1 Tema III Funciones de varias variables 1. INTRODUCCI´ON

1 Tema III Funciones de varias variables 1. INTRODUCCI´ON

1
Tema III
Funciones de varias variables
1.
INTRODUCCIÓN
Vamos a estudiar funciones de ciertos subconjuntos de Rn en Rm . En los
temas anteriores nos hemos centrado en aplicaciones lineales y hemos trabajado
con ellas. En lo que sigue no se le va a dar excesiva importancia a la estructura de
espacio vectorial de Rn o Rm sino que trataremos y estudiaremos nuevas nociones
como son la “continuidad” o la “diferenciación”.
1.1 Def: Recordamos que una aplicación de un subconjunto X (de Rn )
en un subconjunto Y (de Rm ) no es más que una regla que asigna a los elementos
de X (n-uplas de números reales) elementos de Y (m-uplas de números reales).
Más estrictamente se define una aplicación de X en Y como un subconjunto de
X × Y , digamos f , tal que si (x, a), (y, b) ∈ f y x = y, entonces a = b.
1.2 Recordamos que dada una aplicación f : X → Y a X se le denomina el
dominio de f y a Y se le denomina el codominio de f . Se define la imagen de
f , y se representa por Im(f ), como Im(f ) = {f (x) x ∈ X}.
Nota: Normalmente la forma de darnos una aplicación f será darnos una
cierta regla de asignación entre elementos de Rn y Rm . En este caso se entenderá
que el dominio de f , que representaremos por Dom(f ), será el conjunto más grande
en donde esta asignación tenga sentido.
1.3 Ejemplos: de R en R,
? Las funciones constantes: dado a ∈ R
f (x) = a
y su dominio es:
Dom(f ) = R
? Las funciones polinómicas: dados a0 , a1 , . . . , as ∈ R,
f (x) = a0 + a1 x + . . . + as xs
y su dominio es:
Dom(f ) = R
? Las funciones racionales: dados con ao , . . . , as , bo , . . . , br ∈ R,
f (x) =
a0 + a1 x + . . . + as xs
p(x)
=
b0 + b1 x + . . . + br xr
q(x)
Dom(f ) = R − {s ∈ R | q(s) = 0}
2
? Las funciones trigonométricas:
Sen(x), Cos(x)
Dom(−) = R
CoSec(x)
π
k ∈ Z}
2
π
Dom(−) = R − {kπ +
k ∈ Z}
2
Dom(−) = R − {kπ k ∈ Z}
CoT an(x)
Dom(−) = R − {kπ
T an(x)
Dom(−) = R − {kπ +
Sec(x)
ArcSen(x), ArcCos(x)
k ∈ Z}
Dom(−) = [−1, 1]
Arctg(x)
Dom(−) = R
? Las funciones exponenciales:
f (x) = ax
y su dominio es:
Dom(f ) = R.
? Las funciones logarı́tmicas: a ∈ R+ −{0}, en donde R+ = {x ∈ R | x ≥ 0}.
f (x) = Loga (x)
Dom(f ) = R+ − {0}
y su dominio es:
Notación: El logaritmo Neperiano (logaritmo en base e) lo denotaremos por
Ln(x) y el logaritmo decimal (logaritmo en base 10) lo denotaremos por Log(x).
? Las funciones a ramas:

 f1 (x)
f (x) = f2 (x)

f3 (x)
x < a1
a1 ≤ x ≤ a2
x > a2
Dom(f ) = (Dom(f1 )∩(−∞, a1 ))∪(Dom(f2 )∩[a1 , a2 ])∪(Dom(f3 )∩(a2 , −∞))
Nota: Las representación gráfica de las funciones anteriores las puedes encontrar al final de este documento.
