estudio de la geometria del fibrado de las algebras de weyl en el

estudio de la geometria del fibrado de las algebras de weyl en el

UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR
DECANATO DE ESTUDIOS DE POSGRADO
COORDINACIÓN DE FÍSICA
MAESTRÍA EN FÍSICA
TRABAJO DE GRADO
ESTUDIO DE LA GEOMETRÍA DEL FIBRADO DE LAS
ÁLGEBRAS DE WEYL EN EL SUPERESPACIO
Y SUS APLICACIONES
Por
Lic. Jesús Alejandro Pineda Muñoz
Octubre, 2009
UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR
DECANATO DE ESTUDIOS DE POSGRADO
COORDINACIÓN DE FÍSICA
MAESTRÍA EN FÍSICA
ESTUDIO DE LA GEOMETRÍA DEL FIBRADO DE LAS
ÁLGEBRAS DE WEYL EN EL SUPERESPACIO
Y SUS APLICACIONES
Trabajo de Grado presentado ante la Universidad Simón Bolı́var por
Lic. Jesús Alejandro Pineda Muñoz
como requisito parcial para optar al grado académico de
Magı́ster en Fı́sica
Con la asesorı́a de la Profesora
Alexandra de Castro
Octubre, 2009
iii
Dedicatoria
A todos aquellos que no temen a la realidad y con espı́ritu regio y mente clara buscan la
verdad de la naturaleza.
iv
Agradecimientos
Debo agradecer principalmente a Alexandra de Castro, puesto que sin su guı́a este humilde trabajo no habrı́a sido posible. Su disposición para ayudar en todos los obstáculos que
enfrentamos en este trabajo ha sido sencillamente inestimable, especialmente considerando
el millar de tareas distintas que la ocuparon mientras trabajamos. Cuando Alexandra no
estaba disponible, Leonardo Quevedo fue clave a la hora de resolver muchas de las dudas
que surgieron a medida que me enfrentaba a los muchos temas nuevos que debı́ aprender
para completar mi investigación. A ambos les deseo lo mejor en su futuro allende el Pacı́fico.
Adicionalmente, Álvaro Restuccia merece una mención especialı́sima por haberme tomado
bajo su tutela en los últimos suspiros del tiempo disponible para completar este trabajo, una
vez que Alexandra y Leonardo dejaron el paı́s. Su paciencia ante preguntas tontas durante
un perı́odo de vacaciones en el que estaba ocupado sólo puede llamarse hercúlea.
Por otra parte, agradezco a mis compañeros de clase y a mis amigos, por mantenerme
relativamente cuerdo durante mis estudios al recordarme que aparentemente hay un mundo
real más allá de la Universidad. A mis compañeros de la Asociación Racional Escéptica de
Venezuela y del programa radial Tecnologı́a Hecha Palabra, por alimentar mi interés por la
ciencia recordándome que no solamente se trata de mediciones o cálculos, sino que hay que
establecer metodologı́as e ideas claras que deben poderse explicar de forma clara y concisa.
A Verónica Pérez por su compañı́a, paciencia y, cuando era necesario, estricta tozudez ante
mis impulsos procrastinadores. Y finalmente, a mis maestros y compañeros de entrenamiento
en Karate y Jiujitsu por permitirme ventilar las frustraciones provenientes de este trabajo...
ası́ fuera a punta de patadas.
Y gracias a ti, aunque hoy no estés, por haberlo iniciado todo.
A todos gracias.
v
UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR
DECANATO DE ESTUDIOS DE POSGRADO
COORDINACIÓN DE FÍSICA
MAESTRÍA EN FÍSICA
ESTUDIO DE LA GEOMETRÍA DEL FIBRADO DE LAS ÁLGEBRAS DE WEYL
EN EL SUPERESPACIO Y SUS APLICACIONES
Por: Lic. Jesús Alejandro Pineda Muñoz
Carnet: 07-85852
Tutora: Prof. Alexandra de Castro
Octubre, 2009
En este trabajo se estudian las propiedades geométricas del Fibrado Formal de Álgebras de Weyl al
ampliarlo mediante la adición de Supersimetrı́a. Se estudia el mecanismo de Fedosov para obtener
cuantizaciones por deformaciones a través del Fibrado de Álgebras de Weyl en el espacio tangente
de una variedad simpléctica sin curvatura.
El Fibrado de Weyl introduce una deformación en el producto de funciones dependientes de las
coordenadas del espacio base y del espacio tangente. Una vez obtenida las conexiones simpléctica y
abeliana se consigue la subálgebra Abeliana y conseguimos que, al proyectar al centro el producto
de Weyl se obtiene el producto de Moyal. Se encontrará la extensión supersimétrica del producto de
Weyl y se estudian las propiedades de asociatividad del superproducto. Se estudian las deformaciones
nilpotentes del superespacio a inducidas por el superproducto para 0-formas del fibrado.
Finalmente se calcula la teorı́a del supercampo quiral empleando en nuevo superproducto definido a partir de Q-deformaciones en una variedad supersimpléctica con una geometrı́a especı́fica
y se encuentran las modificaciones a la teorı́a usual del supercampo quiral tanto para los campos
de componente como para los superpotenciales. Se verifica el principio de correspondencia y se
proponen caminos adicionales para avanzar este programa de investigación.
Palabras Clave: Supersimetrı́a, Fibrado de Weyl, No(anti)conmutatividad, Geometrı́a simpléctica
vi
Índice general
Aprobación del Jurado
II
Dedicatoria
III
Agradecimientos
IV
Resumen
V
Índice General
VI
I. Introducción
1.1. Geometrı́a no-conmutativa y Teorı́a de Cuerdas . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Estructura del programa de investigación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2
3
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6
7
8
10
12
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15
16
20
20
21
IV.Producto de Weyl para formas supersimplécticas
4.1. Supervariedades simplécticas: definiciones y propiedades . . . . . . . . . . .
4.2. Fibrado de superálgebras de Weyl y un superproducto asociativo . . . . . . .
4.2.1. Deformaciones de la subálgebra Abeliana . . . . . . . . . . . . . . . .
26
26
30
34
V. Una aplicación: El supercampo escalar
5.1. Deformaciones a partir del superproducto de Weyl . . . . . . . . . . . . . . .
5.2. Teorı́a de supercampo escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1. Teorı́a no(anti)conmutativa del supercampo quiral . . . . . . . . . . .
