Complementos de Matemáticas (16-O)

Complementos de Matemáticas (16-O)
Tarea 4: Determinantes y matriz inversa
Fecha de entrega: miércoles 9 de noviembre de 2016
1. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones aplicando la Regla de Cramer. Verifique sus respuestas.
(a) 7x1 − 2x2 = 3
3x1 + x2 = 5
(b) 2x + 8y + 6z = 20
4x + 2y − 2z = −2
3x − y + z = 11
2. Aplique el desarrollo por cofactores a lo largo de un renglón o columna conveniente para encontrar
el determinante de las siguientes matrices:






6 3 −7 8
1 4 −2
2 4 6
0 0
0 0

(a)  3 2 0 
(b) 0 3 1 
(c) 
4 −6 3 2
−1 4 3
0 0 −5
1 −2 3 4
Respuesta: (a) − 58.
3. Encuentre los valores de λ para los cuales el determinante de la siguiente matriz es igual a cero.


λ+1 0
0
 4
λ
3 
2
8 λ+5
4. En los siguientes incisos, ¿qué propiedad de los determinantes ilustra la ecuación dada?
2 −6
=0
(a) 1 −3
2 −6 0
(b) 0 0 0 = 0
5 6 7
5 10 1 2 (c) = 5
2 −7
2 −7
1
5
(d) 25
1
(e) 5
2
(f) 8
2 10 2 1
=5 5 −6
−30
5 6
2
= −
1 2
6
−3 2 −3
=
7 0 19 4. En los siguientes incisos, aplique operaciones elementales (eliminación gaussiana) para evaluar los
determinantes dados.
1 7 −3
(a) 1 3 1 4 8 1 2 −1 −1
2 (b) 1 3
1 1
3
1 −2 7 9 3 −4 5 5 (c) 3 6 1 −1
4 5 3 2 Respuestas: (a) 28, (b) 17, (c)136.
1 0
1 3
5. Considere la matriz A = 
1 3
1 3
0
0
5
5

0
0
. Responda los siguientes incisos:
0
7
(a) ¿Es A invertible? Justifique su respuesta.
(b) En caso de haber respondido afirmativamente el inciso anterior, determine A−1 de dos formas:
• Por medio de la matriz adjunta de A.
• Aplicando operaciones elementales (método de Gauss-Jordan).

1 0
6. Mismas indicaciones que en el ejercicio anterior para la matriz A = 0 −1
2 1


1 2 3
7. Mismas indicaciones que en el ejercicio 5 para la matriz A = 2 4 6.
2 1 0

3
2.
0
8. Reescriba cada uno de los sistemas de ecuaciones lineales del ejercicio 1 de la forma AX = B, donde
A es la matriz de coeficientes asociada y B, la de los términos independientes. Luego, resuelva dichos
sistemas de ecuaciones usando la inversa de la correspondiente matriz de coeficientes, A−1 .
9. Otra propiedad de los determinantes es lasiguiente: si A es una matriz cuadrada, entonces det(A) =
1 0 3
det(AT ). Verifique esta propiedad para A = 0 −1 2.
2 1 0
10. Resuelva los ejercicios dejados en clase el viernes de la Semana 6.
♣ Bibliografı́a básica
Anton, H. Introducción al álgebra lineal. Editorial Limusa.
Grossman, S. Álgebra Lineal. McGraw-Hill.
Larson, R.E. y Edwards B.H. Introducción al Álgebra Lineal. Limusa.