1.4
Ejemplos: de funciones de Rn en Rm :
? Las proyecciones: son aplicaciones fi : Rn → R con i = {1, 2, . . . , m} definida
por,
f (x1 , x2 , . . . , xn ) = xi
3
A partir de todas las funciones anteriores podemos construir una gran cantidad de ejemplos: podemos hacer sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, potencias o composiciones de las anteriores, con lo que nos quedan ejemplos como:
z
? f (x, y, z) = ( Sen(xy)e
x2 +y 2 +z 2 , xz)
Dom(f ) = R3 − {(0, 0, 0)}
? f (x, y) = (Ln(x)/y, x+Sen(y), x+3), Dom(f ) = {(x, y) ∈ R2 | x > 0, y 6= 0}
? Las funciones a ramas: en este caso no se definirán a partir de intervalos de
R, sino que se dividirá Rn en “trozos”, definiéndose la función en cada uno
de los trozos de distinta forma, ejemplo:

 x2 + y 2
x2 + y 2 < 1
f (x, y) = 0
x2 + y 2 = 1
 x
e
x2 + y 2 > 1
Nota: Los trozos en que está partido R2 en el ejemplo anterior son:
2.
Lı́MITES EN FUNCIONES DE R EN R.
2.1 Definición: Dada una función f : (a, b) → R y dado x0 ∈ [a, b] se dice
que el lı́mite cuando x tiende a x0 de f (x) es l si:
∀ ² > 0, ∃ δ > 0 tal que si |x − x0 | ≤ δ, ⇒ |f (x) − l| ≤ ²
es decir, para todo ² > 0 existe un δ > 0 tal que si |x − x0 | ≤ δ, entonces
|f (x) − l| ≤ ², y se representa por limx→x0 f (x) = l.
4
Esto a grosso modo quiere decir que si x se aproxima a x0 , entonces f (x)
se aproxima a l. Calcular un lı́mite “a pelo”, es decir, usando simplemente la
definición es muy complicado. La siguiente proposición nos ayudará a resolver
este problema.
2.2 Teorema Sean f, g : (a, b) → R dos funciones con a, b ∈ R, a < b.
Supongamos que limx→x0 f (x) = l y limx→x0 g(x) = l0 , con x0 ∈ [a, b]. Entonces:
(i) limx→x0 (f (x) + g(x)) = l + l0 .
(ii) limx→x0 f (x)g(x) = l · l0 .
(iii) Si l0 6= 0, entonces limx→a
f (x)
g(x)
=
l
l0 .
0
(iv) limx→a f (x)g(x) = ll .
2.3
Ejemplos.
? Si f (x) es una función constante, f (x) = a con a ∈ R, entonces para
cualquier x0 ∈ R,
lim f (x) = a
x→x0
? Si f (x) es la función identidad, f (x) = x para todo x ∈ R, entonces para
cualquier x0 ∈ R,
lim f (x) = x0
x→x0
Por tanto, con los ejemplos anteriores y la proposición (2.2):
? Si f (x) es una función polinómica, f (x) = a0 + a1 x + . . . + as xs , y x0 ∈ R,
lim f (x) = a0 + a1 x0 + . . . + as xs0
x→x0
? Si f (x) es una función racional, f (x) =
(= f (x0 ))
a0 +a1 x+...+as xs
b0 +b1 x+...+br xr
a0 + a1 x0 + . . . + as xs0
lim f (x) =
x→x0
b0 + b1 x0 + . . . + br xr0
=
p(x)
q(x)
y q(x0 ) 6= 0,
(= f (x0 ))
Hasta este momento hemos definido el lı́mite de una función f : (a, b) → R
en un punto x0 ∈ [a, b], nos podemos plantear ahora algunas generalizaciones de
lı́mite:
5
Si consideramos la función f (x) = x12 e intentamos calcular limx→0 f (x) nos
damos cuenta que cuanto más nos acercamos a cero, la función mas grande se
hace. Ver gráfica:
Con esta idea vamos a dar las nociones de lı́mite infinito (=∞) y lı́mite menos
infinito (=-∞).
2.4 Definición: Dada una función f : (a, b) → R y dado x0 ∈ [a, b]:
? Se dice que el lı́mite cuando x tiende a x0 de f (x) es infinito, y se representa
por limx→x0 f (x) = ∞, si:
∀M ∈ R, ∃δ > 0 tal que si |x − x0 | ≤ δ, ⇒ f (x) ≥ M,
es decir, para todo M ∈ R existe un δ > 0 tal que si |x − x0 | ≤ δ, entonces
f (x) ≥ M .
