Fundamentos de mecánica cuántica y su relación con

Fundamentos de mecánica cuántica y su relación con

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ETSII, UPM
Introducción a la Mecánica Cuántica
Resumen
McFunNt
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1 Introducción
3
2 Cinemática cuántica
4
3 Dinámica cuántica
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1.
Introducción
Se introduce a continuación una formulación de la mecánica cuántica con
dos caracterı́sticas fundamentales: brevedad y abstracción. Se trata de proporcionar una descripción de la nueva visión cuántica del mundo mecánico
en su aspecto formal, sin descender a sus aplicaciones a casos concretos. Se
inserta al final de un curso de mecánica clásica, con objeto de recoger la formulación hamiltoniana y mostrar su similitud con el tratamiento cuántico.
Dado que se busca una rápida exposición de los conceptos fundamentales,
se omiten las definiciones prolongadas o las discusiones de las condiciones
matemáticas que permitan dichas definiciones.
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2.
Cinemática cuántica
La mecánica cuántica se ocupa, al igual que la clásica, del estudio de la
evolución de los sistemas fı́sicos. Para ello se parte de la definición de un
marco conceptual diferente en el que formular la evolución de los sistemas.
Al igual que en los sistemas clásicos, se define un espacio de configuración.
En este espacio se define un conjunto de coordenadas q1 , . . R. , qn independiψ ∗ ψdn q = 1
entes y se asocia a cada función compleja ψ(q1 , . . . , qn )
Qn
un estado del sistema. Dicho estado no está representado por la 2n-erna
q1 , . . . , qn , q̇1 , . . . , q̇n ni por la 2n-erna q1 , . . . , qn , p1 , . . . , pn del espacio de
fases, sino por una función que toma valores complejos para cada n−erna
de valores de las coordenadas. El número
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P = ψ ∗ (q10 , . . . , qn0 )ψ(q10 , . . . , qn0 )
es la probabilidad elemental de que en una medida de las coordenadas del
sistema éstas valgan q10 , . . . , qn0 . Más precisamente, si k es un conjunto
de posibles medidas del sistema
Z
n
P (k ⊂ Q ) = ψ ∗ ψdn q
k
representa la probabilidad de que en una medida el valor de las coordenadas del sistema esté en k. La diferencia más dramática entre la mecánica
clásica y la cuántica radica precisamente en la determinación del estado del
sistema. En la primera, basta con especificar el valor de la 2n-erna de coordenadas del espacio de fases; en la última, se necesita una función compleja
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definida sobre un espacio de configuración. Además, la interpretación final del estado en la mecánica clásica es determinista, mientras que en la
mecánica cuántica es probabilista.
Es frecuente denotar el estado de un sistema cuántico mediante lo que
se conoce como un ket |ψ >. Si F es un operador lineal que asocia a cada
función compleja ϕ(q1 , . . . , qn ) otra función, entonces su efecto sobre |ψ >
se representa por
F |ψ >
Dada una función φ, al operador que asigna a cadaψ el complejo
Z
φ∗ ψdn q
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Qn
se le denota por < φ| y recibe el nombre de bra, de forma que
Z
< φ|ψ >=
φ∗ ψdn q
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Qn
y por tanto
< ψ|ψ >= 1
Si se define una transformación elemental d|ψ >= F |ψ > du que represente
el cambio a un nuevo estado del sistema, entonces, dado que < ψ|ψ >= 1
se sigue
∗
d < ψ|ψ >=< ψ|F |ψ > du+ < ψ|F |ψ > du = 0
⇒
∗
F +F =0
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por lo que F tiene que ser igual a la unidad imaginaria por un operador
hermı́tico. Si se elige representar cualquier transformación del estado de
un sistema por un operador hermı́tico F tal que
i~d|ψ >= F |ψ > du
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3.
Dinámica cuántica
Cuando un sistema evoluciona, su estado es una función del tiempo, y
puede ser representado por ψ(q1 , . . . , qn , t). La transformación elemental
que define la evolución temporal del estado es i~1 H donde H es un operador
hermı́tico, llamado hamiltoniano. De esta forma
i~
d|ψ >
= H|ψ >
dt
esta ecuación es la ecuación de Schroedinger generalizada. En mecánca
cuántica el operador hamiltoniano define la evolución del sistema, como el
hamiltoniano clásico lo hace en la mecánica analı́tica.
Si F, G son operadores hermı́ticos y se somete un sistema a una anticonmutación de ambas transformaciones, se tiene
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d2 |ψ >= (i~)−2 (F G − GF )|ψ > dudv =
−1
−1
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= (i~) ((i~) (F G − GF ))|ψ > dudv
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es decir, (i~)−1 (F G − GF ) = (i~)−1 [F, G] representa la anticonmutación
de las transformaciones F, G.
Sea < φ(0)|F (t)|ψ(0) >=< φ(t)|F |ψ(t) > Entonces
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d < φ(0)|F (t)|ψ(0) >
dF (t)
=< φ(0)|
|ψ(0) >=
dt
dt
−1
= −(i~)
−1
< φ(t)|HF |ψ(t) > +(i~)
∂F
|ψ(t) >
< φ(t)|F H|ψ(t) > + < φ(t)|
∂t
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por lo que
dF (t)
∂F
= (i~)−1 [F, H] +
dt
∂t
ecuación similar a la formulación hamiltoniana con corchetes de Poisson
para la mecánica clásica.
Un sistema cuántico evoluciona según la ecuación de Schroedinger siempre que no se realice ninguna medida sobre el mismo. Un observable es
un operador hermı́tico. Los operadores hermı́ticos pueden diagonalizarse
siendo todos sus valores propios reales. Cuando se somete el sistema a
una operación de medida de un observable F cualquiera, ésta dará como
resultado uno de sus valores propios; cuál de ellos se obtendrá es una variable aleatoria. Si |ψn > es el estado tal que F |ψn >= fn |ψn > entonces
la probabilidad de que fn sea el resultado de la medida es | < ψn |ψ > |2 .
