Ayudant´ıa 7 ⋆ Funciones de R nen Rm y TFImp

Pontificia Universidad Católica de Chile
Facultad de Matemáticas
Segundo semestre del 2012
MAT1630-8 Cálculo III
Ayudantı́a 7 ? Funciones de Rn en Rm y TFImp/TFInv
02 de Octubre, 2012
Profesor: Jan Van Diejen
Ayudante: Felipe Arróspide Alarcón
www.mat1630i.wordpress.com
p
Problema 1. Sean G(x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 y F~ (r, θ) = (r cos θ, r sin θ, r). Calcule, usando regla de la cadena, la
matriz derivada de (G ◦ F~ ) en el punto p~ = (1, 0)
Problema 2. Considere el sistema
xy + eux + 2v =3
x + uy − v = − 1
1. Compruebe que existe una vecindad de p = (0, 1) y funciones u = u(x, y); v = v(x, y), tales que u(0, 1) = 0; v(0, 1) =
1 que resuelven el sistema.
2. Calcule
∂2u
∂u
(0, 1),
(0, 1)
∂x
∂y∂x
donde u es la función del inciso anterior.
Problema 3. Sea g(x, y) una función dos veces diferenciable. Considere la función:
F (x, y, z) = x2 + y 2 + zg(x, y) − z 2
Determine las condiciones sobre x, y, g(x, y) de modo que la ecuación F (x, y, z) = 0 permita definir z = z(x, y) implı́citamente
como función dos veces diferenciable y pruebe que, en este caso, se verifica la ecuación
(g − 2x)4z + 2∇z∇g − 2||∇z||2 + z4g = −4
Problema 4. Sea F~ (x, y) = (x + y, xy). Demuestre que F~ es invertible en una vecindad de (2, 1) y calcule JF~ −1 (3, 2) sin
determinar F~ −1
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