Tema 3 Diferenciación de funciones de varias variables

Tema 3 Diferenciación de funciones de varias variables

Departamento de Matemáticas. Universidad de Jaén.
Análisis Matemático II. Curso 2009-2010.
Tema 3: Diferenciabilidad de funciones de varias variables
1. Calcular las dos derivadas parciales de primer orden:
a) f (x, y) = 2x − 5y + 8
b) f (x, y) = x2 + 4y 3 − 5
√
c) z = x y
√
d ) z = 2y 2 x
e) f (x, y) = y 3 − 3xy 2 − 3
√
f ) f (x, y) = ln( xy)
g) z = ln(x2 − y 2 )
h) z = ln( x+y
)
x−y
i ) g(x, y) = e−(x
2 +y 2 )
j ) z = sin(3x) cos(3y)
k ) z = cos(x2 + y 2 )
l ) z = ey sin(xy)
m) f (x, y) = tan(2x − y)
p
n) f (x, y) = 2x + y 3
Z y
ñ) f (x, y) =
(t2 + 3t − 1)dt
x
Z y
Z x
o) h(x, y) =
(2t + 1)dt +
(2t − 1)dt
x
y
2. Evaluar fx y fy en el punto dado:
a) f (x, y) = arctan(y/x), (2, −2)
b) f (x, y) = arc cos(xy), (1, 1)
c) f (x, y) =
xy
,
x−y
d ) f (x, y) = √
(2, −2)
6xy
4x2 +5y 2
, (1, 1)
3. Calcular las pendientes de la superficie en las direcciones de x y de y en el punto
dado
a) g(x, y) = 4 − x2 − y 2 , (1, 1, 2)
b) h(x, y) = x2 − y 2 , (−2, 1, 3)
c) z = e−x cos y, (0, 0, 1)
d ) z = cos(2x − y), ( π4 , π3 ,
√
3
)
2
4. Calcular las cuatro derivadas parciales de segundo orden. Observar que las derivadas
parciales mixtas de segundo orden son iguales:
a) z = x2 − 2xy + 3y 2
b) z = x4 − 3x2 y 2 + y 4
c) z = ln(x − y)
d ) z = sin(x − 2y)
e) z = arctan(y/x)
f ) z = ex tan y
5. (Mathematica) Hallar las derivadas parciales de primer y segundo orden de la
función. Determinar si existen valores (x, y) tales que fx (x, y) = 0 y fy (x, y) = 0
simultáneamente:
a) f (x, y) = x sec y
p
b) f (x, y) = 9 − x2 − y 2
x
c) f (x, y) = ln x2 +y
2
d ) f (x, y) =
xy
x−y
6. La temperatura en un punto (x, y) de una placa de acero es T = 500 − 0.6x2 −
1.5y 2 . En el punto (2, 3) hallar el ritmo de cambio de la temperatura respecto a
la distancia recorrida en la placa en las direcciones del eje x e y.
7. La ley de los gases ideales establece que P V = nRT donde P es la presión, V
es el volumen, n es el número de moles de gas, R es una constante y T es la
temperatura absoluta. Mostrar que
∂T ∂P ∂V
= −1
∂P ∂V ∂T
8. Considerar la función definida por
(
f (x, y) =
xy(x2 −y 2 )
x2 +y 2
0
(x, y) 6= (0, 0),
(x, y) = (0, 0)
a) Hallar ∂x f (x, y) y ∂y f (x, y) para (x, y) 6= (0, 0).
b) Utilizar la definición de derivadas parciales para hallar ∂x f (0, 0) y ∂y f (0, 0).
c) Utilizar la definición de derivadas parciales para hallar ∂xy f (0, 0) y ∂yx f (0, 0).
9. Dada la función f (x, y) = (x3 + y 3 )1/3
a) Probar que fy (0, 0) = 1.
b) Determinar los puntos (si existen) en los que fy (x, y) no existe.
