Apuntes Transformada de Laplace

Universidad Técnica Federico Santa Marı́a
Departamento de Matemática
Campus Santiago
MAT023 ICIPEV
Apuntes Transformada de Laplace
Vivian Aranda Núñez
Verónica Gruenberg Stern
Definición de la Transformada de Laplace
La transformada de Laplace es un ejemplo de un operador. Este opera sobre una
función, produciendo otra función.
Definición
Supongamos que f (t) es una función de t. Entonces la transformada de Laplace de f
es la siguiente función de s:
Z ∞
L(f )(s) = F (s) =
f (t) e−st dt
para s > 0
0
donde:
F (s) =
Z
∞
−st
f (t) e
dt = lim
0
T →∞
Z
T
f (t) e−st dt
(integral impropia)
0
Ejemplo: Calcular la transformada de Laplace de la función f (t) = 1
T
Z T
Z ∞
−st −e
1 e−st dt = lim
L(1)(s) = F (s) =
1 e−st dt = lim
=
T →∞
T →∞
s 0
0
0
−sT
−e
1
1
= lim
=
+
T →∞
s
s
s
Ejemplo: Calcular la transformada de Laplace de la función f (t) = t
Z T
Z ∞
−st
t e−st dt
L(t)(s) = F (s) =
t e dt = lim
T →∞
0
usando integración por partes:
u = t −→ du = dt
dv = e−st dt −→ v =
−e−st
s
0
T Z
T
T #
#
"
T
e−st −e−st
−t e−st −t e−st dt = lim
L(t)(s) = lim
−
− 2 =
T →∞
T →∞
s
s
s
s 0
0
0
0
"
#
−sT
−sT
−t e
−T
1
1
e
1
= lim
− 2 + 2 = lim
− lim 2 sT + lim 2
sT
T →∞
T →∞ s e
T →∞ s e
T →∞ s
s
s
s
"
usando L’Hopital:
lim
T →∞
−1
−T
= lim 2 sT = 0
sT
T
→∞
se
s e
=⇒
L(t)(s) = 0 − 0 +
1
1
= 2
2
s
s
En general, usando integración partes cuantas veces sea necesario se obtiene:
L(tn )(s) =
n!
sn+1
Ejemplo: Calcular la transformada de Laplace de la función f (t) = eat
Z T
Z ∞
at −st
at
L(e )(s) = F (s) =
e−(s−a)t dt
e e
dt = lim
T →∞
0
0
T
−(s−a)T
−e
−e−(s−a)t 1
e−(s−a)·0
= lim
=
+
= lim
T →∞
T →∞
s−a s−a
s−a
s−a
0
Ejemplo: Calcular la transformada de Laplace de la función f (t) = sen(bt)
Z ∞
Z T
−st
L(sen(bt))(s) = F (s) =
sen(bt) e dt = lim
sen(bt) e−st dt
T →∞
0
0
usando integración por partes:
u = e−st −→ du = −s e−st dt
dv = sen(bt) dt −→ v = −
RT
0
sen(bt) e−st
cos(bt)
b
T Z
T
e−st
s e−st
dt = −
cos(bt) −
cos(bt) dt
b
b
0
0
T
Z
s T −st
e−st
e
cos(bt) dt
cos(bt) −
= −
b
b 0
0
usando integración por partes nuevamente:
u = e−st −→ du = −s e−st dt
sen(bt)
b
dv = cos(bt) dt −→ v =
Z
T
T
Z
s T −st
e
cos(bt) −
e
cos(bt) dt
dt = −
b
b 0
−st
sen(bt) e−st
0
0


T
T Z
T
−st
−st
e
−s e
s e
= −
cos(bt) − 
sen(bt) −
sen(bt) dt
b
b
b
b
0
−st
0
Tenemos
Z
0
T
T
Z
−st
s
e
s2 T
e−st
cos(bt) −
sen(bt) − 2
sen(bt) e−st dt
= −
b
b2
b 0
0
T
0
sen(bt) e−st dt a ambos lados de la ecución, colocando este término al
0
lado derecho de la ecuación, tenemos:
Z T
s2
e−sT
e0
s e−sT
s e0
1+ 2
sen(bt) e−st dt = −
cos(bT ) + cos(0) −
sen(bT
)
+
sen(0)
b
b
b
b2
b2
0
Z
T
−st
sen(bt) e
0
b2
dt = 2
b + s2
−sT
e
1 s e−sT
−
cos(bT ) + −
sen(bT )
b
b
b2
finalmente,
L(sen(bt))(s) =
=
Z
∞
sen(bt) e−st dt
0
lim
T →∞
Z
T
sen(bt) e−st dt
0
b2
= lim 2
T →∞ b + s2
=
b2
b
+ s2
−sT
e
1 s e−sT
−
cos(bT ) + −
sen(bT )
b
b
b2
Para calcular la transformada de Laplace de la función f (t) = cos(bt), debemos
integrar por partes dos veces, obteniendo:
L(cos(bt))(s) =
s
b2 + s2
Table 1: Transformada de Laplace
f (t)
L(f )(s) = F (s)
1
1
s
s>0
t
1
s2
s>0
n!
