Tema 4 Álgebra Lineal Numérica

Transcripción

Introducción
Métodos directos: Descomposición
Métodos iterativos
Cálculo de autovalores
Ejercicios
Tema 4
Álgebra Lineal Numérica
Angel Mora Bonilla, Emilio Muñoz Velasco
Departamento de Matemática Aplicada
Universidad de Málaga
Escuela Politécnica Superior
Tema 4 Álgebra Lineal Numérica
Introducción
Ejercicios
¿Qué es un Sistema Lineal?
Conocimientos previos
Definiciones. Propiedades
Normas
Librerı́as de Scilab
Un sistema lineal de m ecuaciones con n incógnitas puede ser
expresado de la forma:

a1,1 x1 + a1,2 x2 + . . . + a1,n xn = b1 


a2,1 x1 + a2,2 x2 + . . . + a2,n xn = b2
...



am,1 x1 + am,2 x2 + . . . + am,n xn = bm
o bien, en forma matricial A~x = ~b, donde A es una matriz m × n y
~b es un vector columna con m componentes.
Introducción
Ejercicios
Normas
¿Introducir matriz en SCILAB?
El sistema

2x1 + 4x2 + 3x3 = 3 
1x1 + 3x2 − 2x3 = −1

−1x1 − 3x2 + 0x3 = 2
se introduce y resuelve en SCILAB de la siguiente forma:
--> A=[2 4 3; 1 3 -2; -1 -3 0]
--> b=[3; -1; 2]
--> x=A\b
Introducción
Ejercicios
Normas
Conocimientos previos-I
Sistema Compatible Determinado (SCD): Solución única.
Sistema Compatible Indeterminado (SCI): Infinitas
soluciones.
Sistema Incompatible (SI): No existe solución.
Determinante de una matriz cuadrada y su cálculo.
--> det(A)
Rango de una matriz. Significado y cálculo.
Matriz traspuesta.
--> A’
Matriz inversa.
--> inv(A)
Introducción
Ejercicios
Normas
Conocimientos previos-II
Si A es una matriz cuadrada:
Matriz inversible: (∃A−1 , |A| =
6 0)
Matriz singular: (6 ∃A−1 , |A| = 0)
Matriz diagonal: i 6= j ⇒ ai,j = 0
Matriz triangular superior: i > j ⇒ ai,j = 0.
Matriz triangular inferior: i < j ⇒ ai,j = 0.
Matriz simétrica: A = A0 .
Autovalores y autovectores. Significado y cálculo.
--> [P,D]=spec(A)
Introducción
Ejercicios
Normas
Propiedades
El producto de una matriz por su traspuesta siempre es una
matriz simétrica.
Los autovalores de una matriz simétrica siempre son reales.
Los autovalores de A’A siempre son no negativos.
Introducción
Ejercicios
Normas
Norma vectorial: Ejemplos
Las usuales son:
k~xkk =
q
k
|x1 |k + |x2 |k + . . . + |xn |k
de las que destacan:
Norma 1:
k~xk1 = |x1 | + |x2 | + . . . + |xn | ⇒ k(−1, 3, −4)k1 = 8.
p
Norma 2: k~xk2 = √|x1 |2 + |x2 |2 + . . . + |xn |2 ⇒
k(−1, 3, −4)k2 = 1 + 9 + 16.
Norma ∞: k~xk∞ = máx{|x1 |, |x2 |, . . . , |xn |} ⇒
k(−1, 3, −4)k∞ = 4.
Introducción
Ejercicios
Normas
Radio espectral
Se define el Radio espectral de una matriz A como el módulo del
autovalor con mayor módulo. Esto es:
ρ(A) = máx |λi |
i
Ejemplo: Dada la matriz A =
2 1
−1 3
resulta:
--> rad=max(abs(spec(A)))
Introducción
Ejercicios
Normas
Normas matriciales usuales
Norma 1: kAk1 = máxj
--> norm(A,1)
P
i
|ai,j |
P
Norma ∞: kAk∞ = máxi j |ai,j |
--> norm(A,’inf’)
p
Norma 2: kAk2 = ρ(A0 A)
--> norm(A,2)
--> norm(A)
En general, toda norma verifica ρ(B) ≤ kBk.
Introducción
Ejercicios
Normas
Normas matriciales: Ejemplo
Ejemplo: Para la matriz A =
−2 3 0
0 −1 1
resulta:
kAk1 = máx{2, 4, 1} = 4, kAk∞ = máx{5, 2} = 5


