Examen Final - Efren Baquero

Universidad de Cundinamarca
Examen de Variable Compleja - Prof Efrén Baquero
1. Hallar
ze3z
cot z
z 5 − 2z 4 − z + 2
,
Res
,
Res
z=π
z=2
2 (2z − 1)2
(z 4 − 4z 3 + 16z − 16) (z 2 + 1)
(z − π)2
Resz= 1
2. Evaluar
∞
X
n=1
∞
∞
∞
X
X
X
1
n
1
(−1)n
,
,
,
n4 + 1 n=1 n4 + 1 n=0 (5n + 3)2 n=0 (4n + 1)2
3. Para las siguientes funciones, determinar los puntos ingulares clasificarlos, hallar
la serie de Laurent alrededor de esos puntos y hallar los residuos de la función en
esos puntos,
f (z) =
f (z) =
1
cot z
1
, f (z) = 2
, f (z) = 2
3
2z
2z − z − 3
2z − 3z − 2
z
zez
z cos z
, f (z) = 3
, f (z) = 2
2
2
2
2z − 3z − 2
(z − 4)
z + 5z + 4z + 20
4. Comprobar el resultado
Z
∞
−∞
Z
x2
1√
dx
=
2π
(x2 + 8) (x2 + 2)
6
∞
−∞
Z
sin2 x
1
3
dx = π − πe−2
2
4
4
(x2 + 1)
Z
0
∞
ln x
1 √
dx
=
π 2 ln 2
x2 + 2
8
0
Z
∞
−∞
Z
∞
−∞
2π
cos 2θ
8
dθ = − π
2 + 3 cos θ
9
2
cos x
π −√
√
dx
=
e 3 cos 1
2
x + 2x + 4
3
2
sin x
π −√
√
dx
=
−
e 3 sin 1
2
x + 2x + 4
3
5. Muestre que
Z
cot(πz) dz → 0,
p(z)
C
Z
csc(πz) dz → 0
p(z)
C
cuando N → ∞ siendo C, el contorno determinado por x = ±(N + 12 ), y = ±(N + 12 )i
y p(z) un polinomio de grado mayor o igual que 2, para z = x + iy.
ayuda: para ello ver que
|cot(πz)| ≤
1 + |sinh(πy)|
2
2
≤ 1 + π|y|
≤ 1 + 3π
−π|y|
|sinh(πy)|
e −e
e 2 −1