1. Función

Universidad de Valparaı́so
Instituto de Matemáticas
Unidad Funciones Reales
Módulo Matemática - Escuela de Psicologı́a
1.
Función
Definición 1 (Función) se dice que f es una función Real si y sólo si
i) f ⊆ R2 y
ii) (∀x, y, z ∈ R)((x, y), (x, z) ∈ f ⇒ y = z)
Observación: En el caso general se dice que f es una función de A en B si y sólo si f un
subconjunto de A × B y (∀x ∈ A)(∃!y ∈ B)((x, y) ∈ f )
El primer gráfico “papy” representa una función y el segundo no:
A
a
B
a
A
a
B
a
b
b
b
b
c
c
c
c
Ejemplo 1 La siguiente relación es una función
L = {(x, y) ∈ R2 | 2x + 3y = 1}.
La siguiente relación no es una función
P = {(x, y) ∈ R2 | y 2 = 4x + 1}
Definición 2 (Dominio de una Función) Se define el Dominio de f igual a
Domf = {x ∈ R | (∃!y ∈ R)((x, y) ∈ f )}.
Definición 3 (Recorrido de una Función) Se define el Recorrido de la función f igual
a
Rec(f ) = {y ∈ R | (∃x ∈ R)((x, y) ∈ f )}
Notación: Sea f una función, luego podemos escribir la función usando el siguiente código
f : Dominio de f −→ Conjunto de llegada
variable
7 → imagen única asociada
−
Donde “Conjunto de llegada” es un conjunto que contiene el Recorrido o la Imagen.
También en la literatura emplea otros nombres para Dominio y estos son Conjunto de
Partida, Conjunto de las Preimagen
1
2.
2.1.
Ejemplos
Dominio
Ejemplo 2 El Dominio de la función
L : A ⊆ R −→ R
es R
x
7−→ 1−2x
3
Ejemplo 3 El Dominio de la función
L : A ⊆ R −→ [1, ∞[
x
7−→ 1−2x
3
es DomL =] − ∞, −1]
Solución: Ya que debemos resolver
tenemos que
1−2x
3
≥ 1, que equivalente a x ≤ −1, de este modo
Ejemplo 4 Determinar el Dominio de la función
f : A ⊆ R − {4} −→ ] − ∞, 2]
2x + 5
x
7−→
x−4
Solución: Para determinar el dominio de f , debemos resolver
2x+5
x−4
≤ 2,
2x + 5
−2 ≤ 0
x−4
13
≤ 0
x−4
x−4 < 0
de este modo tenemos que Domf =] − ∞, 4[
3.
Gráfica de Funciones
La gráfica de una función f : A −→ B se define como el conjunto de pares ordenados
siguiente:
Graf (f ) = {(x, f (x)) ∈ A × B | y = f (x), x ∈ A} ⊂ R2
La representación gráfica de f se llama curva y se consigue marcando los puntos del conjunto
en el plano.
Ejemplo 5 Graficar la función f (x) = 2x + 5.
2
Para graficar podemos hacer una tabla en donde representemos a la variable dependiente
asignándole valores a la variable independiente y ası́ podemos representar algunos puntos en
el plano y conociendo la curva podremos trazarla, en este caso se trata de una recta luego
nos bastan dos puntos, ellos son (0, 5), (1, 7) ∈ f .
Funciones Lineales Son funciones de la forma f : R −→ R
con m, b ∈ R.
x 7−→ mx + b
Si y = f (x) entonces tenemos la ecuación y = mx + b y su gráfica corresponde a una
recta de pendiente m. La inclinación o pendiente de la recta depende del valor de m.
Ejemplo:
15
10
5
y = 2x + 5
−4 −2
−5
2
4
Funciones Cuadráticas Son funciones de la forma
f : R −→ R
x 7−→ ax2 + bx + c
con a, b, c ∈ R y a 6= 0.
Si y = f (x) entonces y = ax2 + bx + c, luego la gráfica de la función corresponde a una
parábola.