4 −6 0
Para la norma 2: A0 A =  −6 10 −1  ⇒ |A − λI | = 0 ⇒
0 −1 1
4−λ
−6
0 −6 10 − λ −1 = −λ3 + 15λ2 − 17λ = 0
0
−1
1−λ ⇒ λ1 = 0, λ2 ≈ 1,235, λ3 ≈ 13,765 luego
√
kAk2 ≈ 13,765 ≈ 3,7101.
Introducción
Ejercicios
Normas
Sistemas Sobredeterminados y Vector Residuo
A los sistemas que no tienen solución (incompatibles) se les llama
también sistemas sobredeterminados.
Vector residuo: Se llama ası́ al vector ~r = A~x − ~b.
--> r=A*x-b
Si ~x es la solución del sistema, el residuo es el vector cero, pero
no será ası́ debido a los errores que siempre estarán presentes en
los cálculos.
Llamamos solución de un sistema sobredeterminado al vector
x̃ que minimize la norma 2 del vector residuo. Es decir, no
existe solución y llamaremos ası́ a la “menos mala”.
Introducción
Ejercicios
Normas
Librerı́a para Scilab de S.E.L.
prac1.sci
En este fichero se encuentra la librerı́a de rutinas para la práctica
primera. Pasos para cargar la librerı́a:
File - Change Directory. Cambiarse al directorio en el que
está la práctica
File - Execute (seleccionar el fichero prac1.sci)
Introducción
Ejercicios
Métodos de Gauss y de Gauss-Jordan
Otras opciones
Método de Factorización QR
Rutinas implementadas
Los métodos de Gauss implementados en Scilab son los
siguientes:
Gauss,
gauss.sci;
Métodos Gaussianos.
Gauss Jordan, gaussjor.sci;
Para resolver un sistema Ax = B por Gauss en Scilab, hay
introducir previamente las matrices A y B, a continuación hay que
ejecutar las siguientes órdenes:
--> x=gauss(A,B)
--> residuo=A*x-B
--> norm(residuo)
Introducción
Ejercicios
Otras opciones
Otras opciones
Hay otras formas de resolver un sistema de ecuaciones. Comparar
los resultados.
--> x1=inv(A)*B
--> x2=A\B
Conviene siempre comprobar el rango de A y de la ampliada para
ver que tipo de sistema estamos resolviendo.
--> rank(A), rank([A B])
--> det(A)
Introducción
Ejercicios
Otras opciones
Ejemplo
--> A=[1 2 3; 3 4 5; 3 4 5]
--> b=[1 2 3]’
Si estudiamos rangos de A y de la matriz ampliada:
--> rank(A)
ans =
2.
--> rrank([A b])
ans =
3.
El sistema por tanto es incompatible. Al intentar Gauss da error.
--> x=gauss(A,b)
Probar las opciones:
--> inv (A) ∗ B
--> A\B
Introducción
Ejercicios
Otras opciones
Dada una matriz A, la descompondremos en A = QR siendo Q una
matriz ortogonal (Q 0 = Q −1 ) y R una matriz triangular superior.
Para resolver A~x = ~b consideramos
A~x = QR~x = ~b ⇒ Q0 QR~x = R~x = Q0~b. Ası́:
1
2
Descomponemos la matriz A en el producto QR [Q,R]=qr(A)
Resuelvo R~x = Q 0~b. ~x = R \ Q 0 ∗ ~b
Introducción
Ejercicios
Otras opciones
Método QR: Ejemplo 1
Para resolver el sistema A~x = ~b por el método QR, haremos:
1 Introducimos la matriz A, el vector ~
b y descomponemos:
--> A=[4 4 5;2 1 3; 5 6 4];
--> b=[2 3 4]’;[Q,R]=qr(A)

