Problemas Métodos I

Problemas Métodos I - Cálculo Vectorial
4. Integración a lo largo de curvas y superficies
1. Calcular la longitud de una vuelta de una hélice de radio R y paso de
rosca a/2π, parametrizada por γ(φ) = (R cos φ, R sin φ, aφ). Obtener la
parametrización por longitud de arco de la hélice.
2. Hallar la longitud de la curva determinada por las ecuaciones x3 = 3a2 y,
2xz = a2 , comprendida entre los planos y = a/3 e y = 9a.
2
1−t
2t
3. Demostrar que x = a cos θ, y = b sen θ y x = a 1+t
2 , y = b 1+t2 son dos
parametrizaciones de la misma curva. ¿Cómo se mueve un punto de la
curva cuando t va de −∞ a +∞?
4. Calcular la circulación del campo F a lo largo de la curva Γ.
a)
b)
F(x, y) = −y ux + x uy , γ(t) = (cos t, sin t), 0 < t < 2π.
F(x, y, z) = yz ux + xz uy + xy uz , Γ segmentos (1, 0, 0) → (0, 1, 0) →
(0, 0, 1) → (1, 0, 0).
c) F(x, y, z) = 2xyz ux + x2 z uy + x2 y uz , Γ una curva que une (1, 1, 1)
con (1, 2, 4).
d ) F(x, y, z) = x ux + y uy + z uz , γ(t) = (t, t2 , 0), −1 < t < 2.
5. Calcular el trabajo realizado por el campo eléctrico debido a una carga
fija Q situada en (0, 0, 0) sobre una carga q, que se hace girar en una
circunferencia horizontal de radio R situada en un plano de altura h,
cuando ha dado media vuelta y cuando ha dado una vuelta entera.
6. Calcular el trabajo realizado por el
z) = y ux a lo largo de
√campo F(x, y,√
la elipse x2 + 2y 2 = 7 desde x = − 7 hasta x = + 7 por los dos caminos
posibles.
7. Hallar el área de la bóveda de Viviani, figura sobre la esfera limitada por
la curva de Viviani, intersección de la superficie esférica x2 + y 2 + z 2 = 1
con la cilı́ndrica x2 + y 2 − x = 0. Hallar la longitud de la curva de Viviani.
8. Hallar el área de la superficie cónica z 2 = 2xy comprendida entre los
planos x = 0, x = a, y = 0, y = b.
9. Considérese el toro engendrado al hacer girar alrededor del eje z una circunferencia de radio b coplanaria con dicho eje, siendo el radio de giro de
su centro igual a a (a > b > 0). Dicha superficie queda dividida en dos
partes por el cilindro x2 + y 2 = a2 . Calcular el área de cada una de las
partes.
10. Hallar el centro de masa de un octante de esfera maciza y de un octante
de esfera.
11. Calcular el momento de inercia de un rectángulo homogéneo de lados a,
b respecto a un eje que coincida con uno de los lados, respecto a un eje
paralelo al anterior que pase por el centro y respecto a un eje perpendicular
al rectángulo que pase por su centro.
1
12. Obtener los momentos de inercia de un cilindro de radio R y altura h
respecto de su eje, respecto de un eje perpendicular al anterior que pase
por el centro y respecto de un diámetro de su base.
13. Obtener el centro de masa y los momentos de inercia de un cono de radio R
y altura h respecto de su eje y respecto de un eje perpendicular al anterior
que pase por el vértice.
14. Calcular el flujo del campo F a través de la superficie S:
a)
b)
F(x, y, z) = −6x ux − 6z uz , S : x2 + z 2 = 2, 0 ≤ y ≤ 2.
F(x, y, z) = −ux , S : x2 + y 2 + z 2 = 1.
c) F(x, y, z) = 2x ux + 2y uy + 2z uz , S : {x2 + y 2 + z 2 = 1, z ≥
0} ∪ {x2 + y 2 ≤ 1, z = 0}.
15. Calcular por dos métodos el flujo del campo v(x, y, z) = 2y uy a través de
la parte del cilindro de ecuación x2 + y 2 = R2 , R > 0, comprendida entre
los planos z = −a, z = a.
16. Calcular por varios métodos la circulación del campo v(x, y, z) = y 2 ux a
lo largo del triángulo definido por los ejes X, Y y la recta x + y = 1, z = 0.
17. Calcular el flujo del campo A(x, y, z) = x ux + y uy + z uz en la región
del paraboloide x2 + y 2 = az que queda dentro del cilindro de ecuación
x2 + y 2 = ax.
18. Calcular el flujo del campo B(x, y, z) = 5x2 uz a través del paraboloide
hiperbólico x2 − 3y 2 = z, z ≤ 0, −1 < y < 0.
19. Calcular el flujo del campo vectorial F(x, y, z) = x2 y ux + z 8 uy − 2 xy uz
a través del cubo de vértices (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0), (0, 0, 1),
(1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 1).
20. Sea F(x, y, z) = 2 yz ux + (−x + 3 y + 2) uy + (x2 + z) uz . Calcular el
flujo del rotacional de F a través del cilindro x2 + y 2 = a2 , 0 ≤ z ≤ 1.
¿Qué sucede si incluimos las bases del cilindro?
21. Utilizar el teorema de Stokes para demostrar que el área comprendida en
el interior, S, de una curva plana cerrada Γ de clase C 1 a trozos viene
dada por la expresión:
Área(S) =
1
Cv,Γ ,
2
v(x, y) = x uy − y ux .
22. Utilizar el teorema de la divergencia de Gauß para demostrar la llamada
Ley de Gauß: Sea V un volumen cerrado del espacio. Sea F(r, θ, φ) =
ur /r2 . Entonces el flujo de F a través de ∂V vale:
ΦF,∂V =
4π
0
2
si (0, 0, 0) ∈ V
si (0, 0, 0) 6∈ V
.
23. Sea A un campo vectorial. La expresión de A en coordenadas cartesianas
k
es A(x, y, z) = p
{x ux + y uy }. Calcular su flujo a través del
2
x + y2
casquete cilı́ndrico de eje Z delimitado por los radios R1 < R2 y los planos
z = ±h. h, k son constantes positivas.
R
24. Calcular la integral doble, D (x2 + y 2 ) dS directamente y mediante la
aplicación del teorema de Stokes. El dominio D viene definido por x ≥ 1,
y ≥ 1, x2 + y 2 ≤ 4.
25. Calcular el flujo del campo v(x, y, z) = x ux + y uy + z uz en la región
del paraboloide x2 + y 2 = az que queda dentro del cilindro de ecuación
x2 + y 2 = ax.
26. Sea S = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 = y 2 + z 2 , 0 < x < 1}. Sea el campo vectorial
v(x, y, z) = 2x ux + 3z uy − 5xz uz . Calcular la circulación de v a lo largo
del borde orientado de S por tres métodos distintos.
3