tn
sn+1
sen(bt)
cos(bt)
eat
s>0
s2
b
+ b2
s>0
s2
s
+ b2
s>0
1
s−a
s>a
Funciones continuas por tramos
La transformada de Laplace de la función g(t) dada por:
1 si 0 6 t < 1
g(t) =
0 si
t>1
esta dado por:
L(g)(s) = G(s) =
Z
1
1 e−st
0
−e−st
dt =
s
1
−e−s 1
+
=
s
s
0
Ejercicio: Calcular la transformada de Laplace de f (t), donde f (t) está dado por:
t si 0 6 t 6 1
f (t) =
1 si 1 < t < ∞
Definición
Una función f (t) es de orden exponencial si existen constantes C y a tal que
|f (t)| 6 C eat
∀t > 0
Teorema
Supongamos que f es una función continua por tramos definida sobre [0, ∞) la cual es
de orden exponencial. Luego la transformada de Laplace L(f )(s) existe para grandes
valores de s. Especificamente, si |f (t)| 6 C eat , luego L(f )(s) existe al menos para
s > a.
Propiedades Básicas de la transformada de Laplace
La transformada de Laplace de la integral
Z t
1
L
y(u) du (s) = Y (s)
s
0
La transformada de Laplace de derivadas
La propiedad más importante es la relación entre la transformada de Laplace y la
derivada, que nos permitirá resolver ecuaciones diferenciales.
Proposición
Supongamos que y es una función diferenciable por tramos de orden exponencial.
Supongamos también que y ′ es de orden exponencial. Luego para grandes valores de s,
L( y ′ )(s) = s L(y)(s) − y(0) = s Y (s) − y(0)
donde Y (s) es la transformada de Laplace de y.
Demostración
Z
Z ∞
′
−st
′
L( y )(s) =
y (t) e
dt = lim
T →∞
0
T
y ′(t) e−st dt
0
usando integración por partes:
u = e−st −→ du = −s e−st dt
dv = y ′(t) dt −→ v = y(t)
T
#
Z T
y(t) e−st dt
L( y ′ )(s) = lim y(t) e−st + s
T →∞
0
0
"
#
Z T
= lim y(T ) e−sT − y(0) + s
y(t) e−st dt
"
T →∞
0
−sT
= lim y(T ) e
T →∞
= lim y(T ) e−sT
T →∞
T
y(t) e−st dt
− lim y(0) + s lim
T →∞
T →∞ 0
Z ∞
− y(0) + s
y(t) e−st dt
0
−sT
= lim y(T ) e
T →∞
Z
− y(0) + s Y (s)
Ya que y es de order exponencial, existen constantes C y a tal que |y(t)| 6 C eat ,
por lo tanto:
e−sT |y(T )| 6 C e−(s−a)T
lo cual converge a 0 para s > a cuando T −→ ∞. Por lo tanto,
L( y ′ )(s) = s Y (s) − y(0).
Proposición
Supongamos que y e y ′ son funciones diferenciables por tramos y continuas y que y ′′ es
continua por tramos. Supongamos que las tres son de orden exponencial. Luego,
L( y ′′ )(s) = s2 L(y)(s) − s y(0) − y ′(0) = s2 Y (s) − s y(0) − y ′(0)
donde Y (s) es la transformada de Laplace de y.
