Matemáticas 1203, 2013 Semestre II Parcial 1 SOLUCIONES

Matemáticas 1203, 2013 Semestre II Parcial 1 SOLUCIONES

Matemáticas 1203, 2013 Semestre II
Parcial 1
SOLUCIONES
Duración del examen: 80 minutos
Pregunta 1: Resuelva las siguientes desigualdades para x, encontrando el
conjunto de todos los x que lo satisface. Escriba el conjunto de soluciones como
una unión de intervalos.
(i)
|
1
1
−
|>0
x 1−x
Solución: Se puede poner todo sobre un denominador común, y se vuelve
|
(1 − x) − x
|>0
x · (1 − x)
|
1 − 2x
| > 0.
x · (1 − x)
o
Ahora el valor absoluto de cualquier número es siempre mayor o igual a 0,
y la única manera de que pueda ser igual a 0 es si el número mismo sea 0.
También hay que considerar que el denominador x · (1 − x) no puede ser cero
(no se puede dividir por cero). Así que tenemos tres condiciones simultaneas en
x:
1 − 2x 6= 0,
x 6= 0,
1 − x 6= 0.
En resumen, la desigualdad original se cumple para todos los valores de x
que no son 21 ni 0 ni 1.
El conjunto de todos los x que satisfacen la desigualdad es:
1
1
(−∞, 0) ∪ (0, ) ∪ ( , 1) ∪ (1, ∞).
2
2
(ii)
ln(x2 + 3x + 3) ≥ 1
1
Solución: Nótese que ln(a) ≥ 1 es equivalente a que eln(a) ≥ e1 = e, es
decir, que a ≥ e. Así que la desigualdad se puede reescribir como
x2 + 3x + 3 ≥ e.
La ecuación
x2 + 3x + 3 = e
se puede resolver por la fórmula cuadrática, que da
p
−3 ± 9 − 4(3 − e)
.
x=
2
Ahora se nota que la expresión x2 + 3x + 3 tiende al infinito cuando x tiende a
∞ o a −∞, y por lo tanto x2 + 3x + 3 ≥ e para x muy grande o muy pequeño.
Se concluye que la desigualad original es válida para todos los x en
p
p
−3 − 9 − 4(3 − e)
−3 + 9 − 4(3 − e)
(−∞,
)∪(
, ∞).
2
2
Pregunta 2: Dibuje la gráfica y = f (x) de una función f que cumpla con
todas las siguientes propiedades:
(i) El dominio de f es todo R,
(ii) limx→2+ f (x) = 1,
(iii) limx→2− f (x) = −1,
(iv) limx→∞ f (x) = −∞,
(v) f es par (es decir, f (−x) = f (x) para todo x).
Solución: Hay muchas soluciones posibles a este problema. Nótese que por
la condición (v), la gráfica debe ser simétrica con respecto al eje y.
Pregunta 3: Dibuje las gráficas de todas las siguientes funciones, mostrando
claramente los rasgos importantes de la curva y = f (x) (donde cruza los ejes,
donde es creciente o decreciente, las asíntotas (si las tiene)).
(i)
f (x) = 2 cos(x + π/4) + 2
Solución: Es una curva similar a y = cos(x). Sin embargo, está centrado
en y = 2 y tiene una amplitud de 2, es decir, los valores de y se oscilan entre
0 y 4. Además, cambiar cos(x) a cos(x + π/4) efectúa una translación de π/4
unidades hacia la izquierda.
2
(ii)
f (x) =
1
(x − 1)3
Solución: Es similar a la curva y = x13 , pero trasladada por 1 unidad hacia
la derecha, para que la asíntota verical se ubique en x = 1. Cuando x tiende a
1
∞ o a −∞, la cantidad (x−1)
3 tiende a 0, así que hay una asíntota horizontal
en el eje x. La función es creciente en (−∞, 1) y decreciente en (1, ∞).
(iii)
f (x) = −2 · (2−x )
Solución: Es una curva exponencial. Nótese que 2−x siempre es positivo,
así que los valores de f (x) siempre son negativos (la gráfica se encuentra por
debajo del eje x). Cuando x tiende a ∞, entonces f (x) tienda a 0 (el eje x es una
asíntota horizontal). Cruza el eje y en el punto (0, −2) y siempre es creciente.
Pregunta 4: Calcule los límites abajo, si existen, o en caso que un límite
no existe, explique por qué no. En caso que un límite sea ∞ o −∞, diga eso.
(i)
lim
x→2
x−3
x2 − 5x + 6
Solución: Factorizamos:
= lim
x→2
Ahora la función f (x) =
1
x−3
= lim
.
(x − 2)(x − 3) x→2 x − 2
1
x−2
se comporta similar a
lim
x→2−
1
x:
es decir,
1
= −∞
x−2
y
1
= ∞,
x−2
así que el límite original (por ambos lados) no existe.
lim
x→2+
(ii)
r
lim
x→1
x−2
x2 − 1
Solución: Se puede pasar el límite adentro de la raíz cuadrática:
s
r
x−2
x−2
= lim 2
= lim
,
x→1 x − 1
x→1 (x − 1)(x + 1)
3
si el límite existe. Sin embargo,
lim
x→1−
y
lim
x→1+
x−2
=∞
(x − 1)(x + 1)
x−2
= −∞,
(x − 1)(x + 1)
así que el límite no existe.
(iii)
lim ln(x2 + 1)
x→∞
Solución: Nótese que
lim (x2 + 1) = ∞
x→∞
y
lim ln(x) = ∞,
x→∞
así que cuando x se vuelve muy grande, también x2 + 1 y ln(x2 + 1) se crecen
sin cota, y
lim ln(x2 + 1) = ∞.
x→∞
(iv)
2x3 + 1
x→∞ x2 + 3x3
lim
Solución:
2 + limx→∞ x13
2 + x13
2x3 + 1
=
=
lim
x→∞ 1 + 3
x→∞ x2 + 3x3
3 + limx→∞ x1
x
lim
=
2
.
3
Pregunta 5: Para cada parte, la fórmula da los valores de f (x) para x > 0.
Si f es continua en 0, entonces diga cuál es el valor de f (0).
(i)
f (x) =
√
2x2 − x
√
x
Solución: Es cuestión de encontrar el límite
√
2x2 − x
√
lim
= lim 2x3/2 − 1 = 2 · 03/2 − 1 = −1,
x→0+
x→0+
x
4
así que si definimos f (0) = −1, entonces será continua en x = 0.
(ii)
f (x) =
ln(3x2 )
ln(x)
Solución: Nótese que para todo x > 0,
ln(3x2 )
ln(3) + 2 ln(x)
=
ln(x)
ln(x)
=
ln(3)
+ 2.
ln(x)
Ahora limx→∞ ln(x) = ∞ y limx→∞
arriba es 2.
5
1
ln(x)
= 0, y el límite de la expresión