apuntes 3 - GAMA FIME

La expresión anterior está en el dominio de Laplace. Dicha representación puede ser escrita
como una ecuación en función de las variables de entrada U (s) y las variables de salida del
sistema Y (S) de la siguiente manera.
Ésta a su vez, puede ser transformada al dominio del tiempo
Esta ecuación diferencial es la que representa la dinámica del sistema.
2.6.2
Transformación entre la ecuación de estado y una función de
transferencia
Consideremos la forma general de la representación de espacio de estados, la cual es también
equivalente a tener una función de transferencia G(s), como se vio anteriormente
ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t)
y(t) = Cx(t) + Du(t)
(2.120)
(2.121)
Primer pregunta sencilla que puede ser hecha al transformar ec. de edo y ec. de salida en fn.
de transf
representación de la ec. de edo, es en dominio tiempo y representación de fn. de transf es el
dominio Laplace. Por lo tanto primero tenemos que cambiar dicha representación del dominio
del tiempo al dominio Laplace.
Es posible realizar la transformación de este sistema expresado como ecuaciones de estado a
una representación de función de transferencia por medio de un procedimiento simple.
Consideremos el sistema dado por las ecuaciones (2.120)-(2.121) y expresemos las variables en
el dominio de Laplace.
©
ª
L ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t)
(2.122)
sX(s) − x(0) = AX(s) + BU (s)
(2.123)
y
©
ª
L y(t) = Cx(t) + Du(t)
Y (s) = CX(s) + DU (s)
(2.124)
(2.125)
(sI − A)X(s) = BU (s) + x(0)
X(s) = (sI − A)−1 BU (s) + (sI − A)−1 x(0)
(2.126)
(2.127)
£
¤
Y (s) = C(sI − A)−1 B + D U (s) + C(sI − A)−1 x(0)
(2.128)
de esto obtenemos
además,
De esta ecuación, vemos que el primer término representa la función de transferencia
G(s) =
Y (s)
= C(sI − A)−1 B + D
U (s)
(2.129)
El segundo término C(sI − A)−1 x(0) es la respuesta de la condición inicial. Es parte de la
respuesta, pero no de la función de transferencia.
23
Además, si tomamos en cuenta que la condición inicial es x(0) = 0, la ecuación anterior se
reduce y se puede expresar solamente como una función de transferencia.
La función de transferencia tendrá una dimensión G(s) ∈ Rp×m de acuerdo al numero de
entradas y salidas que tenga el sistema original expresado por las ecuaciones (2.120)-(2.121)
2.6.3
Ejemplos
Ejemplo 2.6.1. Representación en el espacio de estados a funcion de transferencia
Sea

 




10
x1
0
1
0
ẋ1
 ẋ2  =  0
0
1   x2  +  0  u
0
x3
−1 −2 −3
ẋ3


x1

y = [1 0 0] x2 
x3
(2.130)
(2.131)
Puesto que sabemos las matrices del sistema {A, B, C, D}, debemos aplicar el método para
realizar la transformación de la representación en el espacio de estados a una función de transferencia.
Obtengamos primero la ecuación caracterı́stica (sI − A).

 
 

s 1
0
0
1
0
1 0 0
0
1  =  0 s −1 
(2.132)
(sI − A) = s  0 1 0  −  0
1 2 s+3
−1 −2 −3
0 0 1
(sI − A)−1 =
adj(sI − A)
det (sI − A)
det (sI − A) = s2 (s + 3) + 1 + 2s
= s3 + 3s2 + 2s + 1
(2.133)
(2.134)
(2.135)
T

 2
s(s + 3) + 2
−1
−s
s + 3s + 2
s+3
1


s+3
s(s + 3) −(2s + 1) 
−1
s(s + 3) 2 
2
1
2
s
−s
−(2s + 1) s2
(sI − A)−1 =
=
s3 + 3s2 + 2s + 1
s3 + 3s2 + 2s + 1
(2.136)

 2
s + 3s + 2
s+3
1
−1
s(s + 3) 2 
[1 0 0] 
−s
−(2s + 1) s2
(2.137)
G(s) =
s3 + 3s2 + 2s + 1
Simplificando obtenemos
10(s2 + 3s + 2)
(2.138)
G(s) = 3
s + 3s2 + 2s + 1

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