Universidad de Costa Rica III Examen Parcial Facultad de Ciencias
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Universidad de Costa Rica III Examen Parcial Facultad de Ciencias
Universidad de Costa Rica Facultad de Ciencias Escuela de Matemática MA0125: Matemática Elemental 1. Considere terminal de III Examen Parcial Tiempo 3 horas Total puntos: 84 II Ciclo 2008 y dos ángulos en posición estándar. El punto P (2; 4) se encuentra en el lado ; cos < 0 y csc = 3: Determine el valor exacto de: (17 puntos) Solución: a) sin( + ) = sin cos + sin cos 1 2 4 p + p = 3 2 5 2 5 p 1 4 2 = p + p 3 5 3 5 p 1+4 2 p = 3 5 b) cos (2 ) = cos cos sin2 = cos2 2 p = = = 2 5 1 5 4 5 3 5 sin sin 2 4 p 2 5 2 p 2 2 3 c) tan csc cos( + ) tan cos cos = 2 = 1 3 p 2 2 3 1 p 2 2 3 = d) sec ( csc sin sin 3 = p 2 2 = sec ) = 1 cos 3 = p 2 2 2. Determine el valor exacto de: a) cot 1 p 2 = = 1 p 2 p 8 3 = 3 2 7 4 b) sin c) sec 11 3 p ! 3 = 2 d) arcsin e) tan 4 sin 1 i) sin sin = = 3 2 + sin 1 1 2 1 , 2 (17 puntos) 1 = 1 11 cos 3 p ) sin = 3 ; 2 1 2 = 2 2 6 ii) tan 4 6 + sin = tan 2 3 = p 3 2 3 2 = 2 1 + 1=2 1 2 ) = 3 1=1 f ) arccos 1 cot 2 5 6 5 6 = i) cot ii) arccos cos = = p 3 p 1 3 2 p 3 , 0 2 = 5 6 3. Un campanario está en el techo de una iglesia, la altura de la iglesia es de 12m. En un punto deteminado en el plano horizontal de la base de la iglesia, el ángulo de elevación a la base del campanario mide 26 y el ángulo de elevación al extremo superior del campanario es de 35 : Determine la medida de la altura del campanario. Dibuje un diagrama de la situación planteada. (10 puntos) Solución: Sea x la altura del campanario Sea y la distancia de la base de la iglesia al punto A Si se trabaja con el triángulo de lado 12 y ángulo 260 se puede obtener la distancia y: tan 26 = 12 ) y = 24:6 y Si se trabaja con el triángulo cuyos catetos miden 12 + x; 24:6 y ángulo 350 se obtiene la siguiente …gura donde tan 35 = 12 + x ) x = 5:2: 24:6 Respuesta. La altura del campanario es de 5.2 metros aproximadamente. 4. Demuestre cada una de las siguientes identidades a) cot(2 ) = 1 (cot 2 tan ) (7 puntos) Demostración: cot(2 ) = cos(2 ) cos2 sin2 x = sin(2 ) 2 sin cos sin2 2 sin cos = cos2 2 sin cos = cos 2 sin sin 2 cos = 1 (cot 2 tan ) b) factor común cot x cos x csc x = 3 cos x 1 + sin x Demostración: cot x cos x cot x = 3 cos x cos3 x cos x = sin3x cos x 1 cos2 x cos x cos3 x 1 2 (7 puntos) cos x sin x cos3 x 1 = sin x cos2 x = 1 cos2 x 1 cos2 x = 1 sin x cos2 x sin x = 1 sin x (1 sin2 x) sin x = 1 sin x sin x(1 + sin x)(1 = 1 sin x(1 + sin x) = 1 1 sin x 1 + sin x = csc x = sin x) 1 1 + sin x csc x 1 + sin x 5. Considere f : R ! R tal que f (x) = 2 sin 3x (10 puntos) 4 a) Determine la amplitud y el periodo de la curva y = f (x). b) Trace dos ondas completas de la grá…ca de f . c) Indique la intersección de la curva con el eje Y y las intersecciones con el eje X. 6. Determine todas las soluciones reales de 2 sin2 x + 5 = 5 cos x 7. Determine las soluciones de sin x tan2 x = 3 sin x en el intervalo [0; 2 [ (8 puntos) (8 puntos)