−0,5963
Q =  −0,2981
−0,7454
2
−0,1988
−0,8447
0,4969

−0,7778
0,4444  ,
0,4444

R=
−6,7082
0
0
−7,1554
1,3416
0
Calculo ~x mediante:
--> R \ (Q 0 ∗ b)

6
Obtenemos ~x =  −3 .
−2

−6,8573
−1,5404 
−0,7778
Introducción
Ejercicios
Otras opciones
Método QR: Ejemplo 2-(a)
Hallar una recta que pase por los puntos: (2,3), (-1,2),
(-2,2), (0,2) y (3,4).
La ecuación de la recta es y = mx + b por lo que debemos
encontrar m y b tales que se verifique: 3=2m+b; 2=-m+b;
2=-2m+b, 2=b; 4=3m+b, que no pueden verificarse
simultáneamente (sistema sobredeterminado).
La mejor solución (recta de regresión por mı́nimos cuadrados),
se obtiene de forma eficiente por el método QR:
2
 −1

A =  −2
 0
3

1
1
1
1
1

3
 2


 ~
, b =  2

 2
4




⇒

Introducción
Ejercicios
Otras opciones
Método QR: Ejemplo 2-(b)



Q=

−0,4714
0,2357
0,4714
0
−0,7071
−0,3558
−0,5083
−0,5592
−0,4575
−0,3050
0,2170
−0,7079
0,6410
−0,1967
0,0467
−0,1729
−0,4298
−0,1414
0,8663
−0,1222
−0,5777
−0,0126
0,1851
−0,0392
0,6244






, R = 


−4,2426
0
0
0
0
−0,4714
−2,1858
0
0
0






−2,8284
 −5,3374 
−4,2426x − 0,4714y = −2,8284
0,3953

~b 0 = Q 0~b = 
⇒ ~x =
 0,3104  ⇒
−2,1858y = −5,3374
2,4419
 −0,4174 
0,4910

luego la recta es: y=0.3953x+2.4419
Introducción
Ejercicios
Generalidades
Método de Jacobi
Condiciones de convergencia
Errores
Métodos iterativos.
Los métodos directos resultan, en general, inservibles para
n > 50 incógnitas porque propagan los errores.
Otro problema es que los métodos directos necesitan
almacenar la matriz A en memoria.
Los grandes sistemas de ecuaciones que surgen en la práctica,
tienen la matriz A esparcida (muchos coeficientes igual a
cero) y aunque existen métodos directos especiales,
usualmente se resuelven por métodos iterativos.
Los métodos iterativos tienen la ventaja de no propagar el
error. La estimación de la solución obtenida ~x (k) , puede
considerarse como vector inicial (sin errores) para la iteración
siguiente k + 1.
Introducción
Ejercicios
Generalidades
Método de Jacobi
Errores
Convergencia y otros problemas asociados
Los métodos iterativos obtienen una estimación de la solución del
sistema ~x (m+1) en función de las anteriores, en este caso sólo
será una función lineal de la anterior:
~x(m+1) = B~x(m) + C
donde B es la matriz del método y C es un vector.
Los problemas asociados con los métodos iterativos son:
Convergencia Para que sea útil debe ser convergente y el
lı́mite ser la solución del sistema.
Velocidad de convergencia: Interesa que converja lo más
rápido posible.
Vector inicial: ¿Cómo se elige?.
Condición de parada: ¿Cuándo paramos de iterar?
Introducción
Ejercicios
Generalidades
Método de Jacobi
Errores
Criterio de Convergencia
Un método iterativo de la forma: ~x(m+1) = B~x(m) + C,
converge, si y sólo si, ρ(B) < 1.
Tiene convergencia global, no depende del vector de inicio.
Una medida de la velocidad de convergencia nos la da el valor
de ρ(B). Interesa que sea lo más próximo a cero posible.
La solución del sistema (~x∗ ), debe ser punto fijo del método
iterativo ~x∗ = B~x∗ + C.
Introducción
Ejercicios
Generalidades
Método de Jacobi
Errores
Forma matricial del método de Jacobi
Consideremos la descomposición A = D + L + R donde:
D= Matriz diagonal con la misma diagonal que A.
L= Matriz con todos los términos nulos, excepto los que están por
debajo de la diagonal en los que coincide con A.
R= Matriz con todos los términos nulos, excepto los que se
encuentran por encima de la diagonal en los que coincide con A.
Dado el sistema A~x = ~b ⇒ (D + L + R)~x = ~b ⇒
D~x = −(L + R)~x + ~b ⇒ ~x = −D−1 (L + R)~x + D−1~b
El método de Jacobi queda:
~x(m+1) = BJ~x(m) + CJ
con BJ = −D−1 (L + R), CJ = D−1~b
Introducción
Ejercicios
Generalidades
Método de Jacobi
Errores
Ejemplo
Hallar el vector residuo y sus normas tras dar 3 iteraciones por el
(0)
0 al sistema: A~
método
x = ~b:
 de Jacobi , ~x = (2,3, 0) , 
5 3 −1
2
A =  −2 3 −1  , ~b =  4 
1 3 −5
−5
Tras 3 iteraciones por Jacobi,
--> [x3,res,rad,BJ,CJ]=jacobi(A,b,3,[2;3;0]):




