La Integral Definida I

La Integral Definida I
Anteriormente habı́amos estudiado el concepto de antiderivada o integral indefinida. Habı́amos
R
mencionado que el sı́mbolo para representar a la operación de antiderivada era ” ”, y este sı́mbolo
es una ”S” alargada. ¿Por qué es una S alargada? ¿Para qué estudié antiderivadas?
Introduciré una nueva definición, un nuevo concepto. Estudiaremos la Integral Definida. Para no
introducir un concepto muy abstracto, resolveremos un problema para introducir el concepto de
manera más clara. Aproximaremos el área bajo una curva.
Mira la gráfica de abajo. Lo primero que haré es dividir el intervalo [a, b] en n subintervalos de
longitud ∆x como se muestra (estoy asumiendo que todos los intervalos tienen la misma longitud).
Ya que estoy dividiendo el intervalo [a, b] en n intervalos de igual longitud entonces,
∆x =
b−a
n
Llamaré a cada punto del eje x1 , x2 , ...xi (lo que quiero decir es que i = 1, 2, 3...), por eso tiene
sentido que también pueda escribir ∆x = xi − xi−1 . Ahora escogeré un punto que esté en la mitad
del intervalo [xi−1 , xi ] y le llamaré x∗i .
1
Ahora, coloco un rectángulo como se muestra en la gráfica de abajo. Observa que la base del
rectángulo es de longitud ∆x (recuerda que todos los intervalos miden lo mismo) y la altura será
la función evaluada en el punto medio (x∗i ) del intervalo, en otras palabras la altura es f (x∗i ).
El área Ai de ese rectángulo es
Ai = f (x∗i )∆x
Lo que haré ahora es colocar más rectángulos como se muestra abajo. Llenando el área bajo la
curva de rectángulos, puedo aproximar el valor de dicha área.
2
Si el área bajo la curva f (x) es A y el área de cada rectángulo es Ai entonces
A ≈ A1 + A2 + A3 + ... + An = f (x∗1 )∆x + f (x∗2 )∆x + ... + f (x∗n )∆x
Expresando esto con una sumatoria,
A≈
n
X
f (x∗i )∆x
i=1
Esto es solo una aproximación, ¿Cómo encuentro el valor exacto? Mira (en las gráficas de abajo)
que a medida aumento la cantidad de subintervalos la aproximación se vuelve más y más exacta.
Sucede lo mismo si hago el intervalo ∆x muy muy pequeño.
3
Por eso el valor exacto del área será
A = lim
n→∞
n
X
i=1
4
f (x∗i )∆x
Definición: Si f se define en el intervalo cerrado [a,b] y el lı́mite
lim
n→∞
n
X
f (x∗i )∆x
i=1
existe, entonces f es integrable en [a,b] y el lı́mite se denota
lim
n→∞
n
X
f (x∗i )∆x =
Z
b
f (x)dx
a
i=1
Este lı́mite es llamado integral definida, donde a es llamado lı́mite inferior y b lı́mite superior.
La Integral Definida es el lı́mite de la sumatoria mostrada. El área bajo la curva f es una manera
de interpretar este lı́mite. Como dije anteriormente, esto es solo un problema a resolver. Este
lı́mite aparecerá en repetidas ocasiones, haciendo la integral definida una de las herramientas más
importantes de ciencias fı́sicas e ingenieriles (en aplicación).
Utilizaremos la interpretación de área bajo la curva para evaluar algunas integrales definidas.
Z
Ejemplo 1: ¿Cuál es el valor de
R2
0
2
Z
f (x)dx =
0
La integral
2
3dx ?
0
3dx puede ser interpretada como el área bajo la curva y = 3 (o bien f (x) = 3), desde
x = 0 hasta x = 2 (todo mostrado en la figura). Graficando f (x), encuentro que el área sombreada
5
es un rectángulo de base 2 y altura 3. El área de este rectángulo es 2 × 3 = 6. Ya que el área de la
región sombreada (el rectángulo) es 6, entonces
2
Z
3 dx = 6
0
Z
3
x dx?
Ejemplo 2: ¿Cuál es el valor de
0
En este caso la curva es y = f (x) = x (graficada abajo). Gráficamente, obtengo un triangulo de
base 3 y altura 3. Mira que la altura la determiné evaluando la función en x = 3 (f (3) = 3).
Con eso puedo calcular el valor de la integral. El área del triangulo será 12 (base)(altura) = 21 (3)(3) =
9
2.
Puedo decir entonces que:
Z
3
x dx =
0
9
2
¡Listo!
Existe un teorema que nos permite relacionar la integral indefinida (antiderivada) a la integral
6
definida. Este teorema nos permite evaluar una integral definida. No demostraré el teorema en este
documento.
Teorema Fundamental del Cálculo: Si f es integrable en [a,b], y F es la antiderivada de f
entonces
Z
b
f (x)dx = F (b) − F (a)
a
Antes de explicar el teorema, te diré que otra manera de escribir f (b) − f (a) es f (x)|ba .
Z
a
b
b
f (x)dx = F (x) = F (b) − F (a)
a
Para evaluar una integral definida lo que harás es encontrar la antiderivada F (x) de la función f (x)
y la evaluarás en a y b como se muestra en el teorema.
Nota: Antes de resolver una integral definida, recomiendo que revises si la función es continua en
el intervalo de integración. Por ejemplo,
Z
1
−1
1
dx
x
¿Puedes ver que le pasa a la función en el intervalo [−1, 1]? Los métodos para evaluar este tipo de
integral serán discutidos más adelante.
Ejemplo 3: Resuelve el ejemplo 1 utilizando el teorema mencionado.
a.) Me aseguro que la función esté definida en el intervalo de integración. La función en este caso
f (x) = 3 y está definida en el intervalo [0,2].
b.) Encontraré la antiderivada de la función f (x) = 3
7
Z
3 dx = 3x + C
c.) Evalúo la antiderivada en cada lı́mite de integración como lo señala el teorema.
Z
2
3dx
0
Z
2
3 dx = F (2) − F (0)
0
donde F (x) = 3x + C
Z
2
3 dx = F (2) − F (0) = [3(2) + C] − [3(0) + C] = 6 + C − C = 6
0
Nota: La constante de integración siempre se eliminará (como se muestra arriba) al momento de
usar el teorema para evaluar una integral definida. Por eso, de ahora en adelante no la incluiré al
momento de evaluar una integral definida.
Ejemplo 4: Resuelve el ejemplo 2 usando el teorema mencionado.
a.) Encuentro la antiderivada de la función.
Z
xdx =
x2
+C
2
b.) Evalúo la integral.
Z
3
xdx =
0
x2 3
32
02
9
+
=
=
2 0
2
2
2
8
Z
Ejemplo 5: Integra
5
(t2 + t − 1) dt
3
Puedo separar la integral en varı́as integrales. Cada una tendrá los mismo lı́mites de integración.
5
Z
(t2 + t − 1) dt =
3
5
Z
t2 dt +
3
Z
5
Z
tdt −
3
5
dt
3
Integrando,
Z
5
t2 dt +
3
Z
5
Z
tdt −
3
5
5 53
t3 5 t2 5
33 52
32 +
− 5−3
−
−
+ − t =
3 3
2 3
3
3
2
2
3
dt =
3
entonces,
5
Z
(t2 + t − 1) dt =
3
116
≈ 38.7
3
Si gustas, puedes escribir la integral como
Z
5
(t2 + t + 1)dt = [
3
y luego evaluar.
¡Fin!
9
5
t2
t3
+ − t]
3
2
3