En general:
L( y (k) )(s) = sk L(y)(s) − sk−1 y(0) − · · · − s y (k−2) (0) − y (k−1)(0)
Table 2: Transformada de Laplace
y(t)
L(y)(s) = Y (s)
y ′ (t)
s Y (s) − y(0)
y ′′ (t)
s2 Y (s) − s y(0) − y ′(0)
y (n) (t)
sk Y (s) − sk−1 y(0) − · · · − s y (k−2) (0) − y (k−1) (0)
Z
t
1
Y (s)
s
y(u) du
0
Linealidad de la transformada de Laplace
Supongamos que f y g son funciones continuas por tramos de orden exponencial, y α
y β son constantes. Luego,
L{α f (t) + β g(t)}(s) = α L{f (t)}(s) + β L{g(t)}(s)
Ejercicio: Calcular la transformada de Laplace de f (t) = 3 sen 2t − 4t + 5e3t
L{3 sen 2t − 4t + 5e3t } = 3 L{sen 2t} − 4 L{t} + 5 L{e3t } = 3
s2
1
1
2
−4 2 +5
+4
s
s−3
La transformada de Laplace del producto de una exponencial con una función
El resultado de esta operación es una traslación de transformada de Laplace.
Supongamos que f es una función continua por tramos de orden exponencial. Sea
F (s) la transformada de laplace de f , y sea c una constante. Luego,
L{ ec t f (t)}(s) = F (s − c)
Demostración
ct
L{ e f (t)}(s) =
Z
∞
ct
e
−st
f (t) e
0
dt =
Z
0
∞
f (t) e−(s−c)t dt = F (s − c)
Ejercicio: Calcular la transformada de Laplace de g(t) = e2t sen 3t
L{e2t sen 3t} = F (s − 2) =
3
3
= 2
2
(s − 2) + 9
s − 4s + 13
Table 3: Transformada de Laplace
f (t)
L(f )(s) = F (s)
eat sen(bt)
b
(s − a)2 + b2
s>a
eat cos(bt)
s−a
(s − a)2 + b2
s>a
eat tn
n!
(s − a)n+1
s>a
La derivada de una transformada de Laplace
Describe la relación entre la derivada de la transformada de Laplace de una función y
la transformada de Laplace de la función misma.
Supongamos que f es una función continua por tramos de orden exponencial, y sea
F (s) su transformada de Laplace. Luego,
L{ t f (t)}(s) = − F ′ (s)
En general, si n es cualquier entero positivo, entonces:
L{ tn f (t)}(s) = (−1)n F (n) (s)
Demostración
Z ∞
Z ∞
d
d
∂
−st
−st
F ′ (s) = F (s) =
f (t) e
dt =
f (t)
(e ) dt =
ds
ds
∂s
0
0
Z ∞
−st
=−
t f (t) e
dt = −L{ t f (t)}(s)
0
Ejercicio: Calcular la transformada de Laplace de la función t2 e3t
Aqui
con
f (t) = e3t
F ′ (s) =
=⇒
F (s) =
1
(s − 3)
d
1
(F (s)) = −
ds
(s − 3)2
y
F ′′ (s) =
luego,
L{ t2 e3t }(s) = (−1)2 F ′′ (s) =
d
2
(F ′ (s)) =
ds
(s − 3)3
2
(s − 3)3
La transformada de Laplace inversa
Definición
Si f (t) es una función de orden exponencial y L(f )(s) = F (s), luego llamamos f la
transformada de Laplace inversa de F , y se expresa como:
f = L−1 (F )
Quiere decir que:
F = L(f )
⇐⇒
f = L−1 (F )
Ejercicio: Calcular la transformada de Laplace inversa de la función:
16
1
− 2
s−5 s +4
1
16
−1
−1
−1
f = L (F ) = L
−L
s−5
s2 + 4
2
1
−1
−1
−8 L
= e5t − 8 sen(2t)