37
37
39
41
VI.Conclusiones y trabajos futuros
6.1. Posibles continuaciones y ampliaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
52
A. Algunas identidades espinoriales de interés
54
B. Variedades simplécticas
57
II. Breve introducción a la Supersimetrı́a y los
2.1. Fundamentos de SUSY . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1. Representaciones del álgebra SUSY . . .
2.2. Campos de componente y supercampos . . . . .
2.3. Supercampos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.Cuantización por deformaciones
3.1. El fibrado formal de álgebras de Weyl . . . . .
3.2. Subálgebras abelianas y el producto de Moyal
3.2.1. La subálgebra Abeliana . . . . . . . .
3.2.2. El Producto de Moyal . . . . . . . . .
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Supercampos
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vii
2.1. Espacios y variedades simplécticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Un ejemplo: La formulación hamiltoniana de la mecánica . . . . . . . . . . .
Referencias
57
59
61
1
Capı́tulo I
Introducción
Durante los últimos años la atención de los investigadores en Fı́sica de Altas Energı́as se ha
centrado en el problema de la unificación de la Relatividad General con la Mecánica Cuántica.
Los programas de investigación que han intentado alcanzar este objetivo están basados en
gran medida en el estudio de objetos extendidos y en una modificación fundamental de
nuestros conceptos clásicos de espacio y tiempo. Una de las modificaciones que en los últimos
tiempos ha recibido una cantidad importante de interés implica dejar de lado la percepción
clásica del espacio tiempo, conformado por puntos conmutantes, para imponer condiciones
de no-conmutatividad que presumiblemente describirı́an la estructura del espacio-tiempo a
escalas de Planck.
El interés de la geometrı́a no conmutativa no está restringido a la unificación. El problema
de confinamiento en QCD ha sido estudiado por muchos autores y algunos afirman que una
formulación no-conmutativa del Modelo Estándar puede ser instrumental en su resolución [1].
Las formulaciones no-conmutativas del Modelo Estándar también han sido propuestas para
acomodar fenómenos nuevos como la mezcla de neutrinos y la masa del bosón de Higgs [2, 3].
Lamentablemente, las observaciones más recientes apuntan a que las predicciones del Modelo
Estándar No-conmutativo no se corresponden con la naturaleza [4]. Otra de las interesantes
aplicaciones de la no-conmutatividad en el campo de la fı́sica de la materia condensada es
el problema del efecto Hall cuántico, estudiado mediante la construcción de una teorı́a de
Chern-Simons no-conmutativa [5].
2
1.1.
Geometrı́a no-conmutativa y Teorı́a de Cuerdas
Las aplicaciones anteriores son importantes, sin embargo nos interesará más la relación
entre la Teorı́a de Cuerdas (TC) y las Teorı́as No-conmutativas, puesto que esta conexión
es la motivación principal de nuestro trabajo. En la TC se considera que la geometrı́a del
espacio-tiempo deberı́a ser una propiedad emergente, esto es, la estructura del espacio-tiempo
surgirı́a naturalmente al formular y resolver correctamente las ecuaciones. Recientemente se
ha hallado que las geometrı́as de ciertas TC pueden ser deformadas hasta obtener geometrı́as
no-conmutativas [6, 7] y, cuando se tienen campos grandes comparados con el tamaño de las
cuerdas y el campo es de Neveu-Schwarz, la dinámica se puede estudiar mediante una teorı́a
de Yang-Mills no-conmutativa [8].
No es difı́cil notar que la introducción de no-conmutatividad afectará la naturaleza de las
simetrı́as del espacio-tiempo, puesto que se inducen relaciones de indeterminación que fijan
una escala fundamental que elimina el concepto de punto geométrico. Lo anterior claramente
trae como resultado que estas formulaciones presentan no-localidad, rompen la simetrı́a de
Lorentz y, al considerar el superespacio (lo que introduce no-anticonmutatividad), también
rompen SUSY e incluso quiralidad. La no(anti)conmutatividad no solamente aparece cuando
se consideran fenómenos de cuerdas, también podı́an encontrarse al estudiar estados RamondRamond como el gravifotón [23].
Una de las formas en las que se introduce la no(anti)conmutatividad en la TC, como
mencionamos antes, es la deformación del espacio-tiempo. Las deformaciones son también de
interés en el contexto de la conexión entre la Mecánica Clásica y la Mecánica Cuántica: en
este caso se considera una deformación del álgebra de Poisson de las variables del espacio de
fases. Este camino para obtener la “primera cuantización” fue desarrollado por Weyl [18].
En este contexto las deformaciones son entendidas en términos de la constante de Planck
introduciendo el producto de Moyal
(
f (q, p) ∗ g(q, p) = f exp
)
−
−−
→ −
→←
i~ ←
( ∂q ∂p − ∂p ∂q ) g,
2
(1.1)
que al ser desarrollado nos permite encontrar la teorı́a clásica como un lı́mite de la formulación
3
cuántica deformada.
Estudios posteriores han explorado las limitaciones sobre las deformaciones que serı́an
admisibles en el superespacio [10, 11]. Esto ha permitido establecer una distinción entre
deformaciones construidas a partir de derivadas espinoriales (llamadas D-deformaciones) y
de supercargas (Q-deformaciones) y la atención hasta el momento se ha enfocado en estas
últimas, principalmente debido a la disponibilidad de ejemplos en la literatura. Es evidente
que las deformaciones afectan al espacio base, lo que recientemente ha impulsado el estudio de
deformaciones basadas en el mecanismo de Fedosov; que consiste en aplicar la deformación al
espacio simpléctico tangente en lugar de al espacio base. Este mecanismo ha sido usado para
estudiar D-branas en campos B no constantes y espacios generales no planos [12], modelos
de supermembranas [13], la “fuzzy sphere” [14], la formulación canónica de teorı́as de calibre
no-conmutativas [15] y la simetrı́a BRST en teorı́as cuánticas de campo.
En este contexto el objetivo principal de nuestro trabajo será estudiar los aspectos de
supersimetrı́a, cuantización por deformaciones y supervariedades simplécticas y combinarlos
para estudiar el comportamiento de teorı́as no(anti)conmutativas en el superfibrado de Weyl.
1.2.
