1. (a)

Grupo A
VARIABLE COMPLEJA
2 de septiembre de 2003
Apellidos:
D.N.I.:
Nombre:
Firma:
√
√
1. (a) Calcule todos los valores de (−1)1/π . (b) Calcule todos los valores de (−1 + i 3)3/2 , donde 3 ∈ R+ .
(a)
(b)
1
(−1)1/π = e(2k+1)πi· π = e(2k+1)i ,
k ∈ Z.
√ 3/2 2πi +2kπi 3/2
√
(−1 + i 3)
(k ∈ Z) = 23/2 e(3k+1)πi = ±2 2 .
= 2e 3
2. Encuentre todas las funciones enteras cuya parte real u(x, y) sea función únicamente del producto xy, es decir,
u(x, y) = φ(xy).
La parte real de una función entera ha de ser armónica en R2 , es decir (aplicando la regla de la cadena)
0 = uxx + uyy = (y 2 + x2 )φ00 (xy) = 0 , ∀(x, y) ∈ R2 =⇒ φ00 (t) = 0 , ∀t ∈ R =⇒ φ(t) = a t + b , a, b ∈ R .
Por tanto u(x, y) = a xy + b. Aplicando las ecuaciones de Cauchy–Riemann se obtiene:
x2
+ g(y) ;
2
y2
a
vy = g 0 (y) = ux = a y =⇒ g(y) = a
+ b (b ∈ R) =⇒ v(x, y) = (y 2 − x2 ) + b .
2
2
vx = −uy = −a x =⇒ v = −a
La función entera más general que satisface la condición del enunciado es por tanto
f (z) = u + i v =
a
a
2xy + i(y 2 − x2 ) + b + i c = −i (x2 − y 2 + 2ixy) + b + i c = iαz 2 + z0
2
2
(α ∈ R , z0 ∈ C) .
3. Calcule los tres primeros términos no nulos del desarrollo en serie de Laurent de la función
f (z) =
z2
1
senh z
en una corona de la forma 0 < |z| < R. ¿Cuál es el mayor valor posible de R?
i) La función senh z = −i sen(iz) tiene ceros simples en los puntos z = kπi, con k ∈ Z. Por tanto f tiene
singularidades aisladas (polos) en dichos puntos, siendo 0 un polo triple y kπi con k ∈ Z − {0} un polo simple.
La función f admite por consiguiente un desarrollo en serie de Laurent del tipo
b3
b1
+ a1 z + . . . ,
+
3
z
z
f (z) =
0 < |z| < R ,
donde los puntos suspensivos denotan términos de orden 2 y superior. Nótese que los coeficientes de las
potencias pares del desarrollo anterior son todos nulos, al ser f una función impar. El radio de convergencia
de dicho desarrollo es R = π, ya que las singularidades de f más próximas al origen están en los puntos ±πi,
y f es claramente no acotada en las proximidades de dichos puntos. Dado que senh z admite el desarrollo de
Taylor
∞
X
z 2n+1
senh z =
,
∀z ∈ C ,
(2n + 1)!
n=0
se tiene
1 = z 2 f (z) senh z =
z3
z5
b3
+ b 1 z + a1 z 3 + . . .
z+
+
+ ... ,
z
3!
5!
0 < |z| < π .
Igualando los coeficientes de z 0 , z 2 y z 4 en la identidad anterior se obtiene el sistema
1 = b3 ,
0 = b1 +
cuya solución es
b3 = 1 ,
Por tanto
N
f (z) =
b3
,
3!
0=
1
b1 = − ,
6
1
7z
1
−
+
+ ... ,
z3
6z 360
b1
b3
+
+ a1 ,
3!
5!
a1 =
7
.
360
0 < |z| < π .
4. Sean γ la circunferencia unidad orientada positivamente y f (z) = z −1+i con la determinación principal. Calcule
Z
f (z) dz .
γ
La función f (z) es singular en el eje real negativo junto con el origen. Al no ser las singularidades de f
aisladas no son aplicables el teorema de Cauchy ni el de los residuos, y no queda más remedio que parametrizar
la integral. Dado que la determinación principal del argumento varı́a en el intervalo (−π, π], es conveniente
parametrizar la circunferencia unidad mediante la función z(t) = ei t , con t ∈ [−π, π]. En tal caso
−1+i
= e(−1+i)it = e−(1+i)t ,
f z(t) = z(t)−1+i = eit
y la integral se calcula fácilmente:
Z
f (z) dz =
γ
Z
π
−π
f z(t) z 0 (t) dt =
Z
π
e
−(1+i)t
it
i e dt = i
Z
π
−π
−π
π
e−t dt = − i e−t −π = 2i senh π .
Nota. Si hubiéramos parametrizado la circunferencia mediante la función z(t) = eit , pero con t ∈ [0, 2π],
entonces
(
−1+i
eit
= e−(1+i)t ,
0≤t≤π
−1+i
z(t)
=
i(t−2π) −1+i
e
= e−(1+i)(t−2π) ,
π < t ≤ 2π .
El cálculo de la integral serı́a ahora como sigue:
Z
γ
f (z) dz =
Z
2π
0
=i
Z
0
π
f z(t) z 0 (t) dt =
e−t dt + i
Z
2π
π
Z
0
π
e
−(1+i)t
it
i e dt +
Z
2π
e−(1+i)(t−2π) i eit dt
π
π
2π
e2π−t dt = − i e−t 0 − i e2π−t π = i(1 − e−π − 1 + eπ ) = 2i senh π .
5. Calcule
Z
∞
0
x2
dx.
(x2 + 9)(x2 + 4)2
El integrando es una función racional f (z) = P (z)/Q(z), siendo
gr P = 2 ≤ 2 + gr Q = 8.
Por tanto
Z ∞
0
x2
1
dx =
2
2
2
(x + 9)(x + 4)
2
Z
∞
−∞
x2
dx = πi
(x2 + 9)(x2 + 4)2
X
Im zk >0
Res
z2
; zk
(z 2 + 9)(z 2 + 4)2
,
donde se ha tenido en cuenta que el integrando es una función par. Las singularidades de f en el semiplano
superior están en los puntos 3i (polo simple) y 2i (polo doble). Por tanto
z2
3i
−9
=
=
2
2
z→3i
(z + 3i)(z + 4) z=3i (6i) · 25
50
2
d
z
d
2z(18i − z 3 ) 13i
Res(f (z) ; 2i) = lim
(z − 2i)2 f (z) =
.
=
=−
z→2i dz
dz (z 2 + 9)(z + 2i)2 z=2i
(z + 9)2 (z + 2i)3 z=2i
200
Res(f (z) ; 3i) = lim (z − 3i)f (z) =
Por tanto el valor de la integral pedida es
πi
3i
13i
−
50 200
=
π
.
200
Nota: estas soluciones se pueden encontrar en el servicio de fotocopias, ası́ como en la página web del Departamento de Fı́sica Teórica II (http://www.ucm.es/info/metodos/programas/vc/vc.htm).