=L
s−5
s2 + 4
F (s) =
Ejercicio: Calcular la transformada de Laplace inversa de la función:
F (s) =
s2
s2
s+9
− 2s − 3
s+9
s+9
A
B
A(s − 3) + B(s + 1)
=
=
+
=
− 2s − 3
(s + 1)(s − 3)
(s + 1) (s − 3)
(s + 1)(s − 3)
A(s − 3) + B(s + 1)
s(A + B) + (−3A + B)
=
=
(s + 1)(s − 3)
(s + 1)(s − 3)
A+B = 1
−3A + B = 9
A = −2
B =
3
=⇒
luego, podemos reescribirlo como:
s+9
−2
3
=
+
− 2s − 3
(s + 1) (s − 3)
3
−2
−1
−1
−1
+L
= −2e−t + 3e3t
f = L (F ) = L
(s + 1)
(s − 3)
F (s) =
s2
Ejercicio: Calcular la transformada de Laplace inversa de la función:
F (s) =
s2
s2
s
+ 4s + 13
s
s
s
s
= 2
= 2
=
=
+ 4s + 13
s + 2(2s) + 4 − 4 + 13
(s + 2(2s) + 4) + 9
(s + 2)2 + 32
s+2−2
s+2
2
=
=
−
=
2
2
2
2
(s + 2) + 3
(s + 2) + 3
(s + 2)2 + 32
s+2
2
3
=
−
2
2
(s + 2) + 3
3 (s + 2)2 + 32
−1
f = L (F ) = L
−1
2 −1
2
3
s+2
− L
= e−2t cos(3t)− e−2t sen(3t)
2
2
2
2
(s + 2) + 3
3
(s + 2) + 3
3
Resolver Ecuaciones Diferenciales usando la transformada de
Laplace
Ejercicio: Usar la transformada de Laplace para encontrar la solución del problema
de valor inicial:
y ′′ + y = cos 2t
con
y(0) = 0,
y ′ (0) = 1
L{y ′′ + y} = L{cos 2t}
L{y ′′} + L{y} = L{cos 2t}
s2 Y (s) − s y(0) − y ′(0) + Y (s) =
s2
s
+4
Y (s)(s2 + 1) − 1 =
s2
s
+4
1
s
Y (s) =
+1
(s2 + 1) s2 + 4
Y (s) =
s2 + s + 4
(s2 + 1)(s2 + 4)
Y (s) =
1
1
s
s
1
+ 2
−
2
2
3 (s + 1) (s + 1) 3 (s + 4)
ya que:
As + B
Cs + D
s2 + s + 4
= 2
+ 2
2
2
(s + 1)(s + 4)
(s + 1) (s + 4)
(As + B)(s2 + 4) + (Cs + D)(s2 + 1)
=
(s2 + 1)(s2 + 4)
As3 + 4As + Bs2 + 4B + Cs3 + Cs + Ds2 + D
=
(s2 + 1)(s2 + 4)
(A + C)s3 + (B + D)s2 + (4A + C)s + (4B + D)
=
(s2 + 1)(s2 + 4)
A+C
B+D
4A + C
4B + D
=
=
=
=
0
1
1
4
=⇒
A
B
C
D
=
1/3
=
1
= −1/3
=
0
1
s+1
− 31 s
s2 + s + 4
3
=
+
(s2 + 1)(s2 + 4)
(s2 + 1) (s2 + 4)
1
1
1
s
s
=
+ 2
−
2
2
3 (s + 1) (s + 1) 3 (s + 4)
Finalmente para encontrar el valor de y que es solución del problema de valor inicial,
utilizamos la inversa de la transformación de Laplace:
y(t) = L−1 (Y )
1 −1
1
s
s
1 −1
−1
+L
− L
L
=
3
(s2 + 1)
(s2 + 1)
3
(s2 + 22 )
=
1
1
cos(t) + sen(t) − cos(2t)
3
3
Funciones Discontinuas
Función intervalo:

t<a
 0 ,
Hab (t) =
1 , a6t<b

0 , b6t<∞
Función escalón unitario:
H(t) =
0 , t<0
1 , t>0
Función escalón unitario trasladada hasta el punto c:
0 , t<c
Hc (t) = H(t − c) =
1 , t>c
Podemos expresar la función intervalo Hab (t) en función de la función escalón unitario Ha (t) y Hb (t) a través de:
Hab (t) = Ha (t) − Hb (t) = H(t − a) − H(t − b)
Ejercicio: Exprese la función g(t) en términos de la función escalón unitario:
2t , 0 6 t < 1
g(t) =
2 , 16t<∞
g(t) =
=
=
=
=
2t H01 (t) + 2 H1 (t)