Estructura del programa de investigación
Nuestro programa de investigación buscará principalmente estudiar y aplicar algunos de
los resultados obtenidos en [16, 13]. Para lograr este objetivo nos centraremos en los siguientes
temas:
Supersimetrı́a: Estudiaremos la necesidad de supersimetrı́a como una extensión natural
de las simetrı́as del espacio-tiempo consistente con las Mecánica Cuántica Relativista
[17]. Veremos además cómo se construyen las representaciones irreducibles del álgebra
supersimétrica y como ésta hace evidente una relación entre bosones y fermiones, para
luego reformular las relaciones de anticonmutación de los generadores SUSY1 en términos de conmutadores, logro que nos permitirá construir la formulación de campos de
componente. Una vez obtenida la formulación de campos de componente, estudiaremos
los supercampos y su relación con los campos de componente y adicionalmente consi1
A través de todo el texto emplearemos indistintamente los términos Supersimetrı́a y SUSY (Supersymmetry) indistintamente.
4
deraremos algunas propiedades de los supercampos quirales puesto que serán los que
emplearemos como protagonistas al momento de redefinir el producto de Weyl.
Geometrı́a Simpléctica: Puesto que es necesaria para entender apropiadamente las propiedades del producto de Weyl y de la cuantización por deformaciones nos detendremos a estudiar algunas propiedades de los espacios simplécticos y de las variedades
simplécticas, lo que nos brindará el lenguaje necesario para comprender la cuantización
por deformaciones y el formalismo de Weyl.
Cuantización por Deformaciones: Siguiendo el mecanismo desarrollado por Fedosov [18],
comenzaremos por extender las funciones del espacio base f (x) al agregar un parámetro
de deformación ~, obteniendo un álgebra deformada de funciones f (x, ~). De esta manera podremos introducir el Fibrado Formal de Álgebras de Weyl, donde la deformación
se hace manifiesta en el espacio tangente a la variedad simpléctica base. Trabajaremos
con el producto de Weyl que define el Fibrado de Weyl y pasaremos a encontrar la conexión simpléctica asociada a la variedad, para finalmente estudiar la conexión abeliana
y su subálgebra asociada. Lo anterior nos llevará finalmente a encontrar el producto de
Moyal inducido en la variedad debido a la deformación del espacio tangente.
Superproducto de Weyl: Entendido el procedimiento de cuantización de Weyl pasaremos
a buscar su extensión, al dejar de lado el espacio usual y considerar el superespacio. Al
añadir coordenadas anticonmutantes, debemos reestudiar las propiedades de la nueva
variedad supersimpléctica que hemos construido (como su curvatura, coordenadas de
Darboux, etc.) para luego proceder a crear el Superfibrado de Álgebras de Weyl y su
superproducto asociado. Elegimos restringirnos al estudio de N = 1 SUSY, lo que nos
permite escribir explı́citamente el superproducto de Weyl. Al construir la subsuperálgebra Abeliana podremos verificar el comportamiento de las deformaciones nilpotentes
del superespacio.
Aplicaciones a supercampos quirales: Aplicaremos el superproducto que obtuvimos al
expandir el producto de Weyl al superespacio con deformaciones nilpotentes a supercampos quirales. Construiremos el lagrangeano para una teorı́a de supercampos quirales
5
con el nuevo superproducto, estudiaremos las ecuaciones de movimiento del sistema y
veremos cómo son afectadas por las deformaciones al comparar con el lagrangeano para
una teorı́a quiral sin deformaciones. Verificaremos algunas propiedades del potencial
que encontraremos y verificaremos que se cumpla el principio de correspondencia.
Las construcciones y metodologı́as que desarrollaremos en este trabajo pueden verse como
una introducción a estudios mucho más complicados e interesantes en Teorı́a Cuántica de
Campos No(anti)conmutativa y Supersimétrica.
6
Capı́tulo II
Breve introducción a la Supersimetrı́a y los
Supercampos
Uno de los aspectos fundamentales en la fı́sica contemporánea es el estudio de las simetrı́as
de la naturaleza. Desde la conservación del momentum-energı́a y la conservación de la carga,
culminando con el magnı́fico edificio de la Teorı́a Cuántica de Campos, gran parte de las
bases sobre las que se elevan las teorı́as fı́sicas actuales son los principios de simetrı́a. En
tiempos recientes, llevados por el gran poder explicativo de los principios de simetrı́a y otras
consideraciones teóricas y experimentales, los fı́sicos y matemáticos han enfocado parte de su
atención en la ampliación de las simetrı́as de la naturaleza (bien continuas o discretas). Uno
de los caminos posibles que ha recibido la mayor cantidad de atención por su elegancia y por
su inmediatez conceptual es la Supersimetrı́a, cuyos fundamentos estudiaremos brevemente
a continuación.
Nuestro interés en Supersimetrı́a va más allá de los aspectos que mencionamos anteriormente puesto que la extensión supersimétrica del producto de Weyl es uno de los puntos
más importantes de este trabajo, y que exploraremos en más adelante. Durante este capı́tulo
emplearemos la notación y terminologı́a de Wess y Bagger [19]. Comenzaremos por definir
el álgebra supersimétrica para luego estudiar algunas de sus representaciones, continuando
luego con el estudio de los supercampos como un camino para formular teorı́as fı́sicas.
7
2.1.
Fundamentos de SUSY
El interés de matemáticos y fı́sicos en el estudio de SUSY no sólo proviene de las interesantes propiedades matemáticas que poseen las teorı́as SUSY, sino que desde hace ya mucho
tiempo se considera que la extensión SUSY de las teorı́as estándares es uno de los caminos
más plausibles para llevar a una formulacion de Teorı́as de Gran Unificación [4]. Estas hipótesis fueron iniciadas por el trabajo de Haag, Lopuszanski y Sohnius [17] que mostró que el
álgebra SUSY es la única extensión posible de las simetrı́as de la matriz S que preserva la
consistencia de la Teorı́a Cuántica de Campos.