Después de la medida, si se obtiene el valor fn , el estado del sistema es
|ψn >.
Obviamente, dado que no todos los operadores hermı́ticos tienen los
mismos subespacios propios, la determinación del valor de un observable
hace incierto el valor de otros. El ejemplo más conocido de este hecho es la
imposibilidad de determinar simultáneamente la posición y la cantidad de
movimiento de una partı́cula principio de indeterminación de Heisenberg.
Por ejemplo, una partı́cula sin espı́n viene descrita por un espacio de
configuración dado por el conjunto de posiciones del espacio tridimensional
habitual (prescindamos de modelos relativistas). Su estado se define por
una función compleja ψ(x, y, z). La evolución en el tiempo de este estado
determina una nueva función ψ(x, y, z, t). El observable X viene definido
⇒
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por el operador
xψ(x, y, z)
Obviamente, sus valores propios son todos los de x y sus estados propios
son los descritos por funciones de tipo delta de Dirac que se anulen en todo
valor de x excepto en el valor propio. El operador u observable cantidad
de movimiento según el eje x se define mediante su efecto
i~
∂ψ
∂x
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Es inmediato que
XPx − Px X = i~
y, llamando Q1 = X, Q2 = Y, Q3 = Z, P1 = Px , P2 = Py , P3 = Pz , se tiene
[Qi , Qj ] = 0 ,
[Pi , Pj ] = 0 ,
[Qi , Pj ] = i~δij
Por consiguiente, en la mecánica cuántica un operador F que represente
un observable realiza una transformación elemental en las funciones de
onda
h
d|Ψ >= (i )−1 F |Ψ > dα
2π
que lleva aparejado un cambio en un observable cualquiera G que viene
dado por
h
dG = (i )−1 [G, F ]dα
2π
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Si la transformación equivalente en mecánica clásica viene dada por la
función f , entonces, para una función g cualquiera del espacio de fases, se
tiene
dg = [g, f ]dα
h −1
) [G, F ]
Si se toman G, F como dos transformaciones, entonces (i 2π
representa su anticonmutador, es decir, el resultado, en el lı́mite, de la
diferencia entre las transformaciones compuestas en un orden y el inverso.
Este anticonmutador es otra transformación. Algunas transformaciones en
mecánica cuántica tienen su análogo en la mecánica clásica (translaciones,
rotaciones sin espı́n, etc). Si establecemos una relación entre las funciones
clásicas y los observables cuánticos consistente en representar la misma
transformación, entonces necesariamente se tiene que si F, G corresponden
h −1
a las funciones clásicas f, g, entonces (i 2π
) [F, G] corresponde a [f, g],
por motivos puramente geométricos ya que son los anticonmutadores de
las transformaciones respectivas. Por ejemplo, la relación
py = [px , `z ]
donde lz = xpy − ypz representa una rotación elemental en torno al eje z
significa que una translación elemental paralela al eje x, seguida de una
rotación elemental alrededor del eje z, una translación elemental opuesta
a la primera (según el nuevo eje x) y una rotación opuesta a la anterior,
resulta en una translación elemental según el eje y, quie es lo que representa
py . Obviamente, esta relación geométrica debe preservarse en el formalismo
cuántico, de modo que
h
i Py = [Px , Lz ]
2π
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Por esta razón, la correspondencia entre observables cuánticos y funciones
clásicas lleva, de manera intrı́nseca (geométricamente hablando), a la relación
entre anticonmutadores y corchetes de Poisson1 .
Los corchetes de Poisson de las coordenadas canónicas (las transformaciones dadas por sus anticonmutaciones)
[qi , pj ] = δij
,
[qi , qj ] = 0 ,
[pi , pj ] = 0
originan bien la transformación anulante o bien la identidad. Esta misma
transformación ha de resultar de la anticonmutación de las correspondientes transformaciones canónicas.
[Qi , Pj ] = δij i
h
2π
,
[Qi , Qj ] = 0 ,
[Pi , Pj ] = 0
Existe una formulación canónica de la mecánica cuántica, que partiendo de
las relaciones de anticonmutación anteriores, su bilinealidad, antisimetrı́a
y la identidad de Jacobi, se desarrolla hasta la formulación dinámica de
sus problemas.
Para una partı́cula sin espı́n que evolucione en el espacio según un hamiltoniano clásico h, puede buscarse el hamiltoniano cuántico H determinando
el operador equivalente, es decir, que realice la misma transformación que
h. Frecuentemente basta con encontrar una expresión similar sustituyendo
los operadores de posición y cantidad de movimiento por sus equivalentes
1
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Esta correspondencia se matiza con algunas ideas de mecánica cuántica que en este
texto, por razones obvias, no se han presentado.
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cuánticos y, si es necesario, simetrizando el operador obtenido. Por ejemplo, para un oscilador armónico unidimensional cuyo hamiltoniano es
h(x, px ) =
p2x
1
+ kx2
2m 2
el hamiltoniano cuántico es simplemente
H=
Px2
1
+ kX 2
2m 2
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que representa la operación
−
~2 ∂ 2 ψ 1 2
+ kx ψ
2m ∂x2
2
y por lo tanto
∂ψ
~2 ∂ 2 ψ 1 2
i~
=−
+ kx ψ
∂t
2m ∂x2
2
de esta forma, para algunos problemas, la versión hamiltoniana de la
mecánica clásica proporciona la base para el planteamiento del problema
cuántico.
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