VARIABLE COMPLEJA II Lista 4

VARIABLE COMPLEJA II
Lista 4
(entregar: 10 de octubre
[pueden consultar textos, internet, etc.])
Se define Γ(z) = 0∞ tz−1 e−t dt (= limM,N →∞
la derecha {Re z > 0}.
R
RN
1/M
· · ·) para z en el semiplano de
1.
Demostrar (a) que Γ es holomorfa en {Re z > 1}, y (b) que Γ(z + 1) = zΓ(z)
para Re z > 0; deducir (c) que Γ se extiende a una función meromorfa en
todo C, con polos simples en Z− ∪ {0}.
2.
Demostrar la descomposición como suma de partes singulares más una función
Z ∞
∞
X
(−1)n
entera, Γ(z) =
+
tz−1 e−t dt. (Sugerencia: substituir la serie
1
n=0 n!(z + n)
R1
−t
de potencias de e dentro de 0 .)
Sea Γn (z) =
3.
R ∞ z−1
R
(1 − nt )n dt = nz 0∞ sz−1 (1 − s)n ds para Re z > 0.
0 t
n
Y
z
1
−z
(1 + ) (producto finito).
=n z
(a) Demostrar que
Γn (z)
k
k=1
n Y
1
1
1
z −z
1
−z( 1 + 2 +···+ n −log n)
(b) Deducir que e
=z
1+
e k.
Γn (z)
k
k=1
La constante de Euler es γ = lim( 11 +
4.
Sea G(z) = z
∞ Y
k=1
Demostrar n→∞
lim
5.
1
2
+ ··· +
1
n
− log n).
z −z
e k.
k
1+
1
= eγz G(z) para z ∈
/ Z− ∪ {0}.
Γn (z)
Demostrar Γn (z) → Γ(z), luego tenemos una función entera factorizada
∞
Y
z −z
1
= eγz z
1+
e k.
Γ(z)
k
k=1
6.
Demostrar Γ(z)Γ(1 − z) =
π
.
sin πz