? Se dice que el lı́mite cuando x tiende a x0 de f (x) es menos infinito, y se
representa por limx→x0 f (x) = −∞, si:
∀M ∈ R, ∃δ > 0 tal que si |x − x0 | ≤ δ, ⇒ f (x) ≤ M,
es decir, para todo M ∈ R existe un δ > 0 tal que si |x − x0 | ≤ δ, entonces
f (x) ≤ M .
Si tenemos una función f : R → R podrı́amos también calcular el lı́mite
cuando x tiende a infinito o a menos infinito.
? Se dice que el lı́mite cuando x tiende a infinito de f (x) es l, y se representa
por limx→∞ f (x) = l, si:
∀² > 0, ∃N ∈ R tal que si x ≥ N, ⇒ |f (x) − l| ≤ ²,
6
es decir, para todo ² > 0 existe N ∈ R tal que para todo x ≥ N , |f (x) − l| ≤ ².
? Se dice que el lı́mite cuando x tiende a menos infinito de f (x) es l, y se
representa por limx→−∞ f (x) = l, si:
∀² > 0, ∃N ∈ R tal que si x ≤ N, ⇒ |f (x) − l| ≤ ²,
es decir, para todo ² > 0 existe N ∈ R tal que para todo x ≤ N , |f (x) − l| ≤ ².
? Se dice que el lı́mite cuando x tiende a infinito de f (x) es infinito, y se
representa por limx→∞ f (x) = ∞, si:
∀M ∈ R, ∃N ∈ R tal que si x ≥ N, ⇒ f (x) ≥ M,
es decir, para todo M ∈ R existe N ∈ R tal que si x ≥ N , f (x) ≥ M .
? Se dice que el lı́mite cuando x tiende a infinito de f (x) es menos infinito, y
se representa por limx→∞ f (x) = −∞, si:
∀M ∈ R, ∃N ∈ R tal que si x ≥ N, ⇒ f (x) ≤ M,
es decir, para todo M ∈ R existe N ∈ R tal que si x ≥ N , f (x) ≤ M .
? Se dice que el lı́mite cuando x tiende a menos infinito de f (x) es infinito, y
se representa por limx→−∞ f (x) = ∞, si:
∀M ∈ R, ∃N ∈ R tal que si x ≤ N, ⇒ f (x) ≥ M,
es decir, para todo M ∈ R existe N ∈ R tal que si x ≤ N , f (x) ≥ M .
? Se dice que el lı́mite cuando x tiende a menos infinito de f (x) es menos
infinito, y se representa por limx→−∞ f (x) = −∞, si:
∀M ∈ R, ∃N ∈ R tal que si x ≤ N, ⇒ f (x) ≤ M,
es decir, para todo M ∈ R existe N ∈ R tal que si x ≤ N , f (x) ≤ M .
Como ejemplo de estos lı́mites tenemos: Supongamos que la gráfica de la
función f : R → R es,
7
Entonces:
lim f (x) = 1
x→−∞
lim f (x) = −∞
x→4
lim f (x) = ∞
x→−3
lim f (x) = ∞
x→∞
Nos encontramos otra vez con que el cálculo de estos lı́mites “a pelo” no es fácil.
Además, la proposición (2.2) no es cierta cuando aparecen lı́mites infinitos. No
obstante el siguiente teorema nos ayudará en el cálculo.
2.5 Teorema Sean f, g dos funciones. Supongamos que existen los lı́mites:
limx→a f (x) = l y limx→a g(x) = l0 , en donde l, l0 pueden ser o números reales o
±∞. Entonces, salvo en los casos indeterminados:
(i) limx→a (f (x) + g(x)) = l + l0 .
(ii) limx→a f (x)g(x) = l · l0 .
(iii) limx→a
f (x)
g(x)
=
l
l0 .
0
(iv) limx→a f (x)g(x) = ll .
Casos indeterminados: ∞ − ∞, 0 · ∞,
∞ 0
∞, 0,
1∞ ,
a
0
con a ∈ R.
Observación: Podemos calcular de forma fácil el lı́mite de cualquier función
polinómica y con algún esfuerzo el lı́mite de cualquier función racional.
2.6
Ejemplos.
