Teoremas de Convergencia

Capı́tulo 24
Teoremas de Convergencia
El teorema de la convergencia monótona (Lema 21.3) establece ciertas condiciones sobre una sucesión
de funciones medibles para que se puedan perR
mutar los sı́mbolos “ ” y “ lim ”, es decir para que
Z
Z
(24.1)
lim fk = lim fk .
En este capı́tulo consideraremos otras condiciones bajo las que sea cierta la
fórmula 24.1. A lo largo de él hemos de tener presente que siempre que unas
determinadas hipótesis conduzcan a la validez de la igualdad anterior, esas
hipótesis restringidas a un conjunto medible B garantizan también, si no se
dice nada en contra, la validez de la misma sobre B, es decir
Z
Z
(24.2)
lim
fk =
lim fk ,
B
B
De igual modo, estas hipótesis sólo deberán ser verificadas normalmente en
casi todo punto.
Convergencia monótona
El teorema de la convergencia monótona para funciones no negativas proporciona, invirtiendo las hipótesis, un teorema de convergencia para funciones
no positivas. Por lo que, hasta aquı́, tendrı́amos un teorema de convergencia para sucesiones no decrecientes de funciones no negativas (0 ≤ fk %), y
otro para sucesiones no crecientes de funciones no positivas (0 ≥ fk &). En
general las hipótesis de estos dos teoremas no podrán ser intercambiadas.
Ası́, para una sucesión no creciente de funciones no negativas (0 ≤ fk &)
no es seguro que la fórmula 24.1 sea válida:
239
240
Teoremas de Convergencia
24.1
Ejemplo 24.1 Sea {fk } la sucesión de funciones
fk (x) = 1/k.
Esta sucesión es claramente no decreciente, todas las funciones son no positivas y converge puntualmente a 0. Es inmediato comprobar que
Z
fk = +∞, ∀k,
y por tanto
Z
+∞ = lim
Z
fk 6=
Z
lim fk =
0 = 0.
No obstante, manteniendo la monotonı́a de la sucesión pero sin hacer
referencia alguna al signo de las funciones, aún es posible obtener un buen
teorema de convergencia:
Teorema 24.2 (De la convergencia monótona generalizado) Sea
{fk } una sucesión monótona (da igual que sea creciente o decreciente) de
funciones medibles. Si alguna de las
de esta sucesión es integrable,
R funciones
R
entonces las dos expresiones, lim fk y lim fk , existen y
Z
Z
lim fk = lim fk .
Demostración. Supongamos, para concretar, que la sucesión es no decreciente y que la función fk es integrable. Consideremos entonces la sucesión no
decreciente de funciones medibles y no negativas, definida c.s., {fs − fk }s≥k .
Si llamamos f = lim fs , es claro que
0 ≤ fs − fk % f − fk (c.s.)
luego, por el teorema de la convergencia monótona para funciones no negativas,
Z
Z
lim (fs − fk ) = (f − fk )
s→∞
y, por tanto, si fuese cierto que
Z
Z
Z
Z
Z
Z
(24.3)
(fs − fk ) = fs − fk ;
(f − fk ) = f − fk ,
24.3
Teoremas de Convergencia
se tendrı́a
Z
lim
Z
fs −
Z
fk =
Z
f−
241
Z
fk ⇒ lim
Z
fs =
f.
Veamos pues que 24.3 se verifica:
Escribamos fs = (fs − fk ) + fk . Entonces, puesto que fk es integrable
y (fs − fk ) ≥ 0, se satisfacen las condiciones de la proposición 23.13 para
deducir que
Z
Z
Z
Z
Z
Z
fs = (fs − fk ) + fk ⇒
(fs − fk ) = fs − fk .
R
R
R
De igual modo se demuestra que (f − fk ) = f − fk .
El resultado siguiente nos servirá de lema para la demostración de otro teorema de convergencia muy utilizado, el teorema de la convergencia dominada
de Lebesgue.
Teorema 24.3 (Lema de Fatou) (a) Si {fk } es una sucesión de funciones
medibles no negativas, entonces
Z
Z
limfk ≤ lim fk .
(b) Si {fk } una sucesión de funciones medibles no positivas negativas, entonces
Z
Z
limfk ≥ lim fk .
V
Demostración. (a) Sea gk = j≥k fj . Obviamente, {gk } es una sucesión no
decreciente de funciones medibles y no negativas y
lim gk = limfk ,
luego
Z
Z
Z
Z
lim gk = lim gk ≤ lim fk ,
R
R
donde la desigualdad, lim gk ≤ lim fk , se obtiene ası́: De la definición
de gk se deduce que gk ≤ fj , para cada j ≥ k, por tanto
Z
Z
Z
Z
Z
Z
gk ≤ fj , ∀j ≥ k ⇒
gk ≤ inf fj ⇒ lim gk ≤ lim fk .
limfk =
j≥k
(b) Resulta de (a) aplicado a la sucesión {−fk }.
