Teor´ıa de la Información Cuántica

Teorı́a de la Información Cuántica
Práctica V (Curso 2014)
I. Transformada de Fourier (TF) Cuántica.
1) Considar la TF discreta Fk =
√1
n
n−1
P
j=0
fj e−i2πjk/n fj , k = 0, . . . , n − 1.
a) Probar que si fj+r = fj ∀ j (fj periódica con perı́odo r), con r divisor de n, ⇒
Fk 6= 0qsólo si k es un múltiplo de n/r ( k = mn/r, m = 0, . . . , r − 1), y que en tal caso,
Pr−1
Fk = nr √1r j=0
fj e−i2πjm/r si k = mn/r.
sin[π(φ−k)]
b) Mostrar que si fj = ei2πφj/n ⇒ |Fk | = | n sin[π(φ−k)/n]
|
c) Probar que en b), |Fk | es máximo en el entero más próximo a φ, y que |Fk | ≤
|φ − k| < n/2. Mostrar también que si φ → m, con m entero ⇒ Fk → δkj .
1
2|φ−k|
si
2) a) Si {|ji, j = 0, . . . , n − 1} es una base ortonormal, mostrar que los estados
X
1 n−1
ei2πkj/n |ji
|k̃i = U |ki = √
n j=0
forman también una base ortonormal del mismo espacio.
b) Probar que si X, P y T son los operadores definidos por X|ji = j|ji, P = U XU † y
T = exp[−i2πP/n] ⇒ P |k̃i = k|k̃i, T |k̃i = e−i2πk/n |k̃i y T |ji = |j + 1i, con |ni ≡ |0i.
P
P
Pn−1
c) Si |Ψi = j cj |ji = k Ck |k̃i ⇒ Ck = √1n j=0
cj e−i2πjk/n .
P
d) Determinar c̃j tal que P |Ψi = j c̃j |ji.
3) Mostrar que la TF cuántica para n qubits puede ser escrita como
n −1
1 2X
n
l
|k̃i = √ n
e2πijk/2 |ji = ⊗nl=1 [|0l i + e2πik/2 |1l i]
2 j=0
si j = nl=1 jl 2n−l . Escribir la TF explı́citamente para el caso de uno y dos qubits y
dibujar los circuitos cuánticos correspondientes.
P
4) Reconocer que los algoritmos cuánticos basados en la TF se basan en el esquema
|0i|0i → c
n −1
2X
j=0
|ji|0i → c
n −1
2X
j=0
|ji|f (j)i = c
2
n −1
2X
k=0
|k̃i
n −1
2X
e
j=0
−i2πkj/2n
|f (j)i → c
2
n −1
2X
k=0
|ki
n −1
2X
j=0
n
e−i2πkj/2 |f (j)i
identificando c y los pasos señalados por →.
b) En el caso de estimación de fase, |f (j)i = ei2πφj/N |Φi, con 0 ≤ φ < N = 2n . Comprobar que si φ = m, con m entero, el estado final será |mi|Φi. Discutir también cual será el
estado final si φ no es entero.
c) En el caso de determinación del perı́odo r, f (j) = f (j + r) ∀ j, verificar que si N = 2n
es múltiplo de r, sólo aparecerán en el estado final los estados con k múltiplo de N/r.
–1–
II. Estados coherentes.
Sea
|αi = e
−|α|2 /2
∞
X
αn
n=0
√ |ni
n!
√
un estado coherente, donde |ni = (a† )n |0i/ n! y a† , a son operadores de creación y
aniquilación bosónicos. Demostrar las siguientes propiedades:
2
a) |αi = e−|α| /2 exp(αa† )|0i
√
b) |αi = T (α)|0i, donde T (α) = exp[αa† − α∗ a] = exp[−i 2(Re(α)p − Im(α)q)] es un
†
†
√ , q = a√+a son los operadores impulso y coordenada
operador de traslación y p = a−a
2i
2
asociados. Esto muestra que |αi es esencialmente un estado fundamental de oscilador
armónico “trasladado”. Notar que T (α) es un operador unitario.
c) a|αi = α|αi (autoestado del operador aniquilación).
d) P (n) = |hn|αi|2 sigue una distribución de Poisson, con E(n) = hα|a† a|αi = |α|2 =
V (n).
√
√
e) hα|p|αi = − 2Im(α), hα|q|αi = − 2Re(α)
f) Si H = h̄ωa† a ⇒ exp[−iHt]|αi = |α(t)i, con α(t) = e−iωt α.
La evolución temporal de |αi es pues una rotación del parámetro complejo α, con frecuencia angular ω.
2
2
∗
e) No ortogonalidad: hβ|αi
= e−(|α |+|β| )/2+β α
R
h) (Sobre)completitud: π1 C dα|αihα| = I (Identidad).
i) Incerteza Mı́nima: ∆p∆q = 1/2, donde (∆p)2 = hp2 i − hpi2 , (∆q)2 = hq 2 i − hqi2 , con
los valores medios tomados respecto de |αi. Los estados coherentes son pues los estados
cuánticos más “cercanos” a estados clásicos de oscilador armónico.
–2–