? Si f (x) es una función polinómica, f (x) = a0 + a1 x + . . . + an xn :
8
a) Si x0 ∈ R, limx→x0 f (x) = a0 + a1 x0 + . . . + an xn0 (= f (x0 ))
Para lı́mites más (o menos) infinito, la indeterminación (∞ − ∞) desaparece
si multiplicamos y dividimos por x elevado al grado del polinomio.
lim a0 + a1 x + . . . + an xn = lim xn (
x→±∞
x→±∞
a0
a1
+ n−1 + . . . + an ) =
n
x
x
b) Si x0 = ∞,
limx→x0 f (x) = Sig(an ) · ∞.
c) Si x0 = −∞ y n par,
limx→x0 f (x) = Sig(an ) · ∞.
d) Si x0 = −∞ y n impar,
limx→x0 f (x) = −Sig(an ) · ∞.
Nota: en donde Sig(a) denota el signo de a.
? Si f (x) es una función racional, f (x) =
a) Si x0 ∈ R y q(x0 ) 6= 0 limx→x0 f (x) =
a0 +a1 x+...+as xs
b0 +b1 x+...+br xr
a0 +a1 x0 +...+as xs0
b0 +b1 x0 +...+br xr0
=
p(x)
q(x) ,
(= f (x0 ))
Si el denominador se anula, la indeterminación ( a0 con a ∈ R) desaparece si
factorizamos ambos polinomios sacando todos los posibles factores del monomio
x − x0 . Si factorizamos (por ejemplo aplicando Ruffini) llegarı́amos a:
p(x) = (x − x0 )s p0 (x)
q(x) = (x − x0 )r q 0 (x)
y entonces:
lim f (x) = lim
x→x0
x→x0
(x − x0 )s p0 (x)
(x − x0 )r q 0 (x)
Quedando, una vez que se simplifica la expresión anterior:
b) Si r = s,
limx→x0 f (x) = limx→x0
p0 (x)
q 0 (x) .
c) Si r < s:
limx→x0 f (x) = limx→x0
(x−x0 )s−r p0 (x)
q 0 (x)
= 0.
d) Si r > s y r − s par:
limx→x0 f (x) = limx→x0
p0 (x)
(x−x0 )r−s q 0 (x)
= α · ∞,
en donde α = Sig(limx→x0
e) Si r > s y r − s impar:
p0 (x)
q 0 (x) )
limx→x0 f (x) = limx→x0
p0 (x)
(x−x0 )r−s q 0 (x)
=6 ∃
No existe (se va por un lado a infinito y por otro a menos infinito).
9
Los lı́mites infinitos quedan (aparecen indeterminaciones
∞
∞ ):
as
bs .
f) Si x0 = ∞ y s = r,
limx→x0 f (x) =
g) Si x0 = ∞ y s > r,
limx→x0 f (x) = Sig( abrs ) · ∞
h) Si x0 = ∞ y s < r,
limx→x0 f (x) = 0.
g) Si x0 = −∞ y s = r,
limx→x0 f (x) =
h) Si x0 = −∞ y s > r,
limx→x0 f (x) = α · Sig( abrs ) · ∞
as
bs .
En donde α = +, si r y s son ambos pares o impares, y α = − en caso
contrario.
i) Si x0 = −∞ y s < r,
limx→x0 f (x) = 0.
? Si f (x) es una función trigonométrica:
a) Si x0 ∈ Dom(f ),
limx→x0 f (x) = f (x0 ).
En los siguientes casos los lı́mites no existen (ver gráfica):
b) Si x0 = kπ +
c) Si x0 = kπ +
π
2
π
2
con k ∈ Z,
limx→x0 T an(x).
con k ∈ Z,
limx→x0 Sec(x).
d) Si x0 = kπ con k ∈ Z,
limx→x0 CoSec(x).
e) Si x0 = kπ con k ∈ Z,
limx→x0 CoT an(x).
f) Si x0 = ±∞, de todas las funciones trigonométricas sólo existen los lı́mites: (ver
gráfica),
π
π
lim ArcT an(x) =
lim ArcT an(x) = −
x→∞
x→−∞
2
2
lim ArcCoT an(x) = 0
x→∞
lim ArcCoT an(x) = π
x→−∞
? Si f (x) es una función logarı́tmica o exponencial:
a) Si x0 ∈ Dom(f ),
limx→x0 f (x) = f (x0 ).
b) Si x0 = ∞,
limx→∞ ax = ∞.
c) Si x0 = −∞,
limx→−∞ ax = 0.
c) Si x0 = ∞,
limx→∞ Loga (x) = ∞.
d) Si x0 = 0,
limx→0 Loga (x) = −∞.