242
Teoremas de Convergencia
24.4
Convergencia dominada
Teorema 24.4 Sea {fk } una sucesión de funciones medibles que converge
puntualmente a la función f y supongamos que existe una función integrable
F tal que |fk | ≤ F , entonces
(a) f es integrable.
Z
Z
(b)
f = lim fk .
Demostración. De la condición |fk | ≤ F y la convergencia puntual de la
sucesión fk hacia la función f , se deduce trivialmente que |f | ≤ F , lo que
implica (por F integrable)
que
R
R cada función fk y f son funciones integrables.
Veamos que f = lim fk . Tenemos por hipótesis que −F ≤ fk ≤ F ,
para todo k. Aplicando entonces el lema de Fatou (a) a la sucesión de
funciones no negativas {fk + F }, resulta
Z
Z
Z
(f + F ) = lim(fk + F ) ≤ lim (fk + F ),
de donde se deduce, haciendo uso de la linealidad del operador integral, que
Z
Z
f ≤ lim fk .
Análogamente, aplicando de nuevo el teorema de Fatou, ahora a la sucesión de funciones no positivas {fk − F }, obtendrı́amos
Z
Z
f ≥ lim fk .
y uniendo ambas desigualdades, teniendo en cuenta que el lı́mite inferior de
una sucesión de numeros reales es menor o igual que el lı́mite superior, se
tiene ya
Z
Z
Z
Z
f ≤ lim
fk ≤ lim
fk ≤
f,
lo que implica que todas las desigualdades
anteriores son, en realidad, igualR
dades y por tanto, que
existe
lim
f
(por
coincidir el lı́mite superior y el
k
R
inferior) y es igual a f .
El corolario siguiente proporciona una versión “fuerte”del teorema de la
convergencia dominada.
24.6
Teoremas de Convergencia
243
Corolario 24.5 Sean {fk } y f como en el teorema anterior. Entonces
Z
lim |fk − f | = 0.
Demostración. Vamos a aplicar lo obtenido antes a la sucesión {|fk − f |}.
Por hipótesis la sucesión de funciones {|fk − f |} converge a 0 en cada uno
de los puntos x en que estén definidas las funciones |fk − f |, luego en c.t.p.,
pues fk y f son funciones integrables. |fk − f | ≤ 2 F , siendo la función 2 F
integrable, luego
Z
lim
|fk − f | = 0.
En el teorema anterior hemos hecho referencia a una versión fuerte del mismo, pareciendo indicar con ello que
Z
Z
Z
lim
|fk − f | = 0 ⇒ lim
fk = f ?
k→∞
k→∞
Z
Esto es verdad, pero siempre que existan las integrales
fk , concretamente:
ProposiciónR 24.6 Sean {fk } y f funciones medibles y supongamos que
para cada k, fk 6= ∞ − ∞, entonces
Z
Z
Z
Z
lim
|fk − f | = 0 ⇒
f 6= ∞ − ∞, y lim
fk = f.
k→∞
k→∞
R
Demostración. Para ε > 0 sea ν ∈ N tal que |fk − f | < ε si k ≥ ν. Supongamos en primer lugarRque todas las
fk , k ≥ ν son integrables.
R funciones
R
Entonces, se tiene que (fk − f ) = fk − f , por lo que podemos escribir
Z
Z
Z
Z
¯
¯ ¯
¯
¯ fk − f ¯ = ¯ (fk − f )¯ ≤ |fk − f | < ε,
R
R
luego, limk→∞ fk = f .
R
Supongamos que existe p ≥ ν tal que fp = ∞ y escribamos f =
(f − fp ) + fp . De las hipótesis y del
R teorema de aditividad de la integral
(Proposición 23.13) se deduce que f existe y
Z
Z
Z
(24.4)
f = (f − fp ) + fp = ∞.
244
Teoremas de Convergencia
24.6
Por otra parte, escribiendo
fk = (fk − f ) + f
R
vemos que
fkR = ∞, para todo k ≥ ν. Luego, también en este caso,
R
limk→∞ fk = f .
R
Ejemplos triviales que muestran que laR condición limk→∞ |fk − f | = 0 no
implica la existencia de las integrales fk , pueden construirse sin más que
tomar fk = f para todo k, y f una función medible, cuya integral no existe
(por ejemplo f (x) = −1, si x ≤ 0; f (x) = 1, si x > 0).
R
R Por otra parte, el nuevo Rejemplo prueba que la condición limk→∞ fk =
f no implica que limk→∞ |fk − f | = 0.