2t [H0 (t) − H1 (t)] + 2 H1 (t)
2t H0 (t) + (−2t + 2) H1 (t)
2t H(t − 0) − 2(t − 1) H(t − 1)
2t H(t) − 2(t − 1) H(t − 1)
Ejercicio: Exprese la función f (t) en términos de la función escalón unitario:

 3 , 06t<4
−5 , 4 6 t < 6
f (t) =
 −t
e
, 66t<∞
f (t) =
=
=
=
3 H04 (t) − 5 H46 (t) + e−t H6 (t)
3 [H0 (t) − H4 (t)] − 5 [H4 (t) − H6 (t)] + e−t H6 (t)
3 H0 (t) − 8 H4 (t) + 5 H6 (t) + e−t H6 (t)
3 H(t) − 8 H(t − 4) + 5 H(t − 6) + e−t H(t − 6)
La transformada de Laplace de la función escalón unitario
Z ∞
L(Hc )(s) =
Hc e−st dt
0
=
=
Z
c
−st
0e
dt +
0
Z
∞
1 e−st dt
c
Z
lim
T →∞
T
1 e−st dt
c
T
−T s
−e
e−cs
−e−st +
= lim
= lim
T →∞
T →∞
s s
s
c
=
e−cs
s
Luego,
L(Hab )(s) = L(Ha )(s) − L(Hb )(s) =
e−as − e−bs
s
La transformada de Laplace de una función trasladada
Sea f (t) una función continua por tramos y de orden exponencial. Sea F (s) la transformada de Laplace de f . Luego para c > 0, la transformada de Laplace de la función
H(t − c) f (t − c) esta dado por:
L H(t − c) f (t − c) = e−cs F (s)
Demostración
Z
L H(t − c) f (t − c) =
∞
H(t − c) f (t − c) e−st dt
0
=
Z
c
Z
∞
Z
∞
−st
0e
dt +
0
=
c
∞
f (t − c) e−st dt
f (t − c) e−st dt
c
=
Z
−s(τ +c)
f (τ ) e
0
= e−cs F (s)
(haciendo τ = t − c)
−cs
dτ = e
Z
∞
f (τ ) e−sτ dτ
0
Ejercicio: Encontrar la transformada de Laplace de la función H(t − π/4) sen(t)
La función sen(t) debe estar expresado en términos de (t − π/4)
sen(t) = sen((t − π/4) + π/4)
= sen(t − π/4) cos(π/4) + cos(t − π/4) sen(π/4)
√
√
2
2
= sen(t − π/4)
+ cos(t − π/4)
2
2
Luego,
√
2
2
H(t − π/4) sen(t − π/4) +
H(t − π/4) cos(t − π/4)
H(t − π/4) sen(t) =
2
2
√
Finalmente,
√
2 L H(t − π/4) sen(t) =
L H(t − π/4) sen(t − π/4) +
2
√
2 +
L H(t − π/4) cos(t − π/4)
2
√
√
√
2 −πs 1
2 −πs s
2 −πs 1 + s
e 4 2
+
e 4 2
=
e 4
L H(t − π/4) sen(t) =
2
s +1
2
s +1
2
s2 + 1
Proposición
Supongamos que f (t) es una función continua por tramos y de orden exponencial.
Supongamos que F (s) = L{f }(s). Luego,
L−1 {e−cs F (s)}(t) = H(t − c)f (t − c)
Ejercicio: Encontrar la transformada de Laplace inversa de la función
e−2s
s(s2 + 9)
A Bs + C
A(s2 + 9) + (Bs + C)s
(A + B)s2 + Cs + 9A
1
=
+
=
=
s(s2 + 9)
s
s2 + 9
s(s2 + 9)
s(s2 + 9)
A+B = 0
C = 0
9A = 1
=⇒
1/9 −1/9s
1
=
+ 2
s(s2 + 9)
s
s +9
A =
1/9
B = −1/9
C =
0
=⇒
e−2s
1 −2s 1 1 −2s
s
=
e
−
e
s(s2 + 9)
9
s 9
s2 + 9
luego,
−1
L
e−2s
s(s2 + 9)
1 −1 −2s 1
1 −1 −2s
s
=
e
− L
e
L
9
s
9
s2 + 9
=
1
1
H(t − 2) 1 − H(t − 2) cos(3(t − 2))
9
9
1
H(t − 2) (1 − cos(3(t − 2)))
9
0
,
t<2
=
(1 − cos(3(t − 2))) /9 , 2 6 t < ∞
=
Función Periódica
Una función f es periódica con perı́odo T si f (t + T ) = f (t) ∀t.