Ası́ pues introducimos el álgebra SUSY:
{
}
m
A
QA
α , Q̄β̇B + = 2σαβ̇ Pm δB
{
}
{
}
B
QA
,
Q
= Q̄α̇A , Q̄β̇B + = 0
α
β̇
(2.1)
(2.2)
+
[
]
[
]
Pm , QA
α − = Pm , Q̄α̇A − = 0
[Pm , Pn ]− = 0,
(2.3)
(2.4)
donde los ı́ndices griegos corren desde 1 a 2 y denotan los espinores de Weyl usuales de
dos componentes. Los ı́ndices latinos corren de 1 a 4 e identifican vectores de Lorentz. Los
ı́ndices en mayúsculas hacen referencia al espacio interno de simetrı́a y corren desde 1 hasta
algún entero positivo N . Los subı́ndices en los corchetes y las llaves denotan conmutadores
(corchetes con signo −) o anticonmutadores (llaves con signo +) y permiten distinguir las
partes pares o impares del álgebra (aunque de ahora en adelante los dejaremos de lado cuando
sea evidente la operación a la que se hace referencia). El álgebra N = 1 es el álgebra SUSY
y aquellas con N > 1 son las álgebras SUSY extendidas.
8
2.1.1.
Representaciones del álgebra SUSY
En algunas teorı́as de campo es posible representar los generadores SUSY Qα como corrientes conservadas Jαm tales que:
∫
Qα =
d3 x Jα0
(2.5)
∂Jαm
= 0.
∂xm
(2.6)
Las corrientes J serán entonces expresiones locales de los operadores de campo. Estos objetos
satisfacen el álgebra SUSY 2.1–2.4 puesto que las relaciones de conmutación canónicas se
verifican para estas definiciones [20].
Hemos visto en la definición del álgebra SUSY, que el cuadrivector Pm conmuta con
los generadores SUSY Q y Q̄. Esto permite etiquetar las representaciones irreducibles del
álgebra empleando el casimir P 2 , lo que claramente nos lleva a ver que las representaciones
son de igual masa. Nos concentraremos en esta parte en las representaciones irreducibles con
N = 1, 2 considerando momenta tipo-tiempo (P 2 < 0) y tipo-luz (P 2 = 0). Para construir
estas representaciones emplearemos el método de representaciones inducidas.
Comenzaremos por construir las representaciones para los estados masivos. Nuestro primer paso será colocarnos en el marco en reposo donde Pm = (−M, 0, 0, 0), ası́ el álgebra toma
la forma:
{
}
B
QA
,
Q̄
α
β̇B = 2M δαβ̇ δA
{ A B} {
}
Qα , Qβ = Q̄α̇A , Q̄β̇B = 0.
Podemos entonces introducir operadores de creación y aniquilación aA
α =
√ 1 Q̄α̇A .
2M
(2.7)
(2.8)
√ 1 QA ,
2M α
†
(aA
α) =
Este reescalamiento nos permite ver claramente las representaciones de esta álgebra
como las provenientes de un vacı́o de álgebras de Clifford Ω definido por:
aA
α Ω = 0,
donde P 2 Ω = −P 2 Ω.
9
Cualquier estado puede construirse mediante la aplicación iterada de los operadores de
†
creación (aA
α ) sobre el “vacı́o” Ω.
(n) α ...αn
ΩA1 ...A1 n
1
= √ (aαA11 )† . . . (aαAnn )† Ω.
n!
(2.9)
Los operadores de creación anticonmutan, lo que hace que Ω(n) sea antisimétrico ante el
intercambio de pares de ı́ndices αi Ai , αj Aj . Cada par de ı́ndices puede tomar 2N valores
diferentes por lo que n ≤ 2N . Sumando para todo n, nos da la dimensión de la representación:

d=

2N
∑
 2N 
2N

=2 .
n
n=0
(2.10)
Si el vacı́o es no-degenerado, entonces la expansión 2.9 será el multiplete irreducible masivo
fundamental y tiene dimensión 22N con 22N −1 estados fermiónicos y la misma cantidad de
estados bosónicos. El estado de máximo espı́n se obtiene simetrizando la mayor cantidad
de ı́ndices espinoriales posible. Dado que debemos antisimetrizar también el segundo ı́ndice,
sólo es posible simetrizar N ı́ndices espinoriales. Esto lleva al espı́n-1/2N y el máximo espı́n
será 1/2N , que ocurre exactamente una sola vez. Los demás multipletes masivos provienen
de vacı́os que no son invariantes bajo el grupo de estabilidad. Sus representaciones se hallan
componiendo la representación del vacı́o con la del multiplete fundamental.
En el caso N = 1, la representación fundamental consiste en los estados:
Ω
(aα )† Ω
1
1
√ (aα )† (aβ )† Ω = − √ ϵαβ (aγ )† (aγ )† Ω.
2
2 2
(2.11)
(2.12)
(2.13)
La representación tiene dos estados de espı́n 0 y una de espı́n 1/2. Cuando el vacı́o tiene espı́n
j > 0, entonces pertenece a una representación (2j +1)−dimensional del grupo de estabilidad
SU (2), lo que lleva a multipletes con espines (j, j + 1/2, j − 1/2, j). Más abajo mostramos el
número de objetos que conforman cada una de las representaciones correspondientes a vacı́os
de espı́n 0 a 3/2.
10
Spin
0
1/2
1
3/2
2
2.2.
Ω0
2
1
Ω1/2
1
2
1
Ω1
1
2
1
Ω3/2
1
2
1
Campos de componente y supercampos
Otra forma de representar el álgebra SUSY nos permite trabajar con más facilidad a
la hora de construir una teorı́a de campos supersimétrica. Esta representación consiste en
emplear parámetros anticonmutantes ξ α , ξ¯α̇ de tal suerte que el álgebra supersimétrica puede
escribirse empleando únicamente conmutadores:
¯ m
[ξQ, ξ¯Q̄] = 2ξσ m ξP
(2.14)
[ξQ, ξQ] = [ξ¯Q̄, ξ¯Q̄] = 0
(2.15)
[P m , ξQ] = [P m , ξ¯Q̄] = 0.
(2.16)
Un multiplete de componente será un conjunto de campos (A, ψ, . . . ) definidos por la
transformación infinitesimal δξ :
δξ A = (ξQ + ξ¯Q̄) × A
(2.17)
δξ ψ = (ξQ + ξ¯Q̄) × ψ
(2.18)
..
.
Esta transformación satisface:
(δη δξ − δξ δη ) = 2(ησ m ξ¯ − ξσ m η̄)Pm A
= −2i(ησ m ξ¯ − ξσ m η̄)∂m A
(2.19)
(2.20)
..
