1 z - Carlos Lizama

VARIABLE COMPLEJA
GUIA 5 DE EJERCICIOS
Prof. Dr. Carlos Lizama
1. Calcule una expansión de la función f (z) =
de z = ∞.
2. Calcule una expansión de la función f (z) =
de Laurent en una vecindad de:
1
en serie de Laurent en una vecindad
z−2
1
, donde 0 < |a| < |b|, en serie
(z − a)(z − b)
a) z = 0
b) z = a
3. Encuentre el desarrollo en serie de Laurent de la función
1
g(z) =
z(z + R)
en 0 < |z| < R.
4. Encuentre y clasifique todas las singularidades de la función
z7
f (z) =
(z 2
−
4)2 cos
µ
1
z−2
¶.
5. Encuentre y clasifique todas las singularidades de la función


 1 
.
f (z) = sin 
1
sin
z
6. Calcule Res(φ(z)f (z), a) si φ(z) es analitica en z = a y f (z) tiene un polo simple con
residuo A en z = a.
7. Determinar y clasificar todas las singularidades de la función:
f (z) =
(z 2 − 1)(z − 2)3
.
sen3 (πz)
1
2
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Z
dz
.
|z|=6 1 − cosz
ez
9. Calcule Res(
, 0).
1 − cosz
8. Calcule
10. Calcule la integral:
Z
|z|=2
eiz
dz.
z2 + 1
Z
sen(πz 2 ) + cos(πz 2 )
dz.
(z − 1)(z − 2)
|z|=3
Z
ezt
1
12. Evalúe
dz.
2πi |z|=3 z 2 (z 2 + 2z + 2)
11. Evalúe
13. Sea C una elipse con ecuación 9x2 + y 2 = 9 orientada positivamente. Calcule
Z
zeπz
+ zeπ/z )dz.
( 4
C z − 16