Optimización. E: Una pista de entrenamiento consta de dos

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Optimización.
E: Una pista de entrenamiento consta de dos semicı́rculos adosados en los lados opuestos de un
rectángulo. Si su perı́metro es de P metros, hallar las dimensiones que hacen máxima el área de
la región rectangular.
D: H
Según la figura. P es una constante
P = 2x + πy
x
Área del rectángulo:
A = xy
y
Despejamos y de la restricción, esto es, de la fórmula del perı́metro:
1
x = (P − πy)
2
Sustituyendo en el área. Queda una función de una sola variable:
1
1
1
A = (P − πy)y = P y − πy 2
2
2
2
1
0
A = P − πy
2
A 00 = −π < 0
1
P
(Máximo absoluto.)
A 0 = 0 ⇒ P − πy = 0 ⇒ yM ax =
2
2π
P
P
πP
π
1
xM ax =
P −π
=
=
= yM ax
2
2π
4
2 2π
2
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canek.azc.uam.mx: 6/ 3/ 2007
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