10

 f1 (x)
? Si f (x) es una función por ramas f (x) = f2 (x)

f3 (x)
x < a1
a1 ≤ x ≤ a2
x > a2
Se calcula limx− →a1 f1 (x) y limx+ →a1 f2 (x). Si existen y coinciden f (x) tiene
lı́mite en a1 y limx→a1 f (x) = limx− →a1 f1 (x) = limx+ →a1 f2 (x). De manera
análoga para a2 .

x<a
 f1 (x)
? Si f (x) es una función por ramas f (x) = c
x=a

f3 (x)
x>a
Se calcula limx− →a f1 (x) y limx+ →a f3 (x). Si existen y coinciden f (x) tiene
lı́mite en a y limx→a f (x) = limx− →a f1 (x) = limx+ →a f3 (x).
Nota: Si nos damos cuenta en las funciones polinómica hemos resuelto inde0
terminaciones tipo ∞ − ∞ y en las funciones racionales indeterminaciones ∞
∞, 0
y (0 · ∞. Veamos un método para resolver indeterminaciones y del tipo 1∞ ).
? Aunque no es fácil de demostrar se tiene que si f (x) = (1 + x1 )x ,
lim f (x) = e = 718281...
x→∞
Por tanto si nos encontramos con unlı́mite tipo 1∞ lo que intentaremos será
escribirlo de esta forma:
2
1
)3x +5x+3 . Entonces,
Ejemplo Consideremos f (x) = (1 + 2x2 +x+1
limx→∞ f (x) = 1∞ . La forma de evitar esta indeterminación es:
2.7
lim f (x) = lim (1 +
x→∞
3.
x→∞
2
3
1
2x2 +x+1· 3x 2+5x+3
2x +x+1 = e 2
)
2
2x + x + 1
Lı́MITES PARA FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
¿ Cuál puede ser entonces la definición de lı́mite en funciones de Rn en Rm ?
Nos encontramos que primero tenemos que definir una noción de cercanı́a, es decir,
una distancia en Rn .
Observación En R la distancia entre dos puntos la mide
el valor absoluto,
p
2
2
en R la distancia entre dos puntos (x, y), p
(a, b) la mide
(x − a)2 + (y − b)2
(Teorema de Pitágoras), en R3 se mide con 2 (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 y en
general:
11
3.1 Def: Dados dos puntos x = (x1 , x2 , . . . , xn ), y = (y1 , y2 , . . . , yn ) ∈ Rn
se define la distancia “euclı́dea” de x a y, y se representa por dn (x, y), como
dn (x, y) =
p
2
(x1 − y1 )2 + . . . + (xn − yn )2
Vamos a utilizar también otras nociones que ha pasado desapercibida en R.
Por un lado, las funciones las hemos definido en subconjuntos muy especiales:
(a, b) con a < b, (a, ∞) o (−∞, b),
R. Es decir, “intervalos abiertos de R”.
3.2 Def: Se dice que un subconjunto D de Rn es abierto si para cualquier
x0 ∈ D existe δ > 0 tal que para todo x ∈ Rn , si dn (x, x0 ) ≤ δ, entonces x ∈ D.
Esto, a grosso modo, no quiere decir más que “cualquier punto de D está
rodeado por puntos de D”.
Por otro lado, dada una función f : (a, b) → R, podı́amos calcular limx→a f (x)
(aunque a no pertenece al dominio de f ). En el caso de funciones de varias variable
vamos a poder calcular también lı́mites en puntos que estén fuera del dominio,
aunque eso si, muy próximos a éste.