10. Dada la función f (x, y) = (x2 + y 2 )2/3 calcular ∂x f (x, y).
11. ¿Verdadero o falso? Justifica la respuesta
a) Si z = f (x, y) y
∂z
∂x
=
∂z
∂y
b) Si z = f (x)g(y) entonces
entonces z = c(x + y).
∂z
∂x
+
∂z
∂y
= f 0 (x)g(y) + f (x)g 0 (y)
c) Si una superficie cilı́ndrica z = f (x, y) tiene rectas generatrices paralelas al
∂z
eje y entonces ∂y
= 0.
12. Mostrar que las siguientes funciones son diferenciables aplicando la definición:
a) f (x, y) = x2 + y 2
b) f (x, y) = 5x − 10y + y 3
13. Hallar la diferencial total:
a) z =
b) w =
x2
y
x+y
z−2y
c) z = 12 (ex
2 +y 2
− e−x
2 −y 2
)
d ) w = ey cos(x) + z 2
e) w = x2 yz 2 + sin(yz)
14. Evaluar f (1, 2) y f (1.05, 2.1) y calcular 4z. A continuación utilizar dz para
aproximar 4z.
a) f (x, y) = 3x − 4y
p
b) f (x, y) = x2 + y 2
c) f (x, y) = xey
d ) f (x, y) = x/y
15. Usar la diferencial total para aproximar las siguientes cantidades:
a) (2.03)2 (1 + 8.9)3 − 22 (1 + 9)3
b) sin(1.052 + 0.952 ) − sin(12 + 12 )
16. La resistencia total R de dos resistencias conectadas en paralelo es 1/R = 1/R1 +
1/R2 . Aproximar el cambio en R cuando R1 incrementa de 10 ohms a 10.5 ohms
y R2 decrece de 15 ohms a 13 ohms.
17. En un triángulo dos lados adyacentes miden 3 y 4 cm. de longitud y entre ellos
forman un ángulo de π/4. Los posibles errores de medición son 1/16 cm. en los
lados y 0.02 radianes en el ángulo. Aproximar el máximo error posible al calcular
el área.
p
18. El perı́odo T de un péndulo de longitud L es T = 2π L/g, donde g es la
aceleración de la gravedad. Un péndulo se lleva de Jaén, donde g = 9.81m/s2 ,
al Polo Norte, donde g = 9.83m/s2 . Debido al cambio en la temperatura la
longitud del péndulo cambia de 0.76 metros a 0.73 metros. Aproximar el cambio
en el perı́odo del péndulo.
19. Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie en el punto dado.
a) z = 25 − x2 − y 2 ,
b) f (x, y) = y/x,
p
c) z = x2 + y 2 ,
(3, 1, 15).
(1, 2, 2).
(3, 4, 5).
d ) z = arctan(y/x),
(1, 0, 0).
e) z = ex (sen(y) + 1), (0, π2 , 2).
p
f ) f (x, y) = ln( x2 + y 2 ), (3, 4, ln(5)).
20. Hallar dw/dt, (1) utilizando la regla de la cadena apropiada, (2) convirtiendo w
en función de t antes de derivar:
p
a) w = x2 + y 2 , x = cos t, y = et
b) w = ln(y/x),
x = cos t,
x = t2 ,
c) w = cos(x − y),
d ) w = xy cos z,
e) w = xyz,
x = t,
2
x=t ,
y = sin t
y=1
y = t2 ,
y = 2t,
z = arc cos t
z = e−t
21. Dadas las siguientes ecuaciones paramétricas de las trayectorias de dos proyectiles. ¿A qué velocidad o ritmo cambia la distancia entre los dos objetos en el
valor de t = 1?
