Algebra lineal 1

Algebra lineal 1
Programa del curso
otoño, 2011
1.
Introducción
El álgebra lineal juega un papel determinante en ciencias e ingenierı́a; es una de las ramas
de la matemática cuya presencia conceptual, analı́tica, y computacional es crucial en una
gama amplia de aplicaciones cientı́ficas y tecnológicas.
Originada formalmente a fines del siglo XIX y consolidada en las primeras décadas del
siglo XX, el álgebra lineal ha experimentado constantes avances a partir de la segunda
mitad del siglo XX. Estos cambios se deben indudablemente a la aparición de las ciencias
computacionales y a sus efectos en las ciencias y en la ingenierı́a.
Estadı́stica, programación lineal, optimización continua, ecuaciones diferenciales son, entre otras muchas, áreas del conocimiento matemático difı́ciles de concebir sin alguna de las
componentes básicas del álgebra lineal mencionadas en los párrafos anteriores.
2.
Objetivos del curso
Los objetivos del curso se concentran en desarrollar y utilizar los conceptos fundamentales
del álgebra lineal para resolver problemas reales.
Conceptos algebraicos. Espacio vectorial y sus extensiones naturales a espacios con
producto interior y espacios normados. Transformación lineal.
Conceptos analı́ticos. Subespacios fundamentales, rango, dimensión, bases. Teoremas
de descomposición. Subespacios invariantes.
Aspectos computacionales. Algoritmos eficientes para resolver sistemas de ecuaciones
lineales.
3.
Contenido del curso
1. Antecedentes y motivación. Sistemas de ecuaciones lineales Eliminación gaussiana en
casos prácticos: a) pivoteo parcial; b) aritmética de punto flotante. Método de GaussJordan. Sensibilidad de un sistema de ecuaciones lineales. Problemas de aplicación.
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2. Sistemas rectangulares y formas escalonadas por renglones. Rango. Consistencia. Sistemas homogéneos. Ejemplos y problemas.
3. El concepto de linealidad. Funciones lineales y álgebra de matrices. Suma, producto por
un escalar, el producto de matrices. Algebra de matrices por bloques. Matriz inversa.
Serie de Neumann. Fórmula de Sherman-Morrison.
4. Matrices elementales. Factorización LU. Propiedades.
5. Espacios vectoriales de dimensión finita. Los cuatro espacios fundamentales. Independencia lineal. Bases y dimensión. Cambio de bases. Similaridad. Subespacios invariantes.
6. Producto interior. Normas vectoriales. Normas matriciales inducidas. Ortogonalidad y
proyecciones. Ortogonalización de Gram-Schmidt. Matrices ortogonales.
4.
Evaluación del curso
El curso se evaluará de la siguiente manera:
3 exámenes parciales
examen final
70 %
30 %
Los exámenes parciales se realizarán en las horas de clase en las fechas siguientes:
1er examen
2o examen
3er examen
8 de septiembre
13 de octubre
24 de noviembre
Referencias
[1] Carl D. Meyer, Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, second edition. SIAM
Philaldelphia. 2000.
[2] Gilbert Strang, Linear Algebra and its Applications, third edition. Saunders College
Publishing. 1988.
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