3.3 Def: Dado D un subconjunto de Rn se define la clausura de D, que
denotaremos por D, como
D = {x ∈ Rn | ∃ {xn } ⊂ D con lim xn = x}
n→∞
3.4 Def: Sea D un subconjunto abierto de Rn y f : D → Rm una función.
Sea a = (a1 , a2 , . . . , an ) ∈ D. Se dice que el lı́mite cuando x = (x1 , x2 . . . . , xn ) ∈ D
tiende a a ∈ D de f (x) es l = (l1 , l2 , . . . , lm ) ∈ Rm si:
∀ ² > 0, ∃ δ > 0 tal que si dn (x, x0 ) ≤ δ, ⇒ dm (f (x), l) ≤ ²
es decir, para todo ² > 0 existe δ > 0 tal que si d(x, a) ≤ δ, entonces d(f (x), l) ≤ ².
El teorema siguiente no va a servir para calcular lı́mites, no obstante va
a ser muy útil para demostrar que ciertos lı́mites no existen:
3.5 Teorema Sea D un subconjunto abierto de Rn , f : D → Rm una
función y a = (a1 , a2 , . . . , an ) ∈ D. Las siguientes condiciones son equivalentes:
(i) Existe limx→a f (x) y es l ∈ Rm .
12
(ii) Dada {xn } ⊂ D − {a} tal que limn→∞ xn = a se tiene que limn→∞ f (xn ) = l.
3.6 Ejemplo: Consideremos la función f : R2 → R definida por
f (x, y) =
x2 + y 2
.
x2 + y
Tenemos entonces que:
si consideramos la sucesión an = {( n1 , 0)},
lim an = (0, 0) y
n→∞
( n1 )2 + 0
=1
n→∞ ( 1 )2 + 0
n
lim f (an ) = lim
n→∞
si consideramos la sucesión bn = {(0, n1 )},
lim bn = (0, 0) y
n→∞
0 + ( n1 )2
=∞
n→∞ 0 + ( 1 )
n
lim f (bn ) = lim
n→∞
por lo que no existe limx→a f (x), ya que por el teorema anterior tendı́a que ser a
la vez 1 y ∞.
3.7 Ejemplo: Consideremos la función f : R2 → R definida por f (x, y) =
xy
x2 +y 2 . Tenemos entonces que:
si consideramos la sucesión an = {( n1 , 0)},
lim an = (0, 0) y
n→∞
lim f (an ) =
n→∞
1
n0
lim
n→∞ ( 1 )2 +
n
0
=0
si consideramos la sucesión bn = {(0, n1 )},
lim bn = (0, 0) y
n→∞
lim f (bn ) = lim
n→∞
n→∞
0 n1
2
0 + ( n1 )
=0
Todavı́a no podemos deducir nada (sólo sabemos que si el lı́mite existe, éste tiene
que ser cero).
Si consideramos la sucesión cn = {( n1 , n1 )},
lim cn = (0, 0) y
n→∞
lim f (cn ) = lim
n→∞
n→∞ ( 1 )2
n
1 1
nn
+
( n1 )2
1
1
=
n→∞ 2
2
= lim
13
por lo que no existe limx→(0,0) f (x), ya que por el teorema anterior tendı́a que ser
a la vez 0 y 12 .
3.8 Def: Sea D un subconjunto abierto de Rn y f : D → Rm una función.
Se define la componente i-esima de f , y se representa por fi , como la aplicación
fi : D → R que asigna a cada a ∈ D la coordenada i-esima de f (a).
3.9 Teorema Sea D un subconjunto abierto de Rn , f : D → Rm una función
y sea a = (a1 , a2 , . . . , an ) ∈ D. Las siguientes condiciones son equivalentes:
(i) Existe limx→a f (x) = l.
(ii) Para cada i ∈ {1, 2, . . . , m} existe limx→a fi (x) = li .
Nota: A partir de este momento para calcular el lı́mite de una función de
R a Rm lo que haremos será estudiar cada una de las componente i-esima de f ,
por lo que a partir de ahora trabajaremos con funciones f : D → R, con D un
subconjunto abierto de Rn .
n
3.10 Teorema Sean f, g : D → R dos funciones con D ⊂ Rn y a ∈ D.
Supongamos que existen el limx→a f (x) y es l y el limx→a g(x) y es l0 . Entonces:
(i) limx→a (f (x) + g(x)) = l + l0 .