−0,0160
1,3519
~x (3) =  1,7333  → res
~ =  −0,5361  ⇒
1,7680
1,3439


~ 1 = 3,2319 
 kresk
~ ∞ = 1,3519
kresk


~ 2 = 1,9802
kresk
Introducción
Ejercicios
Generalidades
Método de Jacobi
Errores
La condición necesaria y suficiente de convergencia de
un método, es que el radio espectral de la matriz del
método sea menor que 1: ρ(B) < 1. Como para cualquier
norma, ρ(B) < ||B||, si ||B|| < 1 el método converge.
Introducción
Ejercicios
Generalidades
Método de Jacobi
Errores
Errores en los métodos iterativos
El error cometido en un método iterativo tras m iteraciones puede
acotarse mediante:
k~x(m) − ~x∗ k∞ = k∆~x(m) k∞ ≤
kBkm
x(1) − ~x(0) k∞
∞ k~
1 − kBk∞
donde B (kBk∞ < 1) es la matriz del método iterativo.
De la fórmula anterior, podemos calcular el número de iteraciones
n necesario para obtener una solución con un error determinado E :
m≥
E · (1 − kBk ) 1
∞
· log
(1)
(0)
~
k~x − x k∞
log kBk∞ )
Estas fórmulas pueden dar problemas en el caso de que kBk∞ sea
próxima a 1.
Introducción
Ejercicios
Generalidades
Método de Jacobi
Errores
Errores en los métodos iterativos: Ejemplo
Acotar el error cometido

5
Jacobi al sistema  −2
1
al dar 3 iteraciones
el métodode 

 por
3 −1
2
0
6 −1  ~x =  4 , ~x (0) =  1 .
3 −5
−5
0
--> [x3,res,rad,BJ,CJ]=jacobi(A,b,3,[0;1;0])
--> n=norm(BJ)
--> ans=0.8
--> x1=jacobi(A,b,1,[0;1;0])
--> n1=norm(x1-[0;1;0])
Resultados y calculamos el error:
k∆~x(3) k∞ ≤
n3 n1
1−n
= 4,096
¿Cuántas iteraciones serán necesarias para obtener un error menor que
10−7 ?
Introducción
Ejercicios
Scilab calcula los autovalores de una matriz A con la orden
spec(A), si queremos además la matriz diagonal V y la matriz de
paso X , escribiremos [X,V]=spec(A).
Un método iterativo para el cálculo de autovalores se basa en la
descomposición QR de la matriz A.
1
2
A0 = A
Repetir:
[Q, R] = qr(Ai )
Ai+1 = RQ
En Scilab el algoritmo está implementado en el archivo francis.sci,
ejecutarlo y luego introducir francis(A,n), siendo A la matriz de
partida y n el número de iteraciones.
Introducción
Ejercicios
Ejercicio 1
Dado el sistema Ax=b, siendo:


