Instrucciones: Resuelva en forma clara y ordenada cada probl

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE HONDURAS
Facultad de Ciencias - Escuela de Matemática
Examen #1 de PROCESOS ESTOCÁSTICOS
I Perı́odo 2014
Nombre:
Profesor:
Cuenta:
Sección:
Angel Rivera
1300
Firma:
Fecha:
Instrucciones: Resuelva en forma clara y ordenada cada problema, favor dejar
constancia de los resultados obtenidos. RESPUESTAS SIN PROCEDIMIENTO
NO TENDRAN VALOR ALGUNO.
1. Sean Y1 y Y2 variables aleatorias con función de densidad conjunta dada por:





ky1 y2



0
fY1 Y2 (y1 , y2 ) = 
a.
b.
c.
d.
e.
0 ≤ y1 ≤ 1, 0 ≤ y2 ≤ 1
si
en otro caso
Encuentre el valor de k que haga de está una función de densidad de probabilidad.
Encuentre P (Y1 ≤ 1/2, Y2 ≤ 3/4).
Las funciones de densidad marginal para Y1 y Y2 .
Las funciones de densidad condicional fY1 |Y2 (y1 , b) y fY2 |Y1 (a, y2 ).
Encuentre E[Y1 ] y σY21 .
2. Los contratos para dos trabajos de construcción se asignan aleatoriamente a una
o más de tres empresas A, B y C. Denote con Y1 el número de contratos asignados
a la empresa A y Y2 el número de contratos asignados a la empresa B. La función
de probabilidad conjunta para Y1 y Y2 está dada por:
y2
0
1
2
0
1/9
2/9
1/9
y1
1
2/9
2/9
0
2
1/9
0
0
a. Encuentre Cov(Y1 , Y2 ).
b. Son Y1 y Y2 independientes?.
c. Encuentre E[Y2 |Y1 = 1].
3. Sean Y1 , Y2 , . . . , Yn variables aleatorias independientes de Poisson con medias
λ1 , λ2 , . . . , λn respectivamente. Determine la función de densidad de W = Y1 + Y2 +
. . . + Yn .
4. Suponga que Y1 y Y2 son variables aleatorias e independientes distribuidas exponencialmente, ambas con media β y definamos las transformaciones
X1 = Y1 + Y2 ,
a.
b.
c.
d.
X2 =
Y1
Y2
Demuestre que la transformación es inyectiva.
Encuentre la transformada inversa.
Determine la función de densidad conjunta de X1 y X2 .
Encuentre la marginal de X1 .