Ejemplo. Sea fk = −1/k X[−k,0] + 1/k X[0,k] ; f = 0.
R
Como fk = 0, se tiene que
Z
Z
lim
fk = f = 0.
k→∞
En cambio,
Z
lim
k→∞
|fk − f | = 2 6= 0.
Vamos a ver a continuación dos casos particulares del teorema de la
convergencia dominada:
Corolario 24.7 Sea B un conjunto medible y de medida finita, y sea {fk }
una sucesión de funciones medibles sobre B, que converge puntualmente
sobre B a una función f . Supongamos que se satisface una de las dos
condiciones siguientes:
(i) Existe una constante M tal que |fk (x)| ≤ M , para cada x ∈ B.
(ii) La sucesión {fk } converge uniformemente en B a la función f .
Entonces,
Z
lim
k→∞ B
|fk − f | = 0.
Demostración. La condición i) significa que
|fk XB | ≤ M XB .
24.9
Teoremas de Convergencia
245
R
Puesto que la función F = M XB es integrable ( M XB = M ·m(B) < ∞)
y {fk XB } → f , aplicando el teorema de la convergencia dominada, se tiene
que
Z
Z
0 = lim
k→∞
|fk XB − f XB | = lim
k→∞ B
|fk − f |.
De la condición ii) se deduce que, dado ε > 0,
|fk − f |XB ≤ εXB
para k suficientemente grande. Por lo que, aplicando de nuevo el teorema
de la convergencia dominada, resulta lo que queremos.
Consecuencias
24.8 Si {fk } es una sucesión de funciones medibles, no negativas, entonces
Z X
XZ
fk .
fk =
Para probarlo sólo hay que aplicar el teorema de la convergencia monótona
y la aditividad del operador integral a la sucesión de funciones no negativas
gk =
k
X
fi .
i=1
24.9 Si {Bk } es una sucesión de conjuntos medibles disjuntos dos a dos,
f una función medible sobre ∪Bk , y suponemos que existe su integral sobre
∪Bk , entonces
Z
XZ
f=
f.
∪Bk
Bk
Si f ≥ 0, entonces, del resultado anterior y la igualdad
X
f X∪Bk =
f XBk ,
se deduce que
Z
f X∪Bk =
XZ
f XBk =
XZ
Bk
f.
246
Teoremas de Convergencia
En el caso general, supongamos por ejemplo que
Z
Z
Z
+
f=
∪Bk
f −
f
∪Bk
−
=
XZ
∪Bk
24.9
R
+
∪Bk
f −
f + < ∞, entonces
XZ
Bk
f −,
Bk
R
que nos dice que ∪Bk f es la diferencia de dos series de términos positivos,
siendo la primera de ellas convergente. Se tiene entonces que
Z
Z
XZ
XZ
XZ
XZ
+
−
+
−
f=
f −
f =
(
f −
f )=
f.
∪Bk
Bk
Bk
Bk
Bk
Bk
Para escribir las igualdades anteriores hemos utilizado el siguiente resultado,
cuya demostración constituye un sencillo ejercicio:
P
P
Si
ak ,
bk son dos series de términos positivos, y suponemos que una
de ellas es convergente, entonces
X
ak −
X
bk =
X
(ak − bk ).
24.10 Sea B1 ⊂ B2 ⊂ . . . una sucesión no decreciente de conjuntos medibles, y supongamos que f es una función medible cuya integral sobre ∪Bk
existe, entonces
Z
Z
f = lim
f.
∪Bk
k→∞ Bk
Si f ≥ 0, la demostración resulta de aplicar el teorema de la convergencia
monótona a la sucesión no decreciente {f XBk }. En el caso general se procede
como antes.
24.11 Sea B1 ⊃ B2 ⊃ . . . una sucesión no creciente de conjuntos medibles,
y supongamos que f es una función integrable sobre algún Bk , entonces
Z
Z
f = lim
f.
∩Bk
k→∞ Bk
En caso de ser f ≥ 0, la demostración resultará de aplicar el teorema 24.2
a la sucesión {f XBk }, de ahı́ la necesidad de la hipótesis f integrable sobre
algún Bk . El caso general, como en los resultados precedentes.
24.13
Teoremas de Convergencia
247
24.12 Sea {Bk } una sucesión de conjuntos medibles, tal que lim m(Bk ) =
0. Entonces, si f es una función integrable, se tiene que
Z
lim
f = 0.
k→∞
k→∞ Bk
Demostración. El resultado es evidentemente cierto si f es una función
acotada, pues entonces
Z
Z
¯
¯
¯
¯
|f | ≤ c ⇒
f ≤
|f | ≤ cm(Bk ) → 0.