16
0 −1
0 −5
2
1 4
 2
7 −2
0
3
0 −1 4 


 0
3
16
1
0
0
−1 4 


 4
2
0 20
4
0
0 4 

,
A=
5 11
1
0 4 
 −1 −1 −1

 −1 −1 −1 −1
6 12
0 4 


 0
1
1
1
2
7 15 4 
0
2
1
0
0
0
1 4






b=





1
3
−2
2
5
6
3
0












(a) Iterar por el método de Jacobi (30 iteraciones, inicio el origen).
Estudiar previamente su convergencia y calcular las normas 1, 2, ∞
del vector residuo.
(c) Acotar el error cometido.
Introducción
Ejercicios
Ejercicio 2
Dado el sistema Ax=b, siendo:


1 −3 2
1 0
 0
3 10 −1 2 



A =  1 10 30 −1 1 
,
 2
4 0 10 2 
2 11 1
0 10



b=


1
1
2
1
1






(a) Estudiar la compatibilidad del sistema.
(b) Resolverlos por métodos directos e iterativos estudiados.
(c) Estudiar la convergencia de los métodos iterativos.
(d) Dar las iteraciones necesarias para obtener la solución con
error menor que 10−6 .
Introducción
Ejercicios
Ejercicio 3
Dado el sistema Ax = b, con

4 −1
−1 4
A=
−2 0
0 −2

 
−2 0
4
0
0 −2
;b =  
0
4 −1
−1 4
−4
Estudiar la convergencia de Jacobi y calcular el error cometido si
das 100 iteraciones.
Introducción
Ejercicios
Ejercicio 5
Dado el sistema Ax = b con:

8,9988745
A = 3,1871123
8,4364121
2,3214327
4,42111111
−8,62046793



6,6423
10,9983091
−1,222222  ; b =  −6,8773192  .
16,9512661
42,62861406
(a) Resolver por los métodos QR, y Jacobi (100 iteraciones), estudiando
previamente la convergencia.
(b) Calcular los residuos y comparar.
(c) Acotar el error cometido en cada uno.
Introducción
Ejercicios
Ejercicio 6
La ley de Kirchoff para el voltaje aplicado a un circuito produce el
siguiente sistema de ecuaciones:
(R1 + R3 + R4 )I1 +
R3 I2 +
R4 I3
= E1
R3 I1 +
(R2 + R3 + R5 )I2 −
R5 I3
= E2
R4 I1 −
R5 I2 +
(R4 + R5 + R6 )I3 = 0
Calcular las intensidades de corriente I1 , I2 , I3 cuando
R1 = 1, R2 = 1, R3 = 2, R4 = 1, R5 = 2, R6 = 4 y
E1 = 23, E2 = 29. Calcular también para E1 = 12, E2 = 21,5.
Resolver por los distintos métodos estudiados, calcular errores y
comparar resultados.
Introducción
Ejercicios
Ejercicio 7
Dado el sistema Ax = b con
A = (aij ) = 1/(i + j − 1); b = (bi ) = i 2 − 3, (i, j = 1 . . . ..n).
(a) Resolver por un método directo y por un método iterativo con
n = 8.
(b) Comparar resultados analizando el vector residuo, y su norma.
Introducción
Ejercicios
Ejercicio 9
Calcular, si es posible, los autovalores de la matrices de los
ejercicios anteriores con la orden directa y con el algoritmo francis.

Tema 4 Álgebra Lineal Numérica

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