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8 ÁLGEBRA NO ASOCIATIVA. CURSO 06/07 RELACIÓN 5 1.- Sea V un espacio vectorial, y supongamos que la descomposición de Jordan de un elemento x ∈ gl(V ) es: x = d + n. Demuestra que la descomposición de Jordan de ad x es ad d + ad n. 2.- Sea V un espacio vectorial complejo, y sea L una subálgebra de gl(V ). Supongamos que L es soluble. Usa el Teorema de Lie para demostrar que existe una base de V con respecto a la cual todo elemento de L! queda representado por una matriz triangular superior estricta. Concluye que tr xy = 0, cualesquiera que sean x ∈ L, y ∈ L! . 3.- Sea L un álgebra de Lie de dimensión finita. Para cada ideal I de L definimos. I ⊥ := {x ∈ L | k(x, I) = 0}, donde k es la forma Killing de L. Prueba que I ⊥ es un ideal de L. 4.- En las condiciones del problema anterior, aplı́quese el criterio de Cartan para demostrar que I ∩ I ⊥ es un ideal soluble de L. 5.- Calcula la forma Killing del álgebra de Lie L := sl(2, F ). 6.- Determina la descomposición de Jacobson-Chevalley de los siguientes endomorfismos de C3 , C4 y C6 , respectivamente: 1 0 1 1 1 1 1 0 2 −6 0 1 0 1 0 0 3 −2 0 0 1 −1 3 0 0 1 0 0 0 , −1 0 −1 , . 0 0 1 3 0 0 1 1 0 0 −1 3 2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 0 −1 0 7.- Sea δ una derivación de un álgebra de Lie L. Prueba que si λ, µ ∈ C y x, y ∈ L, entonces: n ( ) ' n n [(δ − λ1 )k x, (δ − µ1 )n−k y]. (δ − (λ + µ)1L ) [x, y] = L L k=0 k A partir de aquı́, probar que si la descomposición primaria de L con respecto a δ es L = ⊕λ Lλ , entonces [Lλ , Lµ ] ⊆ Lλ+µ . 8.- Sean L1 y L2 álgebras de Lie complejas semisimples, y supongamos que ϕ : L1 → L2 es un homomorfismo sobreyectivo. Demuestra que si x ∈ L1 tiene descomposición de Jordan abstracta x = d + n, entonces la descomposición de Jordan abstracta de ϕ(x) es: ϕ(d) + ϕ(n).