Bk
Bk
En general, denotemos por Cα = {x : |f (x)| ≥ α}. Entonces
Z
Z
Z
|f | =
Bk
Z
|f | +
Por tanto
|f | ≤
c
Bk ∩Cα
Bk ∩Cα
Z
|f | ≤
Bk
Z
lim
|f | , ∀α > 0,
Cα
Z
|f | ≤
Bk
|f | + αm(Bk ).
Z
lim
en particular,
Cα
|f | , ∀p = 1, 2, . . .
Cp
R
Pero la sucesión de integrales, Cp |f |, tiende a 0 en virtud de 24.11, ya que
R
obviamente C1 ⊃ C2 ⊃ . . .. Se deduce pues que lim Bk |f | = 0.
Corolario 24.13 (Continuidad absoluta) Si f es una función integrable, entonces para cada ε > 0 existe un δ > 0 tal que
Z
¯
¯
¯
m(B) < δ ⇒
f ¯ < ε.
B
de conDemostración. De lo contrario, existirı́a un ε > 0 y una
¯ R sucesión
¯
juntos {Bk } tales que m(Bk ) < 1/k, mientras que ¯ Bk f ¯ > ε, lo cual
contradice 24.12.
248
Teoremas de Convergencia
24A
Ejercicios
24A Sea f una función integrable y Bp = {x : |f (x)| ≥ p}.
(a) Probar que limp→∞ p m(Bp ) = 0.
(b) Probar que
∞
X
p m(Bp+1 \ Bp )) < +∞.
p=0
(c) Probar que la condición sobre f en el apartado (a) no implica f integrable.
La condición en el apartado (b) implica que f es integrable si {x : f (x) 6= 0}
es de medida finita.
24B Encontrar sucesiones monótonas {fk } que no satisfagan las hipótesis
de ninguno de los teoremas de convergencia monótona y tales que
R
• fk = ∞ − ∞ , ∀k.
R
R
• lim fk 6= lim fk
R
R
• lim fk = lim fk
24C (a) Probar que si {fk } es una sucesión de funciones integrables que converge uniformemente a una función f sobre un conjunto B de medida finita,
entonces f es integrable sobre B y
Z
Z
f = lim
fk .
B
B
(b) Demostrar que la condición del apartado anterior, B de medida finita, no se
puede quitar.
(c) Construir una sucesión de funciones {fk } que converja uniformemente en un
conjunto de medida finita B y tal que para todo k
Z
fk = ∞ − ∞.
B
24D Probar que si Bk y B son conjuntos medibles tales que m(Bk ∆B) → 0,
entonces
Z
Z
lim
f=
k→∞
Bk
B
para toda f integrable.
24E Demostrar que si f es una función integrable entonces
Z ∞
2
lim
e−m sen x · f (x) = 0.
m→∞
0
24K
Teoremas de Convergencia
249
24F Consideremos la sucesión de funciones
px2
1
cos
.
px − y
px − y
fp (x, y) =
(a) Probar que se trata de una sucesión de funciones medibles que converge c.s.
¿hacia qué función?
(b) ¿Se puede aplicar el teorema de la convergencia dominada en B = {(x, y) : 0 <
y < x < 1}.
24G Probar que si f es una función medible sobre el intervalo [a, b] y para cada
Rx
c.s.
x ∈ [a, b] se tiene que a f =R0, entonces f = 0.
indicación. Observar que I f = 0 para cada semintervalo contenido en [a, b] y
utilizar la continuidad absoluta de la integral.
24H Sea f ∈ L 1 (R) derivable en 0 y tal que f (0) = 0. Probar que la función
g(x) = f (x)/x es integrable en R.
que converge
24I Sea fk una sucesión monótona de funciones reales e integrables
R
puntualmente a una función f . ¿Es cierto entonces que limk→∞ |f − fk | = 0?
24J Sea fk una sucesión de funciones mediblesR que converge puntualmente
a una
R
función f . Probar que si existe M > 0 tal que |fk | ≤ M entonces |f | ≤ M .
24K Sea fk una sucesión de funciones medibles “no negativas”que converge puntualmente a una función integrable f y sea para cada k, Bk = {x : f (x) ≥ fk (x)}.
(a) Probar que
Z
lim
k→∞
(b) Probar que
Z
(f − fk ) = 0.
Bk
Z
|f − fk | =
Z
(f − fk ) + 2
(f − fk ).
Bk
(c) Deducir de los apartados anteriores
que
R
R si, además de las
R hipótesis iniciales
sobre {fk } y f , se tiene que lim fk = f , entonces lim |f − fk | = 0. ¿Puede suprimirse la hipótesis fk ≥ 0 para cada k? y la hipótesis f integrable?