Seminario de Mecánica Cuántica

Seminario de Mecánica Cuántica
Práctica IV (Curso 2011)
I. Transformada de Fourier Cuántica. Algoritmo de Shor.
P −1
−i2πjk/N
fj , k = 0, . . . , N − 1.
Consideremos la T.F. discreta Fk = √1N N
j=0 fj e
a) Probar que si fj+r = fj ∀ j (fj periódica con perı́odo r), con r divisor de N , entonces Fk 6= 0 sólo si k es
de N/r (o sea, k = lN/r, l = 0, . . . , r − 1),
q un múltiplo
N √1 Pr−1
y que en tal caso, Fk = r r j=0 fj e−i2πjl/r si k = lN/r.
sin[π(φ−k)]
b) Mostrar que si fj = ei2πφj/N ⇒ |Fk | = | N sin[π(φ−k)/N
|
]
A partir de este resultado, probar que |Fk | es máximo en el entero más próximo a φ,
1
y que |Fk | ≤ 2|φ−k|
si |φ − k| < N/2.
Mostrar también que si φ → m, con m entero ⇒ Fk → δkj .
2) Mostrar que si N = 2n , la TF cuántica para n qubits puede ser escrita como
−1
1 NX
2πik/2l
√
|k̃i =
e2πijk/N |ji = ⊗m
|1l i]
l=1 [|0l i + e
N j=0
si j = nl=1 jl 2n−l . Indicar si |k̃i es o no un estado entrelazado.
Escribir la TF. explı́citamente para el caso de un qubit y para el caso de dos qubits.
P
3) Reconocer que los algoritmos cuánticos basados en la TF se basan en el esquema
|0i|0i → c
n −1
2X
j=0
|ji|0i → c
n −1
2X
j=0
|ji|f (j)i = c
2
n −1
2X
k=0
|k̃i
n −1
2X
−i2πkj/2n
e
|f (j)i → c
j=0
2
n −1
2X
k=0
|ki
n −1
2X
n
e−i2πkj/2 |f (j)i
j=0
identificando c y los pasos señalados por →.
b) En el caso de estimación de fase, |f (j)i = ei2πφj/N |Φi, con 0 ≤ φ < N = 2n . Comprobar que si φ = m, con m entero, el estado final será |mi|Φi. Discutir también cual será el
estado final si φ no es entero.
c) En el caso de determinación del perı́odo r, f (j) = f (j + r) ∀ j, verificar que si N = 2n
es múltiplo de r, sólo aparecerán en el estado final los estados con k múltiplo de N/r.
Algoritmo de Búsqueda de Grover.
P
Consideremos el estado buscado |Bi = j/f (j)=1 |ji, el estado ortogonal |Ai =
q
P
√ 1
j/f (j)=0
q N −1
N −1
|Ai, con
N
y el estado inicial generado por n Hadamards, |Φi = H ⊗n |0i = N1 |Bi +
N = 2n .
a) Probar que si O|ji = (−1)f (j) |ji, la iteración de Grover G = (2|ΦihΦ|
− I)O equivale
q
1
a una rotación en sentido antihorario de ángulo 2θ, con sin θ = N , en el subespacio
generado por los estados |Ai y |Bi.
b) Si H = h̄ω(|BihB| + |ΦihΦ|), mostrar que existe un tiempo t independiente de B tal
que exp[−iHt/h̄]|Φi = |Bi. El problema de búsqueda puede pues reducirse al problema
de la simulación del Hamiltoniano H. Mostrar que es posible simular |BihB| y |ΦihΦ|
separadamente en forma eficiente.
–1–
|ji,