Curvatura escalar prescrita en la n

Curvatura escalar prescrita en la n- esfera
Liliana Posada Vera *
Universidad del Valle
[email protected]
Julio de 2011
Resumen
Sean (S n , g0 ) (n ≥ 3) la esfera unitaria en Rn+1 y una función h : S n → R suave y positiva
en S n . Nosotros consideramos el problema de curvatura escalar prescrita sobre la esfera S n ,
que consiste en decidir si dada la función h existe una métrica conforme a g0 tal que h sea
la curvatura escalar de S n con respecto a dicha métrica. Este problema es equivalente al
problema de encontrar una función suave y positiva u : S n → R que satisface la ecuación
∆u −
n(n − 2)
n−2
u+
hup = 0
4
4(n − 1)
con p = n+2
.
n−2
En esta conferencia nos concentraremos en la demostración de un paso importante para la
existencia de soluciones subcrı́ticas de este problema demostrando la invertibilidad local de
un operador de clase C 1 definido sobre espacios de Banach.
Introducción
Consideremos el problema no lineal
∆u −
n−2
n(n − 2)
u+
hup = 0,
4
4(n − 1)
(1)
con u > 0 y p ∈ (1, n+2
]. Definamos la funcional de energı́a
n−2
Z n(n − 2) 2
2
u dµg
E(u) =
|∇u| +
4
Sn
sobre el espacio de Sobolev H12 (S n ). Reescalando la ecuación (1) de tal forma que E(u) =
E(1), la ecuación se transforma en
∆u −
donde Jp (u) =
R
Sn
n(n − 2)
n(n − 2)
u+
V ol(S n )(Jp (u))−1 hup = 0.
4
4
(2)
hup+1 es una funcional definida sobre H12 (S n ).
Dada una transformación conforme F : S n → S n definimos el operador
αFy−1 (u) = |(Fy )0 |
n−2
2
u ◦ Fy .
Si v = αFy−1 (u) entonces (2) se transforma en
n−2
n(n − 2)
n(n − 2)
v+
V ol(S n )(Jp (u))−1 h ◦ Fy |(Fy )0 | 2 δ v p = 0.
4
4
R
n−2
donde Jp (u) = S n h ◦ Fy |(Fy )0 | 2 δ v p .
∆v −
*
(3)
Este trabajo hace parte de una investigación conjunta con Gonzalo Garcı́a Camacho, profesor de la
Universidad del Valle
1
Por último si hacemos v = 1 + η tenemos que
L(η) + Q(η) =
n+2
(n − 2)n
(1 − a)(1 + η) n−2 ,
4
(4)
donde
a = V ol(S n )(Jp (u))−1 h ◦ Fy |(Fy )0 |
n−2
δ
2
(1 + η)−δ ,
L(η) = ∆η + nη
y
n+2
n+2 n(n − 2) n−2
(1 + η)
−1−
η .
Q(η) =
4
n−2
Este trabajo es motivado por el trabajo de Schoen y Zhang en [1]; entendiendo su artı́culo
encontramos un vacı́o en la prueba del teorema 2,4. El propósito de este trabajo es llenar
dicho vacı́o. Nuestro acercamiento es diferente del de Schoen y Zhang en [1] donde ellos
intentan resolver el problema (4) en un solo paso y es aquı́ donde su argumento parece estar
incompleto ya que su operador asociado T no es invertible.
R
Sea J p (y) = S n hαyp+1 , donde y ∈ B n+1 la bola unitaria n + 1-dimensional y αy = αFy (1) =
n−2
n−2
2
1−|y|2
. Cambiando Jp (u) por J p (y) se tiene que
|(Fy−1 )0 | 2 ; para ζ ∈ S n , αy (ζ) = |y−ζ|
2
L(η) + Q(η) =
n+2
(n − 2)n
(1 − ã)(1 + η) n−2 .
4
(5)
n−2
donde ã = V ol(S n )(J p (y))−1 h ◦ Fy |(Fy )0 | 2 δ (1 + η)−δ . El operador lineal L tiene un kernel de
dimensión n + 1 consistente de las funciones esféricas, armónicas de primer orden en S n . La
obstrucción de invertir L puede ser removida reemplazando la ecuación (5) por la ecuación
proyectada T (y, η) = 0 donde
n+2
(n − 2)n
n−2
(1 − ã)(1 + η)
T (y, η) = L(η) + P(Q(η)) − P
4
y P es la proyección ortogonal de L2 sobre el complemento ortogonal W de las funciones
propias de S n .
Para resolver esta ecuación utilizaremos el teorema de la función inversa. Sea y0 un punto
crı́tico de J p . En orden de mantener la dependencia sobre y definimos una función
T : B 2,q → B 0,q , donde B j,q = C 2 (Bα(1−|y0 |) (y0 ), W j,q (S n ) ∩ W )
poniendo T (η)(y) = T (y, η) donde denotamos por η a la función η(y) = ηy . Escogemos una
norma en B j,q la cual refleja las escalas que aparecen en nuestro problema:
||η|| = sup{||ηy ||j,q + (1 − |y0 |)||∇y ηy ||j,q + (1 − |y0 |)2 ||∇y ∇y ηy ||j,q }.
y
Nosotros demostramos que η es localmente invertible y como consecuencia de esto, los resultados de [1] bajo ciertas condiciones sobre la función h demuestran que h es la curvatura
escalar de una métrica conforme a la métrica estándar g0 .
Resultados y Conclusiones
Teorema 1. Para cualquier q ∈ (n/2, n), T es una función entre espacios de Banach de
clase C 1 la cual satisface las siguientes cotas:
1. ||T (0)|| ≤ C(1 − |y0 |)1−w .
2. ||T 0 (0)|| ≤ C.
3. ||T 0 (γ1 ) − T 0 (γ0 )|| ≤ C||γ1 − γ0 ||, cuando ||γ0 ||, ||γ1 || ≤ 41 .
Además, ||(T 0 (0))−1 || ≤ C donde C es una constante indpendiente de p. Existe η ∈ B 2,q con
||η|| ≤ C(1 − |y0 |)1−w que satisface que T (η) = 0. Además η es la única pequeña solución de
T (η) = 0.
2
Este resultado junto con los resultados de Schoen y Zhang demuestran que
Teorema 2. Asuma que la función h es una función de Morse con Laplaciano diferente de
cero en sus puntos crı́ticos. Si D0 − D1 + D2 6= 1, entonces h es la curvatura escalar de una
métrica conforme a la métrica estándar g0 de S 3 , donde Di es el número de puntos crı́ticos
de ı́ndice i de −h sobre S 3 .
Bibliografı́a
[1] RICHARD SCHOEN, DONG ZHANG. Prescribed scalar curvature on the n- sphere.
Calculus of Variations and Partial Differential equations. Volume 4, number 1, 1-25.
3