√
√
Primer proyectil: x1 = 48 2t, y1 = 48 2t − 16t2
√
Segundo proyectil: x2 = 48 3t, y2 = 48t − 16t2
22. Hallar ∂w/∂r y ∂w/∂θ, (a) utilizando la regla de la cadena apropiada, (b) convirtiendo w en una función de r y θ antes de derivar:
a) w = x2 − 2xy + y 2 , x = r + θ, y = r − θ
p
b) w = 25 − 5x2 − 5y 2 , x = r cos θ, y = r sin θ
c) w =
yz
,
x
x = θ2 , y = r + θ, z = r − θ
d ) w = x cos(yz), x = r2 , y = θ2 , z = r − 2θ
e) w = x2 + y 2 + z 2 , x = r cos θ, y = r sin θ, z = r2 θ
23. Un cilindro anular tiene radio interior de r1 y radio exterior de r2 . Su momento
de inercia es
I = 1/2m(r12 + r22 )
donde m es la masa. Los dos radios se incrementan a razón de 2 cm. por segundo.
Hallar la velocidad o ritmo de cambio al que varı́a I en el instante en que los
radios son 6 y 8 cm. (Suponer que la masa es constante).
24. El radio de un cilindro circular recto se incrementa a razón de 6 cm. por minuto
y la altura decrece a razón de 4 cm. por minuto. ¿Cuál es la velocidad o el ritmo
de cambio del volumen y del área superficial cuando el radio es de 12 cm. y la
altura 36 cm.?
25. Hallar la derivada direccional de la función f en el punto P y en la dirección de
v.
a) f (x, y) = x3 − y 3 , P = (1, 2), v = (
√
√
2
2
,
)
2
2
b) f (x, y) = x/y, P = (1, 1), v = (0, −1)
c) f (x, y) = arc cos xy, P = (1, 0), v = (1, 5)
d ) f (x, y) = e−(x
2 +y 2 )
, P = (0, 0), v = (1, 1)
e) f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 , P = (1, 2, −1), v = (1, −2, 3)
f ) f (x, y, z) = xyz, P = (2, 1, 1), v = (2, 1, 2)
26. Hallar el gradiente de la función en el punto dado:
a) f (x, y) = 2xey/x , P = (2, 1)
b) z = ln(x2 − y), P = (2, 3)
c) w = x tan(y + z), P = (4, 3, −1)
27. La temperatura en el punto (x, y) de una placa metálica es T =
dirección de mayor incremento de calor en el punto (3, 4).
x
.
x2 +y 2
Hallar la
28. La superficie de una montaña se modela mediante la ecuación
h(x, y) = 5000 − 0.001x2 − 0.004y 2 .
Un montañista se encuentra en el punto (500, 300, 4390). ¿En qué dirección debe
moverse para ascender con la mayor rapidez?
29. La temperatura en el punto (x, y) de una placa metálica se modela mediante
T (x, y) = 400e−(x
2 +y)/2
, x ≥ 0, y ≥ 0.
a) Hallar las direcciones sobre la placa en el punto (3, 5) en las que no hay
cambio en el calor.
b) Hallar la dirección de mayor incremento de calor en el punto (3, 5).
30. (Mathematica) Un equipo de oceanógrafos está elaborando un mapa del fondo
del océano para ayudar a recuperar un barco hundido. Utilizando ultrasonidos
desarrollan el modelo
P = 250 + 30x2 + 50 sin(
πy
), 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2,
2
donde P es la profundidad en metros, x e y son las distancias en km.
a) Representar gráficamente la superficie.
b) ¿Cúal es la profundidad a la que se encuentra el barco si se localiza en las
coordenadas x = 1 e y = 0.5?
c) Determinar la pendiente del fondo del océano en la dirección del eje x positivo a partir del punto donde se encuentra el barco.
d ) Determinar la pendiente del fondo del océano en la dirección del eje y positivo a partir del punto donde se encuentra el barco.
e) Determinar la dirección de mayor tasa o ritmo de cambio de la profundidad
a partir del punto donde se encuentra el barco.