.
siguiendo nuestra redefinición del álgebra SUSY podemos notar que la transformación anterior mapea campos tensoriales en campos espinoriales y viceversa. Adicionalmente, el álgebra
11
nos deja ver que el operador Q tiene una dimensión de masa de 1/2, lo que implica que campos
de dimensión l son transformados en campos de dimensión l + 1/2 o en derivadas de campos
de dimensión inferior. Si comenzamos con el campo escalar A, podemos definir el espinor ψ
√
como el resultado de la transformación de A: δξ A = 2ξψ. Ası́, el campo ψ transforma en
un campo tensorial y una derivada del campo A
√
√
¯ m A + 2ξF.
δξ ψ = i 2σ m ξ∂
Si exigimos que el conmutador 2.19 cierre para A y ψ podemos ver el origen del coeficiente
de ∂m A en la definición de la trasnformación de ψ y la transformación de F :
√
¯ m ∂m ψ.
δξ F = i 2ξσ̄
Este multiplete de componentes que hemos construido se conoce con el nombre de multiplete escalar:
δξ A =
√
2ξψ
√
√
¯ m A + 2ξF
δξ ψ = i 2σ m ξ∂
√
¯ m ∂m ψ.
δξ F = i 2ξσ̄
(2.21)
(2.22)
(2.23)
Estos campos conforman una representación lineal del álgebra SUSY. Si A tiene dimensión
1, entonces ψ tendrá dimensión 3/2, mientras que F tendrá dimensión 2 y asume la función
de un campo auxiliar.
Los supercampos permiten simplificar la adición y multiplicación de representaciones y
son extremadamente útiles para la construcción de lagrangeanos de interacción. Pueden ser
construidos a partir de campos de componentes y, de manera análoga, es posible recuperar
campos de componente de los supercampos empleando una expansión en series de potencia.
12
2.3.
Supercampos
Sabemos que el álgebra SUSY puede ser estudiada como un álgebra de Lie con parámetros
anticonmutantes, lo que nos permite escribir un elemento de grupo como
G(x, θ, θ̄) = ei(−x
m P +θQ+θ̄ Q̄)
m
.
(2.24)
Esto nos permite multiplicar con facilidad dos elementos de grupo recordando que los términos
con conmutadores anidados se anulan. Ası́ entonces:
m
¯
¯
G(0, ξ, ξ)G(x
, θ, θ̄) = G(xm + iθσ m ξ¯ − iξσ m θ̄, θ + ξ, θ̄ + ξ),
(2.25)
esta multiplicación induce una traslación en el espacio base generada por los operadores
diferenciales Q y Q̄:
(
ξQ + ξ¯Q̄ = ξ α
∂
− iσαmα̇ θ̄α̇ ∂m
∂θα
)
(
+ ξ¯α̇
)
∂
α m β̇ α̇
− iθ σαβ̇ ϵ ∂m .
∂ θ̄α̇
(2.26)
Los operadores diferenciales representan la acción del grupo infinitesimal en el espacio de
parámetros:
{
}
Qα , Q̄α̇ = 2iσαmα̇ ∂m ,
{
}
{Qα , Qβ } = Q̄α , Q̄β = 0.
(2.27)
(2.28)
Si en lugar de estudiar la multiplicación por la izquierda, se estudia el producto por la
derecha se obtiene que los operadores diferenciales correspondientes a las traslaciones son:
∂
+ iσαmα̇ θ̄α̇ ∂m ,
∂θα
∂
D̄α̇ = −
− iθα σαmα̇ ∂m ,
∂ θ̄α̇
Dα =
(2.29)
(2.30)
13
ambos operadores cumplen las reglas de anticonmutación:
{
}
Dα , D̄α̇ = −2iσαmα̇ ∂m ,
{
}
{Dα , Dβ } = D̄α̇ , D̄β̇ = 0,
(2.31)
(2.32)
y es claro que los D y Q’s anticonmutan.
Con esta información ya nos es posible introducir los supercampos y el superespacio.
Llamaremos a los elementos del superespacio z = (x, θ, θ̄). Los supercampos serán funciones
del superespacio y deben entenderse en términos de las expansiones en series de potencia en
los elementos anticonmutativos:
¯ + θθm(x) + θ̄θ̄n(x) + θσ m θ̄vm (x)
F (x, θ, θ̄) = f (x) + θϕ(x) + θ̄ξ(x)
+ θθθ̄λ̄(x) + θ̄θ̄θψ(x) + θθθ̄θ̄d(x). (2.33)
Es claro que la serie se trunca puesto que los órdenes adicionales de θ y θ̄ se anulan.
Las reglas de transformación para los supercampos vienen dadas por:
δξ F (x, θ, θ̄) =δξ f (x) + θδξ ϕ(x) + θ̄δξ χ̄(x)
+ θθδξ m(x) + θ̄θ̄δξ n(x) + θσ m θ̄δξ vm (x)
+ θθθ̄θ̄(x) + θ̄θ̄θδξ ψ(x) + θθθ̄θ̄δξ d(x)
≡(ξQ + ξ¯Q̄)F,
(2.34)
de esta relación se pueden inferir las reglas de transformación para los campos de componente
(f, ϕ, χ̄, . . . ) comparando las potencias de θ, θ̄. Es fácil verificar que tanto el producto, como
las combinaciones lineales de supercampos, son también supercampos puesto que Q y Q̄ son
operadores diferenciales lineales.
De esta manera podemos asegurar que los supercampos conforman representaciones lineales del álgebra SUSY. Sin embargo, estas representaciones son reducibles en gran medida.
Es posible, por ejemplo, eliminar campos de componente adicionales sencillamente imponiendo vı́nculos covariantes. Esta es una clara ventaja del uso de las representaciones de
14
supercampos: al emplearlas quedan reducidos los problemas asociados con la determinación
de la representación apropiada del álgebra a la construcción de vı́nculos apropiados para el
problema a atacar.
