos los términos del segundo miembro de la ecuación son
iguales a cero, excepto el término f (kT) z 1dz , por lo tanto:
F ( z 1 ) z k 1dz
f (kT )
f (kT) z 1dz , de donde obtenemos:
1
F ( z 1 ) z k 1dz Esta ecuación se puede calcular como:
2 j
f (kT)
Residuos de F ( z) z k 1en los polos de F ( z)
Ejemplo:
10 z
( z 1)( z 2)
Obtener f(kT) utilizando el método de la integral curvilínea, siendo: F ( z )
Resolución:
1
10 z
f (kT )
z k 1dz
2 j ( z 1)(z 2)
Res
(*)
10 z k
( z 1)
Res
z 1
10 z k
( z 2)
1
2 j
10 z k
( z 1)
10 10.2k
10 z k
dz =
( z 2)
(*)
; con k = 0, 1, 2, 3, ...
z 2
Para el caso de un polo simple se tenía: Res f ( z ) z
a
Res
p( z )
q( z )
z a
p(a)
q' (a)
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EXPANSIÓN EN FRACCIONES PARCIALES
P( s )
Q( s )
H ( s)
Sea
an s n ..... a1s ao
, con n<m
bm s m ..... b1s bo
Caso 1: Si las m raíces del denominador son simples, entonces el denominador puede
descomponerse como:
Q( s) ( s s1 )( s s2 )...(s sm ) , donde s1 , s2 , ..., sm son las raíces
Por lo tanto, el desarrollo puede escribirse como:
H ( s)
an s n ..... a1s ao
( s s1 )( s s1 )...(s sm )
A
s s1
B
s s2
...
K
s sm
donde
A lim( s s1 ) H ( s )
s
B
s1
lim( s s2 ) H ( s )
s
s2
...
K
lim ( s sm ) H ( s )
s
Ejemplo:
sm
H (s)
s
( s 1)( s 2)
s
( s 1)( s 2)
s
lim( s 2)
( s 1)( s 2)
s 2
A lim( s 1)
s 1
s 2
2
s
( s 1)( s 2)
H (s)
Caso 2:
B
1
s 1
B
A
2
1
s 2
s 1
Q(s) presenta raíces reales múltiples
H ( s)
an s n an 1s n 1 ..... ao
( s s1 ) ( s s2 ) ...( s sm )
P( s )
Q(s)
donde α, β y γ son los órdenes de multiplicidad de las raíces.
Las constantes se calculan como:
Ai ,mi
1
j 1
lim
( j 1)! s
si
dj i
(s si )m F (s)
j i
ds
Ejemplo:
H ( s)
s2 s 1
s3 (s 1)2
A
s
B
s2
C
s3
D
( s 1)
E
(s 1)2
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Calculamos las constantes:
1
d2
2
lim 2 ( s 0)3 s3 s 12
s
( s 1)
s
0
2
ds
A
2
d 3 s2 s 1
s 3
1
s ( s 1)2
s 0 ds
2
C s 3 s3 s 12 |S 0 1
s ( s 1)
d
2
D lim
( s 1) 2 s3 s 12
s
( s 1)
s
1ds
B
lim
2
lim ( s 1) 2 s3 s 12
s ( s 1)
1
E
2
1
s
s2 s 1
s3 (s 1)2
H ( s)
2
s
1
s2
1
s3
2
( s 1)
1
( s 1)2
Caso 3:
a) Raíces imaginarias simples:
P( s)
Q( s )
H (s)
H (s)
Ejemplo:
A lim
s
B
C
s
0
1
2
( s 4)
lim
s
j2
lim
j2
s
s(s
2
1
( s a ) ( s 2 c)
A
s
4)
(OJO Revisar)
2
B
s
C
j2
s
j2
1
4
1
8
1
8
s
s ( s j 2)
s
s ( s j 2)
1
H ( s)
s( s 2
4)
1
4s
1
8
s
1
8
2j
s
2j
b) Raíces imaginarias múltiples
Ejemplo:
H (s)
1
(s
2
4)
2
A
(s 2 j)
B
(s 2 j)2
C
(s
j 2)
D
(s 2 j)2
Al determinar las constantes obtenemos:
H (s)
1
8
1
(s
2
4)
2
(s
j
2 j )2
1
8
(s
j
j 2) 2
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APLICACIONES DE LA TRANSFORMADA Z
Transformación y Antitransformación usando la Tabla de Transformadas
Ejercicio 1:
Encontrar la función transferencia H(z-1) del STD asociado a la ecuación de diferencias:
y(k) – a y (k-1) – x(k)=0
Resolución:
Si y(k) , x(k) son funciones causales, y existen Z[y(k)] = Y(z-1) y Z[x(k)] = X(z-1)
Y(z-1) – a z-1 Y(z-1) – X(z-1)=0
Y(z-1) [1– a z-1 ] = X(z-1)
Y (z 1)
X (z 1)
H (z 1)
1
1 az
1
Ejercicio 2:
Usando la función transferencia del ejercicio anterior, encontrar la respuesta y(k) del STD,
para las siguientes funciones de entradas x(k): a) impulso δ(k) ; b) escalón u(k)
Resolución:
1
Sabiendo que H ( z 1 )
,
1 az 1
1
y H (z )
Y (z 1)
, entonces: Y ( z 1 )
1
X (z )
a) x(k)= q δ(k) =
q
k=0
0
k<0
H ( z 1 ). X ( z 1 )
Antitransformando esta expresión, obtenemos la respuesta y(k):
b) x(k)= h u(k) =
h
k >= 0
0
k<0
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Para antitransformar esta expresión, es necesario separarla en sumandos antitransformables
individualmente. Esto puede resolverse por descomposición en fracciones parciales, o
fracciones simples, por suma de residuos según el método de la integral curvilínea, etc.
Igualando término a término, vemos que:
→
→
→
→
Y reemplazando en la primera expresión:
;
Estos términos sumados son antitransformables, y podemos asociar cada módulo con una
transformada en la tabla. De esta manera obtenemos la respuesta en el tiempo:
Se puede distinguir una respuesta transitoria, la exponencial ak , que tiende a desaparecer en
el tiempo, y una respuesta permanente debida a la función de entrada.
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