Si consideramos solo un perı́odo de la función f esta se puede describir como:
f (t) , 0 6 t < T
fT (t) =
0
, T 6t<∞
Proposición
Supongamos que f es periódica con perı́odo T y continua por tramos. Sea FT (s) la
transformada de Laplace de fT .
Z T
f (t) e−st dt
FT (s)
= 0
L{f }(s) =
−T
s
1−e
1 − e−T s
Convolución
Sea Y (s) = G(s)F (s)
=⇒
y(t) = L−1 {Y (s)}(t) = L−1 {G(s)F (s)}(t)
El producto convolución
Supongamos que f y g son funciones de orden exponencial. Supongamos que
L(f )(s) = F (s) y L(g)(s) = G(s). Luego,
Z t
−1
L {F (s) G(s)}(t) =
f (u) g(t − u) du
0
Definición
La convolución de dos funciones continuas por tramos f y g es la función f ∗ g definifa
por:
Z t
f ∗g =
f (u) g(t − u) du
0
luego,
L−1 {L(f )(s) L(g)(s)}(t) = f ∗ g
Teorema
Supongamos que f y g son funciones de orden exponencial. Luego,
L{f ∗ g}(s) = L{f }(s) L{g}(s)
Teorema
Supongamos que f , g y h son funciones continuas por tramos. Luego,
1. f ∗ g = g ∗ f
2. f ∗ (g + h) = f ∗ g + f ∗ h
3. (f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h)
4. f ∗ 0 = 0
Ejercicio: Sea f (t) = t2 − 2t y g(t) = t. Calcular (f ∗ g)(t)
Z t
(f ∗ g)(t) =
f (u) g(t − u) du
0
=
Z
t
Z
t
(u2 − 2u) (t − u) du
0
=
0
(tu2 − 2tu − u3 + 2u2 ) du
t3
t4
−
12
3
=
Ejercicio: Sea f (t) = sen t y g(t) = t. Calcular la convolución f ∗ g de dos formas:
Z t
a) Directamente de la definición f ∗ g =
f (u) g(t − u) du
0
b) Evaluando F = L(f ) y G = L(g) y luego calcular
a) f ∗ g =
Z
=
Z
= t
= t
= t
f ∗ g = L−1 {L(f ) L(g)}
t
f (u) g(t − u) du
0
t
0
h
h
h
sen u (t − u) du = t
Z
0
t
sen u du −
Z
t
u sen u du
0
it Z t
it h
− cos u du
− u cos u −
− cos u −
0
0
0
it it h
it h
− u cos u + sen u − cos u −
0
0
0
i h
i h
i
− cos(t) + cos(0) −
− t cos(t) + 0 cos(0) + sen(t) − sen(0)
= −t cos(t) + t + t cos(t) − sen(t) = t − sen(t)
b)
F = L(f ) = L(sen t) =
F (s)G(s) =
(s2
s2
1
+1
G = L(g) = L(t) =
1
1
As + B
C D
1
· 2 = 2
= 2
+ + 2
2
+ 1) s
(s + 1)s
(s + 1)
s
s
=
(As + B)s2 + Cs(s2 + 1) + D(s2 + 1)
(s2 + 1)s2
=
As3 + Bs2 + Cs3 + Cs + Ds2 + D
(s2 + 1)s2
(A + C)s3 + (B + D)s2 + Cs + D
=
(s2 + 1)s2
A+C
B+D
C
D
=
=
=
=
1
s2
0
0
0
1
=⇒
A
B
C
D
=
0
= −1
=
0
=
1
luego,
−1
1
+ 2
+ 1) s
1
1
+ L−1 2
L−1 {F (s)G(s)} = −L−1
2
(s + 1)
s
F (s)G(s) =
(s2
f ∗ g = − sen(t) + t