Ejemplo:
y = x2 − 5x + 6
12
9
6
3
−1
1 2 3 4 5
Función Raı́z Cuadrada: Esta función se define como:
+
f : R+
−→ R
0
√0
x 7−→
x
La gráfica de la función es la siguiente:
3
3
2
1
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Función Valor Absoluto: Esta función se define como:
f : R −→ R
x 7−→ |x|
La gráfica de la función es la siguiente:
6
4
y = |x|
2
−6
−4
−2
2
4
6
Otras notaciones para las funciones En general tenemos el uso de subı́ndice:
f : A ⊆ R −→ B ⊂ R
i
7−→ f (i) = fi
{fi }i∈A
Ejemplo 6
a : N0 −→
n
R
7−→ an =
n(n+1)
2
n
n(n+1)
2
o
n∈N0
podemos calcular a0 = 0, a3 = 6
Ejemplo 7 Dada la función f definida por {m2 + 1}m∈N , luego tenemos que f1 = 2, f3 = 10
Funciones definidas por recurrencia
Ejemplo 8 (Factorial)
! : N0 −→ N
n 7−→ n!
donde 0! = 1, (n + 1)! = (n + 1)(n!)
4
Algunos valores son
1!
2!
3!
4!
5!
=
=
=
=
=
1
2
6
24
120
Ejemplo 9 (Sumatoria) Dada la función {ai }i∈N0
P
: N0 −→ R
n
P
n 7−→
ai
i=0
donde
0
P
ai = a0 y
i=0
n+1
P
ai = an+1 +
i=0
n
P
ai
i=0
Además 0 < n ≤ m
m
X
ai =
i=n
m
X
i=0
ai −
n−1
X
ai
i=0
Ejemplo 10 Dada la función ai = i2 + 1 con i ∈ N, calcular
El valor es
5
P
5
P
ai
i=2
ai = a2 + a3 + a4 + a5 = 5 + 10 + 17 + 26 = 58
i=2
Ejemplo 11 Calcular
5
P
i(n + i),
i=2
5
P
i(n + i)
n=2
Solución:
5
X
i(n + i) = 2(n + 2) + 3(n + 3) + 4(n + 4) + 5(n + 5) = 14n + 54
i=2
5
X
i(n + i) = i(2 + i) + i(3 + i) + i(4 + i) + i(5 + i) = 14i + 4i2
n=2
Definición 4 (Igualdad de Funciones) Dadas dos funciones f : A −→ B y g : C −→ D
se dice que f = g si y sólo si se cumple que:
(A = C) ∧ (B = D)
(∀x ∈ A)(f (x) = g(x))
o bien, dos funciones son iguales si tienen el mismo dominio y conjunto de llegada B, y para
cada elemento del dominio idénticas imágenes.
Ejemplo 12 Sean f : R −→ R
y g : R − {0} −→ R
2
x 7−→ x + 1
x 7−→ x x+x
En este caso tenemos que f 6= g ya que Domf 6= Domg.
5
4.
Algebra de Funciones
Definición 5 Sean f y g funciones y sea D = Dom(f ) ∩ Dom(g) 6= φ entonces se pueden
definir nuevas funciones.
1.- La suma de f y g se define por
f + g : D −→
R
x 7−→ f (x) + g(x)
2.- La diferencia de f y g se define por
f − g : D −→
R
x 7−→ f (x) − g(x)
3.- El producto de f y g se define por
f · g : D −→
R
x 7−→ f (x) · g(x)
4.- El producto por una escalar, caso especial se define como:
αf : Dom(f ) −→
R
x
7−→ (αf )(x) = αf (x)
5.- Si D ′ = {x ∈ D | g(x) 6= 0} =
6 φ entonces cuociente de f con g se define por
f
: D ′ −→
g
x 7−→
R
f (x)
g(x)
6.- Sean A, B subconjuntos de números reales y sean f : A −→ R y g : B −→ R dos
funciones tales que
C = {x ∈ A | f (x) ∈ B} =
6 φ.
