Tema 3: ANEXOSesión 1

DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES SIMPLES. CÁLCULO DE RESIDUOS
(Esto solo es un breve resumen. Se recomienda ampliamente leer el apéndice E.3.1
del libro Análisis de Circuitos Lineales Ed.Ra-Ma Autores: F. López Ferreras, S.
Maldonado, M. Rosa).
1. Debemos fijarnos que el orden del polinomio del numerador sea inferior al
orden del denominador. Si no fuera así, efectuaremos la división hasta
conseguirlo.
2. Suponiendo que en el denominador solo tenemos raíces reales.
N ( s)
A
B
=
+
( s + r1 )( s + r2 ) ( s + r1 ) ( s + r2 )
¿Cómo podemos conseguir el valor de los residuos A y B?
A = lim ( s + r1 )
s →− r1
N ( s)
( s + r1 )( s + r2 )
B = lim ( s + r2 )
s →− r2
N (s)
( s + r1 )( s + r2 )
Ejemplo:
2
( s + 3)( s + 1)
=
A
B
+
( s + 3) ( s + 1)
A = lim ( s + 3)
s →−3
B = lim ( s + 1)
s →−1
2
( s + 3)( s + 1)
2
( s + 3)( s + 1)
2
( s + 3)( s + 1)
=
= lim
s →−3
2
2
=
= −1
( s + 1) −3 + 1
2
2
=
=1
s →−1 ( s + 3 )
−1 + 3
= lim
−1
1
+
( s + 3) ( s + 1)
3º Si aparecen raíces complejas, siempre aparecen en pares complejos conjugados. Este
tipo de raíces no se descompone.
Bs + C
Bs + C
=
( s + a + bj )( s + a − bj ) ( s + a )2 + b2
Sin embargo, si nos fijamos en las tablas, solo tenemos:
K1
s+a
(s + a)
2
+b
2
,
K2
b
(s + a)
2
+ b2
Así, que tendremos que buscar mediante sumas y restas poner nuestra expresión
conforme a la información que aparece en las tablas. Vamos a verlo con un ejemplo:
3s + 2
3s + 2
3s + 2
=
=
s + 2 s + 5 ( s + 1 + 2 j )( s + 1 − 2 j ) ( s + 1)2 + 22
2
Ahora tendremos que intentar poner esta expresión en términos:
k1
s +1
( s + 1)
2
+2
2
, k2
2
( s + 1)
2
+ 22
2
2 1 1
1
⎡
⎤
s+ + −
−
⎢
⎥
3s + 2
s +1
3
3 3 3 =3
3
=
=
+
3
3
⎢
⎥=
2
2
2
2
2
( s + 1) + 22 ( s + 1) + 22 ( s + 1) + 22 ⎢ ( s + 1) + 22 ( s + 1) + 22 ⎥
⎣
⎦
s+
1
⎡
⎤
− 2
⎢
⎥
s +1
1
3
= 3⎢
+
2
2
2
2⎥
⎢ ( s + 1) + 2 2 ( s + 1) + 2 ⎥
⎣
⎦
Por tanto, aunque no se descompone en fracciones simples, cuando aparecen raíces
complejas conjugadas hay que ponerlo de la siguiente forma:
3s + 2
s +1
1
2
=3
+
2
2
2
s + 2s + 5
( s + 1) + 2 2 ( s + 1) + 22
2
3º Ahora veamos un caso en el que existen raíces reales y complejas conjugadas.
5s 2 + 2 s + 2
A
Bs + C
A
Bs + C
=
+
=
+
2
( s + 2)( s + 2 s + 2) s + 2 ( s + 1 + j )( s + 1 − j ) s + 2 ( s + 1) 2 + 12
(1)
Observamos cómo la raíz real s=-2, tiene un residuo A que se calcula como hemos visto
con las raíces reales:
A = lim ( s + 2)
s →−2
5s 2 + 2 s + 2
5(−2) 2 + 2(−2) + 2
=
=9
( s + 2)( s 2 + 2 s + 2) ((−2) 2 + 2(−2) + 2)
¿Cómo calculamos los residuos B y C?
Si en ambos lados de la igualdad (1) hacemos que s->0, tendremos una ecuación para
sacar C:
5s 2 + 2 s + 2
A
Bs + C
= lim
+
2
s →0 ( s + 2)( s + 2 s + 2)
s →0 s + 2
( s + 1) 2 + 12
lim
2
A
C
= + 2 2
(2)(2) 2 (1) + 1
Dado que conocemos que A=9, podemos obtener el valor de C=-8
Ahora que conocemos el valor de A y C, basta igualar la expresión (1) para cualquier
valor de s para encontrar el valor de B. Por ejemplo, podemos calcular cuando s->1.
5s 2 + 2 s + 2
A
Bs + C
= lim
+
2
s →1 ( s + 2)( s + 2 s + 2)
s →1 s + 2
( s + 1) 2 + 12
lim
5(1) 2 + 2(1) + 2
A
B(1) + C
=
+
2
((1) + 2)((1) + 2(1) + 2) (1) + 2 ((1) + 1) 2 + 12
9
A
B+C
= + 2 2
(3)(5) 3 (2) + 1
Como conocemos los valores de A y C, podemos deducir que B=-4. Por tanto, la
descomposición en fracciones simples nos da:
5s 2 + 2 s + 2
9
4s + 8
=
−
2
( s + 2)( s + 2 s + 2) s + 2 ( s + 1)2 + 12
Ahora hay que tener en cuenta que el término
4s + 8
( s + 1)
2
+ 12
hay que descomponerlo
como vimos en el ejemplo anterior:
4s + 8
( s + 1)
2
+ 12
=4
⎡ s +1+1 ⎤
⎡
⎤
s +1
1
=
4
=
4
+
⎢
⎥
⎢
⎥
2
2
2
( s + 1) + 12 ⎢⎣ ( s + 1) + 12 ⎥⎦ ⎢⎣ ( s + 1) + 12 ( s + 1) + 12 ⎥⎦
s+2
2
⎡
⎤
5s 2 + 2 s + 2
9
s +1
1
=
−4⎢
+
⎥
2
2
2
2
2
( s + 2)( s + 2 s + 2) s + 2
⎢⎣ ( s + 1) + 1 ( s + 1) + 1 ⎥⎦
Nota: En esta explicación solo hemos considerado la descomposición en fracciones
simples. Para poder calcular la transformada inversa, es imprescindible conocer
además la ROC.