(ii) limx→a f (x)g(x) = l · l0 .
(iii) limx→a
f (x)
g(x)
=
l
l0 .
0
(iv) limx→a f (x)g(x) = ll .
Cuando trabajamos con una función f : D → R, con D un subconjunto
abierto de Rn , también tiene sentido (al igual que en el caso de aplicaciones de R
en R) definir limx→a f (x) = ±∞:
3.11 Def: Sea D un subconjunto abierto de Rn y f : D → R una función.
Sea a = (a1 , a2 , . . . , an ) ∈ D.
? Se dice que el lı́mite cuando x = (x1 , x2 . . . . , xn ) ∈ D tiende a a ∈ D de
f (x) es ∞ si:
∀ M ∈ R, ∃ δ > 0 tal que si dn (x, x0 ) ≤ δ, ⇒ f (x) > M
es decir, para todo M ∈ R existe δ > 0 tal que si d(x, a) ≤ δ, entonces f (x) > M .
14
? Se dice que el lı́mite cuando x = (x1 , x2 . . . . , xn ) ∈ D tiende a a ∈ D de
f (x) es −∞ si:
∀ M ∈ R, ∃ δ > 0 tal que si dn (x, x0 ) ≤ δ, ⇒ f (x), 0) < M
es decir, para todo M ∈ R existe δ > 0 tal que si d(x, a) ≤ δ, entonces f (x) < M .
Nota: Sea D un subconjunto abierto de Rn ,a ∈ D y f : D → Rm una función.
Si existe un i ∈ {1, 2, . . . , m} tal que limx→a fi (x) = ±∞, entonces no existe el
lı́mite cuando x tiende a a de f (x).
4.
CONTINUIDAD.
4.1 Def: Sea D un subconjunto abierto de Rn y f : D → Rm una función.
Se dice que f es continua en x0 ∈ D si limx→x0 f (x) = f (x0 ).
4.2 Def: Sea D un subconjunto abierto de Rn y f : D → Rm una función.
Se dice que f es continua si es continua para cada x0 ∈ D.
4.3 Ejemplos: Las funciones polinómicas, “las racionales”, las trigonométricas y las exponenciales son continuas. Las funciones por casos hay que estudiarlas caso a caso. (ha sido estudiado en los apartados anteriores)
4.4 Teorema. Una aplicación f : D → Rm , con D ⊂ Rn , es continua si
y sólo si cada una de sus componentes es continua. Es decir, si fi denota a la
componente i-esima de f :
f es continua ⇐⇒ fi es continua para i = 1, 2, . . . , n.
4.5 Teorema. Sea D un subconjunto abierto de Rn .
(i) Las aplicaciones constantes son continuas.
(ii) Las aplicaciones fk : D → R con fk (x1 , x2 , . . . , xn ) = xk son continua para
k = 1, 2, . . . , n (para cada k, fk se denomina la proyección sobre la coordenada
k).
4.6 Teorema. Sea D un subconjunto abierto de Rn y sean f, g : D → R
aplicaciones continuas. Entonces:
(i) f + g es continua.
15
(iv) f · g es continua.
(v) Si g no se anula, entonces
f
g
es continua.
(vi) f g es continua.
Nota: Para estudiar la continuidad de una función por ramas habrá que
estudiar la continuidad en cada rama y en los puntos frontera de definición.
Conocimientos previos:
? Sucesiones en Rn y lı́mites de sucesiones en Rn .
? Factorización de polinomios.
Bibliografia:
P. Alberca, D. Martı́n: ”Métodos Matemáticos”, Ediciones Aljibe, 2001.
T.M. Apóstol: ”Análisis matemático”, Reverté, 1996.
J.B. Fraleigh: ”calculus with Analytic Geometry”, Addison-Wesley, 1985.
W. Rudin: ”Principios de Análisis Matemático”, Ed. del Castillo, 1996.
16
5.
REPRESENTACIÓN GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES MÁS COMUNES
5.1 Funciones trigonométricas
17
5.2 Funciones Polinómicas, Exponenciales y Logarı́tmicas