Ejercicios Resueltos de Series 1

Informáticos 09 USM Campus Santiago
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Ejercicios Resueltos de Series 1
Criterios de Convergencia para Series de Términos Positivos
(1)
+ 12
Acotando superiormente la serie, se tiene que
Luego, como
<+1
1
1
<
+1 <1
+ 1
1
<
+ 1 2
2
1 <
+ 1 2
2
1 <
+ 12
2
1 1
es convergente, ya que es una serie geométrica y < 1, por criterio de comparación,
2
2
la serie (2)
converge.
+ 12
1
+ ln%
Acotando inferiormente, se tiene que
&'( < %
∀% > 0
ln < + ln < 2
1
1
<
2 + ln
1
1
1
<
2
+ ln%
Luego, como
1
1
1
diverge, entonces por criterio de comparación, la serie también diverge.
2
+ ln%
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(3)
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1
√
.
Utilizando el criterio de comparación al límite y la serie divergente
Se tiene que
1
.
√
lim
/→ 1
/
Luego como
(4)
1
= lim
/→
1
√
.
=1 ≠0
1
1
diverge, entonces por criterio de comparación al límite, la serie . diverge.
√
5 6789:
1 + ;
Utilizando el criterio de la integral, sea < > 0, tal que
<% =
5 6789:=
1 + %;
Como el criterio solo funciona para funciones <% decrecientes, primero es necesario encontrar un intervalo
>, +∞ en el que < sea decreciente, para ello se deriva <
<
@ %
=
< @ % =
1
6789:=
5 6789:= ∙ 1B=
C 1B;= − 2% 5
1 + % ; ;
5
1 − 2%
1 + % ; ;
6789:=
5 6789:=
es siempre positivo, por lo tanto no sirve para determinar el intervalo
1 + % ; ;
1
< @ % < 0 ↔ 1 − 2% < 0
1
↔ %>
1
2
Luego < es decreciente en F; , +∞G, como 1 > ; se elige convenientemente los limites de integración como
1, +∞
Finalmente la integral asociada a la serie queda
J 6789:=
5
5
J
N
N
N
I%
=
lim
H
I% = lim F K5 6789:= L1 G = lim M 5 6789:J − 5 PO Q = 5 P; − 5 PO
;
;
J→B 1 1 + %
J→B
J→B
1+%
B 6789:=
H
1
Por tanto, como la integral H
1
5
5 6789:
I%
converge,
la
serie
también converge.
1 + %;
1 + ;
B 6789:=
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(5)
F
G
+1
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C
Utilizando el criterio de la raíz, se tiene que
.
lim .S> = lim TF
→
→
Por tanto la serie F
(6)
C
G = lim F
G = lim
→ + 1
→
+1
G converge.
+1
C
1
1 F1 + G
= 5 U1 < 1
!;
2!
Utilizando el criterio de la razón se tiene que
>B1
lim
= lim
→ >
→
C
MB1!Q
M;B1Q!
!C
;!
;
;
M + 1!Q 2!
M + 1!Q 2!
= lim
∙
= lim
∙
;
→ 2 + 2!
→
!
2 + 2! !;
+ 1; ∙ M1 ∙ 2 ∙ … ∙ 2 − 1 ∙ 2Q
+ 1;
1
∙ = lim
= <1
→ 1 ∙ 2 ∙ … ∙ 2 − 1 ∙ 2 ∙ 2 + 1 ∙ 2 + 2
→ 2 + 12 + 2
4
= lim
Por tanto la serie !;
converge.
2!
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