Problemas Métodos I

Problemas Métodos I - Variable Compleja
6. Series de Laurent
1. Hallar las series de Laurent centradas en z0 = 1 de la función f (z) =
(z − 1)/z 2.
2. Hallar la serie de Laurent de la función f (z) = 1/z 2 sinh z en una corona
C(0; 0, r). ¿Cuál es el valor de r?
3. Hallar las series de Laurent centradas en el origen de la función f (z) =
1/(z − 1)(z − 2).
4. Hallar las dos primeras series de Laurent de la función f (z) = cosec z.
5. Calcular las integrales de las siguientes funciones:
a)
1/(z 2 − 1) a lo largo de la circunferencia de radio 2 centrada en el
origen.
b)
1/(z 2 + z − 1) a lo largo de la circunferencia de radio 1/2 centrada
en el origen.
c) 1/(z 4 + 1) a lo largo de la semicircunferencia superior de radio 2
centrada en el origen.
d ) (1 + z)/(1 − cos z) a lo largo de la circunferencia de radio 7 centrada
en el origen.
e)
sin z/(1 − cos z) a lo largo de la circunferencia de radio 8 centrada en
el origen.
f ) sin2 z/(1 − cos z) a lo largo de la circunferencia de radio 5π centrada
en el origen.
g)
(1 + sin z)/(cosh z − 1) a lo largo de la circunferencia de radio 6,
centrada en el origen.
h)
5i(3 + sin πz)/(z(z − 5)2 ) a lo largo de la circunferencia de radio 7,
centrada en el origen.
6. Calcular las siguientes integrales:
R 2π dt
a) 0 2−sin
t.
Rπ
b) 0 2 cosdtt+3 .
R 2π
dt
c) 0 1+a2 −2a
cos t , 1 6= a > 0.
R 2π cos t
d) 0 e
cos(nt − sin t) dt.
R π 2n
e) 0 sin t dt.
R 2π
f ) 0 ecos t cos(nt − sin t) dt.
R 2π adt
g) 0 a2 −sin
2 t , a > 1.
Rπ
h) 0 cos2 t dt.
1
7. Calcular las integrales de las siguientes funciones a lo largo de la recta
real:
a)
1/(x4 + 1).
b)
1/(x6 + 1).
c) 1/(x2 − 2x + 4).
d ) 1/(x2 + a2 ).
e)
1/(x2 + a2 )(x2 + b2 )2 .
8. Calcular las integrales de las siguientes funciones a lo largo de la recta
real, k ∈ R:
a)
eikx /(x2 + a2 ).
b)
cos kx/(x2 + a2 ).
c) sin kx/(x2 + a2 ).
d ) eix /(x + ia), a > 0.
e)
x3 sin x/(x2 + 1)2 .
f ) cos x/(x2 + 4)(x2 + 1).
g)
xeikx /(x2 + a2 ), a > 0
9. Calcular
R3
10. Calcular
R∞
11. Calcular
R∞
√
2
5x−x2 −6
x2
0
log x
x2 +1
0
log x
(x2 +1)2
dx.
dx.
12. Calcular la integral
dx.
R∞
0
sin2 x
x2
R∞
sin3 x
x3
dx, usando el valor principal de
dx, usando el valor principal de
P∞
14. Calcular la suma de la serie n=1 1/(n2 + 1)2 .
13. Calcular la integral
0
2
R∞
1−ei2x
x2
R∞
3eix −ei3x −2
x3
−∞
−∞
dx.
dx.