Una de las condiciones de interés para nuestro estudio será la que define los llamados
supercampos quirales. Dicha condición será empleada más adelante en las aplicaciones del
producto no(anti)conmutativo definido en [16] y viene dada por D̄Φ = 0. Esta definición no
conlleva ningún tipo de ecuación diferencial en el espacio de coordenadas (cosa que puede
verificarse mediante una inspección de la definición del operador D̄), pero si lo hace si es
acoplada con otros vı́nculos. Otros supercampos de interés serán los supercampos vectoriales,
definidos por la relación V = V † . Es posible construir cualquier Lagrangeano renormalizable
supersimétrico en términos de supercampos escalares y vectoriales.
Otras propiedades de los supercampos escalares y vectoriales, su construcción a partir de
conjuntos arbitrarios de campos de componente y algunas caracterı́sticas de los lagrangeanos
más básicos que pueden ser construidos empleándolos pueden revisarse en [19]. Habiendo ya
definido y estudiado algunas propiedades de los objetos que emplearemos en la construcción
de teorı́as de campos en el superfibrado de Weyl, pasaremos a considerar las caracterı́sticas
del fibrado y del producto de Weyl para luego generalizarlo al superespacio.
15
Capı́tulo III
Cuantización por deformaciones
Una vez examinados los aspectos fundamentales de Supersimetrı́a que son de interés para
nuestro trabajo, pasaremos a estudiar la Cuantización por Deformaciones. A través de este
capı́tulo seguiremos no sólo la notación sino el programa expuesto en [18]. Como mencionamos
en la introducción, una de las razones por las cuales el estudio de deformaciones es interesante
está relacionada con la posibilidad de emplear el parámetro ~, la Constante de Planck, como
el indicador de la escala de deformaciones y, mediante el mecanismo de cuantización de Weyl
podemos conectar la Mecánica Clásica con la Mecánica Cuántica ordinaria. Este marco de
trabajo nos permite evadir muchos de los problemas de interpretación que están relacionados
con la transición Clásica–Cuántica y hace explı́cito el conocido Principio de Correspondencia.
En el caso que nos ocupa, en contraste con lo anterior, el parámetro ~ no es más que un
parámetro formal1 . Los observables en la cuantización por deformaciones serán entonces series
formales en el parámetro ~ y el espacio de fases podrá ser un espacio simpléctico cualquiera
y no necesariamente R2n (o, como veremos en el capı́tulo siguiente, supersimpléctico). En
el apéndice B estudiamos brevemente algunas de las propiedades más importantes de las
variedades simplécticas generales.
Si consideramos M , ω una variedad simpléctica y Z = C ∞ (M )[h] el espacio lineal de las
series formales
a(x, h) =
∞
∑
hk ak (x),
(3.1)
k=0
donde los coeficientes ak (x) son en sı́ mismos series formales a(x) ∈ C ∞ (M ). La cuantización
A partir de ahora emplearemos el sı́mbolo ~ para denotar un parámetro. Dicho parámetro no posee valor
numérico explı́cito ni factores de 2π a menos que se indique lo contrario. La razón de esto, como se menciona
en el texto y en la Introducción, es convencional e histórica.
1
16
por deformaciones consistirá entonces en la construcción de un álgebra asociativa en Z, con
respecto a algún producto ∗. Dicho producto posee las siguientes propiedades:
1. los coeficientes ck (x) del producto
c(x, h) = a(x, h) ∗ b(x, h) =
∞
∑
hk ck (x)
(3.2)
k=0
dependen de ai , bj , ∂ α ai , ∂ β bj , con i + j + |α| + |β| ≤ k. Esta es la localidad del producto.
2. para el primer término de la serie c0 (x), el producto es igual al producto conmutativo
usual.
3. el producto ∗ satisface el Principio de Correspondencia:
[a, b] = a ∗ b − b ∗ a = −i~{a0 , b0 } + . . . ,
(3.3)
donde {·, ·} es el paréntesis de Poisson de funciones y los puntos suspensivos hacen
referencia a los términos de orden superior en ~.
3.1.
El fibrado formal de álgebras de Weyl
En esta sección tomaremos lo mencionado anteriormente acerca de la cuantización por
deformaciones y realizaremos el estudio mediante el uso del fibrado de álgebras de Weyl.
Como en la parte anterior, consideraremos una variedad simpléctica (M, ω) de dimensión 2n,
de tal manera que la 2-forma ω define una estructura simpléctica en cada espacio tangente
Tx (M ) (con x ∈ M ).
El fibrado formal de álgebras de Weyl Wx es un álgebra asociativa de las series formales
sobre los complejos, cuyos elementos vienen dados por la definición:
a(y, h) =
∑
~k ak,α y α ,
(3.4)
k,|α|≥0
donde ~ es un parámetro formal como mencionamos anteriormente, y ∈ Tx (M ), con coordenadas (y 1 , . . . , y 2n ) y α = α1 , . . . , α2n es un ı́ndice múltiple tal que y α = (y 1 )α1 . . . (y 2n )α2n .
17
Podemos reescribir los elementos de la serie como:
a(y, ~) =
∑
~k ak,µ1 ...µp y µ1 . . . y µp ,
(3.5)
k,p≥0
donde hemos definido el grado de las variables deg y i = 1, deg ~ = 2 y hemos arreglado los
términos en grados crecientes de 2k + |α|.
El producto de los elementos del álgebra viene dado por el producto de Weyl:
(
)
i~ ij ∂ ∂
a(y, ~)b(z, ~) |z=y
a ◦ b = exp − ω
2
∂y i ∂z j
)k
∞ (
∑
i~
1 i1 j1
∂ka
∂kb
ω . . . ω ik jk i1
=
−
,
ik ∂z j1 . . . ∂z jk
.
2
k!
∂y
.
.
∂y
k=0
(3.6)
que es asociativo e independiente de la base elegida para el espacio tangente. Estas álgebras
Wx serán las fibras del Fibrado de Álgebras Formales de Weyl W que será el resultado de
∪
la unión de todas las fibras W = x∈M Wx . Es sencillo verificar que el centro de C ∞ (W )
estará conformado por todas aquellas secciones que no tengan coordenadas y y, por lo tanto,
serán series de la forma 3.1. De esta manera podemos ver que el centro de C ∞ (W ) puede
identificarse con el espacio lineal Z que mencionábamos al principio del presente capı́tulo.
