Taller # 2 - Relaciones y Funciones

Taller # 2 - Relaciones y Funciones
Introducción al Cálculo
Departamento de Matemáticas
1) En los conjuntos A = {a, b, c}, B = {0, 1, 2, 3} se definen las siguientes relaciones. Decida cuales de
ellas son funciones.
a) {(a, 1), (b, 1), (c, 3)}
b) {(a, 1), (a, 1), (c, 3)}
c) {(a, 1), (b, 1), (b, 1), (a, 0)}
d) {(b, 2), (c, 3)}
e) {(a, 3), (b, 3), (c, 0)}
f) {(a, 0), (b, 1), (c, 1)}
2) Dados los conjuntos f = {(1, a), (2, b), (2, c), (3, a), (0, e)}, g = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, a), (e, e)}. Determine si f, g, g ◦ f son funciones.
3) En el conjunto de los dı́gitos D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, determine si las relaciones a seguir son
funciones y para éstas especifique el dominio y el rango.
a) f = {(n, m) : n + m < 4}
b) f = {(n, m) : m = n + 1}
c) f = {(n, m) : |n − m| = 1}
d) f = {(n, m) : n + 1 < m}
e) f = {(n, m) : m = n3 }
f) f = {(n, m) : m = |n − 1|}
4) Determine cuales de las siguientes relaciones son funciones
√
√
a) f : [0, 1] → R dada por f (x) = ± x
c) f : [0, 1] → R dada por f (x) = | x|
p
√
b) f : [−1, 1] → R dada por f (x) = ± 1 − x2 d) f : [−1, 1] → R dada por f (x) = |x|
5) Cuáles de las siguientes figuras corresponden a la gráfica de una función?
2
2
2
1
1
1
0
0
0
1
2
0
0
6) Dada la función f (x) = 3 − 2x calcule
a) f (0)
c) f ( 12 )
e) f ( 23 )
b) f (−2)
d) f (x + 1)
f) f (3)
1
7) Dada la función f (x) = 3−2x
2 calcule
−1
a) f (0)
e) f (1)
c) f √
2
√
d) f √1x
b) f (−1)
f) f ( 2)
1
2
0
8) Dada la función f (x) =
a) f (1)
b) f 12
√
1
1 − x2 calcule
c) f (−1)
d) f √1x
9) Dada la función f (x) = x +
a) f (1)
b) f ( 21 )
1
2
c) f (2)
d) f √1x
e) f (0)
1
x
f) f − 12
calcule
e) f (−x)
√
f) f ( x)
10) Determine el dominio y el rango de cada una de las siguientes funciones
1
;
x−2
1
e) y = 2 ;
x
√
f) y = 1 + x − 1;
a) y = x2 + 1;
b) y = 2x + 1;
c) y =
|x − 2|
;
x−2
12) Si f (x) = loga x1 , demostrar que
11) Si f (x) = 2x demostrar que
a)
f (x+3)
f (x−1)
= f (4)
a) f (a3 ) = −3
b) f (x)f (y) = f (x + y)
c) f (x + 3) − f (x − 1) =
√
1 − x2 ;
1
;
h) y = √
x2 − 1
1
.
i) y =
1 + x2
g) y =
d) y =
b) f (a
1
f (x)
15
−1
z
)=
1
z
c) f (x) + f (y) = f (xy)
13) Dada la función
x
x−1
Determine los siguientes valores dando su respuesta en forma simplificada.
1
3) f f (x)
1) f x1
f (x) =
2) (f ◦ f )(x)
√
14) Si f (x) = x, para a 6= b ∈ R+ calcule
4) f (x + 1)
16) Si f (x) = x1 , para h 6= 0 calcule
f (b) − f (a)
b−a
15) Si f (x) = 1 − 2x, para h 6= 0 calcule
f (x + h) − f (x)
h
f (x + h) − f (x)
h
17) Si f (x) = x2 , para h 6= 0 calcule
f (x + h) − f (x)
h
1
18) Para f (x) = x−3
, g(x) = x2 , determine cada uno de los valores (si esto es posible)
a) f ◦ g (1)
c) g ◦ f (−8)
√
b) g ◦ f (1)
d) f ◦ g ( 3)
19) Calcule f ◦ g, g ◦ f y sus respectivos dominios
√
a) Si f (x) = x2 , g(x) = x
b) Si f (x) =
1
,
x−1
g(x) =
c) Si f (x) =
1
x
d) Si f (x) =
x
,
|x|
√
g(x) =
b) f (x) es el área de un cı́rculo de radio x
2
x
x, g(x) = x − 1
20) Determine la fórmula para la función f y describa el dominio de la función
a) f (x) es el perı́metro de un cı́rculo de radio x
√
c) f (x) es el área de un triángulo equilátero de lado x
d) f (x) es el volumen de un cubo de lado x
21) Considere la función
f (x) =
|1 − x2 | − |2x − 1| + 3
|x − 1|
determine su dominio y exprese f (x) cuando x está en los intervalos
a) (1, ∞)
b) (−1, 12 )
22) Escriba las siguientes funciones como composición de otras funciones y determine los respectivos
dominios.
4
a) (x2 + 1)
√
b) 3 x2 − 1
p
c) 3 (2x + 3)
1
d) p
|x + 1|
23) Sean f (x) = 2x2 − 1, g(x) = 4x3 − 3x. Muestre que (g ◦ f ) (x) = (f ◦ g) (x).
24) Para la función f (x) =
1
, calcular f ◦ f ◦ f .
x−1
25) Para f (x) = x2 , determine todas las funciones polinomiales de grado 1, g(x) = ax + b tales que
f ◦ g = g ◦ f.
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