Entonces se define la compuesta de f y g dada por:
(g ◦ f ) : C −→ R
x 7−→ g(f (x))
Claramente tenemos que C = Dom(g ◦ f )
Observación: Un caso particular donde ésta definición se cumple, es cuando tenemos que
Rec(f ) ⊆ Domg = B, entonces Dom(g ◦ f ) = Dom(f ) = C
Ejemplo 13 Sean
f : [−2, 2] −→ √ R
x 7−→
4 − x2
g : R −→ R
x 7−→ 3x + 1
Encontrar la suma, la resta, el producto y el cuociente de f con g.
6
Solución: El dominio de f es Dom(f ) = [−2, 2] y el de g es Dom(g) = R.
Luego
Dom(f ) ∩ Dom(g) = [−2, 2] 6= φ
La suma de f y g
La diferencia
El producto
El cuociente
(f + g) : [−2, 2] −→ √
R
4 − x2 + (3x + 1)
x 7−→
(f − g) : [−2, 2] −→ R
√
x 7−→
4 − x2 − (3x + 1)
(f g) : [−2, 2] −→ R
√
x 7−→
4 − x2 · (3x + 1)
f
: [−2, 2] − { −1
} −→ R
3
g
√
4−x2
x 7−→ 3x+1
Ejemplo 14 Sea
Encontrar f ◦ f , f ◦ f ◦ f
f : R − {0} −→ R − {0}
x
7−→ x1
Solución: Sabemos que Recf ⊆ Domf , luego Dom(f ◦ f ) = Domf , calculemos ahora la
imagen.
1
1
(f ◦ f )(x) = f (f (x)) = f ( ) = 1 = x
x
x
luego tenemos
f ◦ f : R − {0} −→ R − {0}
x
7−→ x
La otra compuesta la obtenemos
(f ◦ f ◦ f )(x) = f ((f ◦ f )(x)) = f (x) =
ası́ tenemos
f ◦ f ◦ f : R − {0} −→ R − {0}
x
7−→ x1
7
1
x
5.
Función Biyectiva
Definición 6 Sea f : A −→ B una función, diremos que f es Biyectiva si y sólo si existe
una función g : B −→ A tal que
1. (∀b ∈ B)((f ◦ g)(b) = b) y
2. (∀a ∈ A)((g ◦ f )(a) = a).
La función g se llama función inversa de f y se denota por f −1 .
Observación: Para la existencia de tal función ea necesario que todo elemento de B tenga
preimagen, es decir B = Recf . Además no pueden existir dos elemento que tenga la misma
imagen,
Definición 7 Una función f : A −→ B
i) se dice que f es inyectiva si y sólo si
(∀a, b ∈ A)(f (a) = f (b) =⇒ a = b)
Es decir, f es inyectiva si y sólo si todo y ∈ Rec(f ) tiene una y sólo una preimágen en el
Dom(f ).
ii) se dice que f es epiyectiva o sobreyectiva si y sólo si Rec(f ) = B. Es decir, todo
elemento del conjunto de llegada tiene preimagen
Proposición 1 Una función f : A −→ B se dice biyectiva si y sólo si es inyectiva y sobreyectiva.
Ejemplo 15 Demostrar la inyectividad de la siguiente función
f : R − {2} −→ R − {3}
x 7−→ 3x+2
x−2
Solución: Sean x, y ∈ R − {2} tales que
f (x) = f (y) =⇒
=⇒
=⇒
=⇒
=⇒
=⇒
3x + 2
x−2
(3x + 2)(y − 2)
3xy + 2y − 6x − 4
2y − 6x
8y
y
Luego f es inyectiva.
Determinemos si la función anterior es epiyectiva
8
=
=
=
=
=
=
3y + 2
y−2
(3y + 2)(x − 2)
3xy + 2x − 6y − 4
2x − 6y
8x
x
Para ello
3x + 2
= y ⇔ 3x + 2 = yx − 2y
x−2
⇔ 3x − yx = −2y − 2
⇔ x(3 − y) = −2y − 2; y 6= 3
2y + 2
⇔ x=
y−3
Además
2y + 2
= 2 ⇔ 2 = −6
y−3
Ası́ tenemos que Recf = R − {3} y la función inversa es
f −1 : R − {3} −→ R − {2}
y 7−→ 2y+2
y−3
9