x y f x! f x! f x! 324 f x! R/ x - (. R/ x - %. R/ x - (. R/ y - #. R

x y f x! f x! f x! 324 f x! R/ x - (. R/ x - %. R/ x - (. R/ y - #. R

Universidad de Costa Rica
Escuela de Matemática
Departamento de Matemática Aplicada
Ma 1001 Cálculo I
Ejercicios Adicionales #3
Funciones Continuas
Primer Ciclo de 2009
Prof. Marco Alfaro C.1
1. Considere la siguiente grá…ca de la función f: De acuerdo con ella, conteste lo que se le solicita.
y
-1
5,4
4
1,7
-7
-6
x
-4
-5
-1
-2
-3
0
1
2
3
3,7
6
5
7
-1
-1
-2
(a) Calcule, si existen, los siguientes límites. Justi…que.
(i)
(ii)
lim f (x)
x!0
lim f (x)
(iv)
x! 3
Respuestas: (i) No existe;
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(iii) lim f (x)
x! 2
(ii) 0;
(iii) 3;
(iv) 0 :
Hallar un valor de x en el cual f tenga una discontinuidad evitable.
Hallar un valor de x en el cual f tenga una discontinuidad inevitable.
Determine una asíntota vertical de la grá…ca de f:
Determine una asíntota horizontal de la grá…ca de f:
Determine un intervalo en el que f es continua.
2. Veri…que que la función f de…nida por
no es continua en x0 =
1 Basado
2:
8
sen (2x)
>
<
; si x 6=
2x
f (x) =
>
:
2 x, si x = 2 :
en Exámenes de Cátedra.
1
lim f (x)
x!+1
2:
R/ x = 5:
R/ x =
2:
R/ x = 5:
R/ y = 0:
R/ ] 2; 5[
3. Calcule los límites siguientes, si existen.
p
x4 2
2x + 3
p
(a) lim
(f) lim
x! 1 x5 + x
x!+1 x + 3 x
x2
x!1 jx
(k) lim
p
2x + 1 3
p
(b) lim p
x!4 x
2
2
x (x 3)
p
(g) lim
x!3 x
1
x+1
(c) lim [jxj]
(h) lim
x!0
x!9
(d) lim
x!0
1
x2
x
3x3
1 1
(e) lim p
x!
1
16
j2x + 1j
x
j2x
p
6 x 2
(l) lim p
x!2 3
x 1
p
3
1 + cx 1
(m) lim
x!0
x
1j
1 x2
x!1 sen x
(i) lim
4
2x + 1
3x 2
(j) lim p
x! 2
x4
x2
(n) lim
x!
p
28
3
3x5 7x2 5x + 5
1
2x4 + 3x + 1
3
3x2 4
2x + 1 3
Respuestas: (a) 0; (b) 2 3 2 ; (c) 8; (d) 1 ; (e)
(k) no existe ; (l) 21 ; (m) 3c ; (n) 524 ; (ñ) 72
1
1j
(ñ)
2
(2x + 3) (3x
x!+1
x5 + 5
2)
lim
; (f) 2 ; (g) 4 ; (h) 4 ; (i)
2
; (j) 20;
4. Analice la continuidad de la función f de…nida por
f (x) =
p
3
x2
7+x
4
y clasi…que los puntos de discontinuidad, si los hay.
R/ Discontinuidad evitable en x = 2, discontinuidad inevitable en x =
2:
5. Determine los valores de a y b de modo que la función h de…nida a continuación sea continua en R:
8
ax2 + 1
>
>
; si x < 2
>
>
>
< x 3
h (x) =
b; si x = 2
>
>
>
>
>
:
2ax 3; si x > 2
R/ a =
6. Una función f se de…ne por
f (x) =
8
< sen x;
:
si x
1
4; b
=
2:
c
ax + b; si x > c
donde a; b y c son constantes. Si b y c son conocidas, encuentre todos los valores de a; si existen,
para los cuales f es continua en x = c:
R/ Si c 6= 0; a = sencc b , si c = 0; b = 0 y a 2 R:
7. Determine si la función de…nida por
f (x) =
8
< 2x; si 0
:
2
x
x, si 1 < x
es continua en cada punto del intervalo [0; 2] :
2
1:
2:
R/ No es continua en x = 1.
8. (a) Veri…que que la función de…nida por
h (x) =
1
x2
x2
p
1
1 + x2
tiene una discontinuidad evitable en x = 0: Justi…que.
(b) Rede…na h (0) de forma que h sea continua en todo R:
R/ h (0) =
1
2:
9. Encuentre y clasi…que, si existen, las discontinuidades de la función de…nida por
p
2 x 1
f (x) =
:
x2 x + 2
R/ Discontinuidad inevitable en x = 1:
10. Hallar el valor de c para que la función de…nida por
8
sen2 (3x)
>
<
; si x 6= 0
x2
f (x) =
>
:
c; si x = 0
R/ c = 9
sea continua en R:
2x2
:
+ 4x
R/ Discontinuidad evitable en x = 0 e inevitable en x = 2:
11. Encuentre y clasi…que las discontinuidades, si existen, de la función f (x) =
x3
x3
12. (a) Enuncie correctamente el Teorema del Valor Intermedio.
(b) Aplíquelo para concluir que la ecuación x5 + 2x
3
7 = 50 tiene solución.
4x2