Funciones inducidas confluentes en hiperespacios C n

Funciones inducidas confluentes en hiperespacios C n

Funciones inducidas confluentes en hiperespacios
2X y Cn(X)
Dúwamg Alexis Prada Marı́n
Modalidad : Charla corta
Área : Geometrı́a y Topologı́a
Resumen
En esta charla presentaremos algunos resultados sobre las funciones confluentes f , 2f y Cn (f ). Se presentaran además algunos ejemplos de este tipo de
funciones, las relaciones existentes entre dichas funciones y algunos hiperespacios de continuos conocidos.
1.
Introducción
El profesor J. J. Charatonik define las funciones confluentes y las utiliza
como una herramienta en el estudio de las propiedades de un tipo de continuos
hereditariamente unicoherente y hereditariamente indescomplonibles, llamados
λ−dendroides, ya que dichas propiedades permanecen invariantes bajo este tipo
de funciones. En 1979 en el artı́culo ”Continuous mappings on continua”de
T. Maćkowiak utiliza una clase de funciones confluentes, llamadas débilmente
confluentes. Este tipo de funciones garantiza que la función inducida C(f ) es
sobreyectiva.
Respecto a las funciones inducidas en los hiperespacios, se han estudiado
las relaciones existentes entre ellas, cuando la función es confluente. Determinar
bajo que condiciones las demás funciones preservan la misma caracterı́stica, es
un trabajo iniciado por Hosokawa en 1997 en ”Induced mappings on hyperspaces”. Aún existen preguntas abiertas respecto a las funciones inducidas y las
propiedades que preservan.
2.
Definiciones Básicas
Definición 2.1. Un continuo es un espacio métrico, compacto, conexo diferente
de vacı́o. Dado un continuo X, definimos los siguientes hiperespacios de X:
1.
2X = {A ⊂ X : A es cerrado y diferente del vacı́o};
2.
Cn (X)= {A ∈ 2X : A tiene a lo más n componentes}, n ∈ N;
Definición 2.2. Sea f : X → Y una función continua y sobreyectiva definida
entre continuos. Diremos que f es confluente si para cualquier subcontinuo Q
de Y y cualquier componente D de f −1 (Q) se tiene que f (D) = Q.
1
Definición 2.3. Sea f : X → Y una función continua y sobreyectiva definida
entre continuos. Definimos:
1.
2f : 2X → 2Y como la función inducida entre los hiperespacios 2X y 2Y ,
tal que 2f (A) = f (A) para cada A ∈ 2X .
2.
Cn (f ) : Cn (X) → Cn (Y ) como la función inducida entre los hiperespacios Cn (X) y Cn (Y ), tal que Cn (f ) = 2f |Cn (X) para n ∈ N, es decir,
Cn (f )(A) = f (A) para cada A ∈ Cn (X).
Teorema 2.4. Sea f : X → Y una función continua entre continuos. De las
siguientes afirmaciones:
1.
f : X → Y es confluente,
2.
C(f ) : C(X) → C(Y ) es confluente,
3.
2f : 2X → 2Y es confluente.
Entonces se tiene que (2) implica (1) y (3) implica (1).
Si en el teorema anterior adicionamos la condición que Y sea localmente
conexo, entonces las afirmaciones del teorema resultan equivalentes.
Existen ejemplos en los cuales la confluencia de la función f no implica la
confluencia de la función inducida C(f ).
Por otra parte, existen ejemplos en los cuales, dada una función f , la confluencia de C(f ) no implica la confluencia de 2f .
2
1
Ejemplo 2.5. Sean S = { t+1
t (cos(t), sin(t)) ∈ R : t ≥ 1}, S = {(x, y) ∈
R2 : x2 + y 2 = 1} y X = S ∪ S 1 . Note que X es un continuo. Consideremos la
siguiente relación de equivalencia en X, para cualesquiera p y q ∈ X:

1

p y q ∈ S , y q∈ {p, −p}
p ∼ qsi y sólo si o


pyq∈S yp=q
Mediante esta relación de equivalencia obtenemos la siguiente partición del
continuo X:
D = {{p, −p} : p ∈ S 1 } ∪ {{p} : p ∈ S}
Esta partición es un continuo. Sea la función canónica f : X → D, es decir,
para cada p ∈ X, f (p) =D, donde D es el único elemento de D que lo contiene.
La función inducida C(f ) es confluente pero 2f no lo es.
3.
Resultados Adicionales y Preguntas abiertas
Teorema 3.1. Sea f : X → Y una función continua entre continuos. Consideremos las siguientes condiciones:
1.
f : X → Y es confluente,
2.
C2 (f ) es confluente.
2
Entonces (2) implica (1). Si Y es localmente conexo, entonces (1) y (2) son
equivalentes.
La siguiente pregunta aún sigue abierta.
Pregunta 3.2. Si 2f es confluente, es entonces C(f ) confluente?
Existe un ejemplo en el que se prueba que la función f : [1−, 1] → [0, 1]
definida por f (x) =| x | para cada x ∈ [0, 1], es confluente , pero Cn (f ) no es
confluente para n ≥ 3. Sin embargo, se tiene el siguiente resultado.
Teorema 3.3. Sea f : X → Y una función continua entre continuos, y n ∈ N.
Si la función Cn (f ) es confluente entonces f es confluente.
Dado que f tiene rango localmente conexo, se tiene que C2 (f ) es confluente.
De lo anterior, surge la siguiente pregunta:
Pregunta 3.4. Existe un continuo Y no localmente conexo y una función confluente f : X → Y tal que C2 (f ) es confluente?
Teorema 3.5. Sea f : X → Y una función continua entre continuos, donde Y
es localmente conexo y n ∈ {1, 2}. Entonces f es confluente si y sólo si Cn (f )
es confluente.
4.
Conclusiones
1.
Dada una función f confluente, las funciones inducidas 2f y Cn (f ) nos permiten bajo ciertas condiciones generar ejemplos de funciones confluentes
entre espacio de dimensión mayor.
2.
Las funciones confluentes son una herramienta que nos permite preservar
ciertas propiedades topológicas entre los espacios.
3.
Las funciones inducidas nos ayudan a estudiar ciertas propiedades sobre
los hiperespacios.
Referencias
[1] F. Barragan, Funciones Inducidas en Hiperespacios de Continuos, Tesis de
Maestrı́a, Benemérita Universidad Autónoma de Puebla, Puebla-México,
2007
[2] J. Camargo, Funciones Inducidas en Hiperespacios de Continuos, Tesis de
doctorado,Universidad Nacional Autónoma de México, México,D.F. 2009.
[3] J. J. Charatonik, Confluent mappings and unicoherence of continua, Fund.
Math, 56 (1964), 213-220.
[4] W. J. Charatonik, Arc approximation property and confluent of induced
mappings, Rocky Mountain J. Math., 28 (1998), 107-154.
[5] H. Hosokawa, Induced mappings on hyperspaces, Tsukuba J. Math., 21
(1997) 239-250.
[6] T. Maćkowiak, Continuous mappings on continua, Dissetationes Math
(Rozprawy Mat.), 158 (1979) 1-95.
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