Podemos construir q-formas diferenciales en M con valores en W como secciones del
fibrado W ⊗ Λq definida por la serie formal:
a(x, y, ~) =
∑
~k ak,i1 ...ip ,j1 ...jq (x) y i1 . . . y ip dxj1 ∧ · · · ∧ dxjq ,
(3.7)
k,p≥0
donde los ak,i1 ...ip ,j1 ...jq (x) son tensores covariantes simétricos en los ı́ndices i1 . . . ip y antisimétricos en los ı́ndices j1 . . . jq dependiendo del punto en M . Las q-formas constituyen un
álgebra C ∞ (W ⊗ Λ∗ ) bajo el producto de Weyl y el producto externo de formas diferenciales
(los elementos dxi conmutan con los y i ). Las 0-formas serán secciones que simplemente se
reducen a las series formales:
a(x, y, ~) =
∑
k,|α|≥0
~k ak,α (x)y α ,
(3.8)
18
con ak,α (x) tensores covariantes simétricos en M . El corchete entre dos formas a ∈ W ⊗ Λq1
y b ∈ W ⊗ Λq2 tiene la forma:
[a, b] = a ◦ b − (−1)q1 q2 b ◦ a.
(3.9)
Las formas centrales que mencionamos anteriormente quedan definidas entonces como
aquellas para las cuales el corchete 3.9 sea nulo. El centro entonces estará conformado por
todas las formas que no contienen y’s. Podemos entonces inferir una proyección al centro al
fijar todas las coordenadas y a cero; denotaremos entonces la proyeccion σ(a) con a ∈ C ∞ (W )
como
σ(a) = a(x, 0, ~).
(3.10)
Es usual a este nivel de la discusión construir operadores que nos permitirán subir o bajar
el grado de las formas diferenciales:
δ : C ∞ (Wp ⊗ Λq ) → (Wp−1 ⊗ Λq+1 )
δ ∗ : C ∞ (Wp ⊗ Λq ) → (Wp+1 ⊗ Λq−1 ),
estos operadores respectivamente suben y bajan los grados de cada uno de los términos de
las series formales. Estos operadores cumplen con las siguientes reglas:
δ 2 = (δ ∗ )2 = 0,
δ(a ◦ b) = δ(a) ◦ b + (−1)q a ◦ δ(b), con a ∈ Λq
a = δδ −1 + δ −1 δa + a00 .
En esta última regla, apq denota la parte homogénea de grado p en las y y grado q en
las dx y definimos el operador δ −1 apq =
1
δ ∗ apq
p+q
con δ −1 a00 = 0. La última relación es
también análoga a la descomposición Hodge–De Rham con la salvedad de que el operador δ
es puramente algebráico.
Para definir conexiones en el fibrado de Weyl uno debe recordar que existe una conexión
sobre cualquier variedad simpléctica sin torsión y que preserve la estructura simpléctica (cf.
19
Apéndice B):
∂k ωij − ωnl Γnmk − ωkn Γnml = 0.
(3.11)
Si usamos coordenadas de Darboux (en las cuales la 2-forma simpléctica tiene coeficientes
constantes) es fácil verificar que los sı́mbolos Γijk son completamente simétricos, lo que nos
permite construir una conexión en el fibrado W ⊗ Λ∗ , mediante su acción en elementos del
espacio de series formales C ∞ (W ⊗ Λ∗ ):
∇a = dxi ∧ ∇i a,
(3.12)
que en coordenadas de Darboux queda reducido a:
i
∇a = da + [Θ, a],
~
con Θ = 1/2 Γijk y i y j dxk y d = dxi ∧
(3.13)
∂
.
∂xi
Las propiedades de la conexión simpléctica en el fibrado de Weyl son:
∇(a ◦ b) = (∇a) ◦ b + (−1)q a ◦ (∇b), para a ∈ Λq ,
para algún ϕ ∈ Λq , ∇(ϕ ∧ a) = dϕ ∧ a + (−1)q ϕ ∧ ∇a.
Es posible construir conexiones más generales D en el fibrado, si agregamos a la definición
anterior una 1-forma γ globalmente definida en la variedad con valores en W ,
i
Da = ∇a + [γ, a].
~
(3.14)
De esto se puede definir la curvatura de Weyl como:
Υ = R + ∇γ +
i
[γ, γ],
2~
(3.15)
donde R es la curvatura asociada con la conexión ∇, tal que satisface la identidad de Bianchi
i
DΥ = ∇Υ + [γ, Υ] = 0.
~
(3.16)
20
Adicionalmente, para cualquier sección a ∈ C ∞ (W ⊗ Λ∗ ) se puede verificar que
D2 a =
i
[Υ, a].
~
(3.17)
Las transformaciones de calibre infinitesimales sobre elementos de C ∞ (W ⊗ Λ∗ ) se expresan
como automorfismos dados por a → a+[a, λ], con λ ∈ C ∞ (W ⊗Λ∗ ) infinitesimal. Ası́ entonces
las transformaciones de calibre para las conexiones D quedan:
D → D + Dλ
3.2.
3.2.1.
Da → Da + [Da, λ].
(3.18)
Subálgebras abelianas y el producto de Moyal
La subálgebra Abeliana
Pasaremos ahora a construir conexiones Abelianas en el fibrado de Weyl, lo que luego
nos permitirá encontrar una relación entre el centro y la subálgebra Abeliana del fibrado de
Weyl. Esto más adelante llevará a la obtención del producto de Moyal mediante la proyección
3.10. Una conexión Abeliana será aquella para la cual su curvatura de Weyl será una forma
central en C ∞ (W ⊗ Λ∗ ), esto es, DA será conexión Abeliana si para todo a ∈ C ∞ (W ⊗ Λ∗ )
se cumple que:
2
DA
a=
i
[Ω, a] = 0.
~
(3.19)
Un ejemplo de conexión Abeliana puede expresarse como:
i
DA a = ∇a + [ωij y i dxj + r, a],
~
(3.20)
donde ∇ es una conexión simpléctica fija y r es una 1-forma globalmente definida sobre el
fibrado que cumple δ −1 r = 0 y deg r ≥ 3. Estas condiciones se obtienen primero mediante el
uso de la decomposición Hodge-De Rham que encontramos al estudiar las propiedades de los
operadores δ y δ ∗ para luego emplear el hecho de que r ∈ C ∞ (W ⊗ Λ1 ) para conseguir que
r00 = 0 y r = δ −1 δr.