31. ¿Verdadero o falso? Justifica tu respuesta:
a) Si f (x, y) = x + y entonces −1 ≤ Du f (x, y) ≤ 1 para todo vector unitario
u.
b) Si Du f (x0 , y0 ) = c para todo vector unitario u entonces c = 0.
p
c) Si f (x, y) = 1 − x2 − y 2 entonces Du f (0, 0) = 0 para todo vector unitario
u.
32. (Mathematica) Clasificar los extremos de las siguientes funciones y representarlas
gráficamente.
a) f (x, y) = (x − 1)2 + (y − 3)2
p
b) f (x, y) = x2 + y 2 + 1
p
c) f (x, y) = 25 − (x − 2)2 − y 2
d ) f (x, y) = x2 + y 2 + 2x − 6y + 6
e) f (x, y) = −x2 − y 2 + 4x + 8y − 11
p
f ) f (x, y) = 2 x2 + y 2 + 3
g) f (x, y) = (x2 + y 2 )1/3 + 2
h) f (x, y) = |x + y| − 2
33. Hallar los puntos crı́ticos y determinar los extremos relativos.
a) f (x, y) = x3 + y 3
b) f (x, y) = x3 + y 3 − 6x2 + 9y 2 + 12x + 27y + 19
c) f (x, y) = (x − 1)2 (y + 4)2
p
d ) f (x, y) = (x − 1)2 + (y + 2)2
e) f (x, y) = (x2 + y 2 )2/3
34. Una empresa fabrica dos tipos de tenis: tenis para correr (x) y tenis de baloncesto
(y). El ingreso total de la empresa es
I = −5x2 − 8y 2 − 2xy + 42x + 102y,
donde x, y están medidas en miles de unidades. Hallar el número de unidades x
e y que maximizan el ingreso.
35. Una tienda al por menor vende dos tipos de cortadoras de césped, cuyos precios
son p1 y p2 . Hallar los precios que maximizan los ingresos
I = 515p1 + 805p2 + 1.5p1 p2 − 1.5p21 − p22 .
36. Utilizar los multiplicadores de Lagrange para hallar el extremo indicado suponiendo que x e y son positivos:
a) Minimizar f (x, y) = x2 − y 2 sujeta a la restricción x − 2y + 6 = 0.
b) Maximizar f (x, y) = x2 − y 2 sujeta a la restricción 2y − x2 = 0.
c) Maximizar f (x, y) = 2x + 2xy + y sujeta a la restricción 2x + y = 100.
p
d ) Minimizar f (x, y) = x2 + y 2 sujeta a la restricción 2x + 4y − 15 = 0.
e) Maximizar f (x, y) = exy sujeta a la restricción x2 + y 2 = 8.
37. Utilizar los multiplicadores de Lagrange para hallar todos los extremos de la
función sujetos a la restricción x2 + y 2 ≤ 1:
a) f (x, y) = x2 + 3xy + y 2
b) f (x, y) = e−xy/4
38. Hallar el punto más alto de la curva de intersección de las superficies:
Esfera x2 + y 2 + z 2 = 36, Plano 2x + y − z = 2.
Cono x2 + y 2 − z 2 = 0, Plano x + 2z = 4.
39. El material para la base de una caja abierta cuesta 1.5 veces más por unidad de
área que el material para construir los lados. Hallar las dimensiones de la caja de
mayor volumen que puede construirse con un costo fijo C.
40. Determinar las dimensiones de la caja rectangular de volumen máximo que puede
inscribirse (con los bordes paralelos a los ejes coordenados) en el elipsoide
x2 y 2 z 2
+
+
= 1.
a2 a2 a2
41. Sea T (x, y, z) = 100 + x2 + y 2 la temperatura en cada punto sobre la esfera
x2 + y 2 + z 2 = 50. Hallar la temperatura máxima en la curva formada por la
intersección de la esfera y el plano x − z = 0.