La subálgebra Abeliana será el conjunto WA = {a ∈ W |DA a = 0} asociado a la conexión
21
DA . Puede mostrarse adicionalmente que para cualquier a0 ∈ Z existe una sección abeliana
única tal que σ(a) = a0 . Esto puede verificarse al notar que la definición de los elementos de
la subálgebra Abeliana implica que estos son de la forma:
1
1
1
a = a0 + ∂i a0 y i + ∂i ∂j a0 y i y j + ∂i ∂j ∂k a0 y i y j y k − Rijkl ω lm ∂m a0 y i y j y k + . . .
2
6
24
(3.21)
Si el tensor de curvatura es nulo, entonces las iteraciones nos permiten construir una expansión explı́cita en términos de a0 :
a=
∞
∑
1
(∂i1 . . . ∂ik a0 )y i1 . . . y ik .
k!
k=0
(3.22)
Es evidente que si la conexión Abeliana está fija, las secciones planas forman una subálgebra con respecto al producto de Weyl. El mapa de proyección σ : WA → Z es biyectivo y
establece una correspondencia uno a uno entre los elementos de la subálgebra Abeliana y
Z. Llamaremos al mapa inverso σ −1 cuantización por deformaciones. El producto de Weyl ◦
puede ser transportado a Z, lo que nos permite obtener un producto asociativo en el espacio
de funciones sobre la variedad M , explı́citamente:
σ(a ◦ b) = a00 ∗ b00 .
(3.23)
De aquı́ que la subálgebra WA sea el álgebra de los observables cuánticos. Cuando ωij es
constante y la conexión simpléctica es nula obtenemos que el producto ∗ anterior coincide
con el Producto de Moyal globalmente definido en la variedad M .
3.2.2.
El Producto de Moyal
Hemos logrado verificar que al proyectar al centro el producto de Weyl bajo ciertas condiciones se obtiene el producto de Moyal, sin embargo no hemos definido dicho producto ni
hemos enumerado sus propiedades. Para ello exploraremos ciertos elementos de geometrı́a no
conmutativa intentando resumir los aspectos que nos serán útiles más adelante, grosso modo
siguiendo los pasos de [21, 3].
En la geometrı́a no-conmutativa se trabaja con variedades en las que las coordenadas no
22
conmutan. Más allá de lo trivialmente obvia que pueda parecer semejante definición, esto tiene un impacto significativo en la fı́sica que se puede formular en una variedad no-conmutativa.
Una exploración superficial de la fı́sica más básica nos permite encontrar ejemplos de geometrı́a no conmutativa: el espacio de fases de la Mecánica Cuántica satisface relaciones de
conmutación no triviales bien conocidas para variedades descritas por 2n operadores de coordenadas:
[X̂i , P̂j ] = i~δij
[X̂i , X̂j ] = [P̂i , P̂j ] = 0.
(3.24)
El argumento fundamental de la geometrı́a no-conmutativa es que las relaciones usuales de
conmutación para las coordenadas no aplican y se redefinen como
[X̂ µ , X̂ ν ] = iθµν (X̂),
(3.25)
donde θµν = −θνµ y en el lı́mite θ → 0 se recuperan las relaciones de conmutación usuales.
La relación entre el álgebra no conmutativa y el producto de Moyal se puede hacer muy
evidente si consideramos el formalismo de Weyl con el que, al menos tácitamente, hemos
trabajado hasta el momento. En dicho formalismo se construye un mapa entre las funciones
de las variables del espacio de fase f (x, p) y los operadores Ôf (X̂, P̂ ) donde X̂, P̂ serán los
operadores no conmutativos asociados a las correspondientes variables del espacio de fases
clásico.
Si tomamos el caso especial de un espacio de sólo dos variables x1 y x2 con sus operadores
asociados X̂ 1 , X̂ 2 , tales que [X̂ 1 , X̂ 2 ] = θ12 con θ constante y consideramos la transformada
de Fourier de una función f (x1 , x2 )
∫
f˜(ω1 , ω2 ) =
d2 x ei(ω1 x
1 +ω x2 )
2
f (x1 , x2 ),
(3.26)
podemos construir un operador Ôf (X̂ 1 , X̂ 2 ):
1
Ôf (X̂ , X̂ ) =
2π
1
con U (ω1 , ω2 ) = e−i(ω1 x̂
1 +ω x̂2 )
2
2
∫
d2 ω U (ω1 , ω2 )f˜(ω1 , ω2 );
(3.27)
. Este mapa define la correspondencia entre funciones del espa-
23
cio de fases y operadores.
Ahora trataremos de determinar la función correspodiente al operador Ôf Ôg que en general no será igual al operador Ôg Ôf . Esperaremos, al construir el producto, algún tipo
de deformación que surja a partir de las modificaciones que hemos introducido con la no
conmutatividad
∫
1
Ôf Ôg =
d2 α d2 β U (α1 , α2 ) U (β1 , β2 ) f˜(α1 , β1 )g̃(α2 , β2 )
4
(2π)
∫
i
1
12
d2 α d2 β U (α1 + β1 , α2 + β2 ) e− 2 (α1 β2 −α2 β1 )θ f˜(α1 , β1 )g̃(α2 , β2 ),
=
4
(2π)
(3.28)
donde hemos empleado la fórmula Baker-Campbell-Haussdorff en el producto de exponenciales. Tras algunas manipulaciones y cambios de variables podemos conseguir el producto
de operadores que deseamos
1
Ôf Ôg =
(2π)4
∫
i
γ1
γ2
γ1
γ2
d2 γ d2 δ U (γ1 , γ2 ) e 2 (γ1 δ2 −δ1 γ2 ) f˜( + δ1 , + δ2 ) g̃( − δ1 , − δ2 ).
2
2
2
2
(3.29)
Podemos definir entonces el producto de Moyal entre dos funciones f y g en R2n de la
siguiente manera:
i
(f ∗ g)(x) = e 2 (θ
ij ∂
′
i ∂j )
f (x) g(x′ ) |x=x′
(3.30)
En el espacio de momenta se obtiene la siguiente fórmula para la transformada de Fourier
del producto anterior
f]
∗ g(γ1 , γ2 ) =
1
(2π)2
∫
i
γ1
γ2
γ1
γ2
d2 δ e 2 (γ1 δ2 −δ1 γ2 ) f˜( + δ1 , + δ2 ) g̃( − δ1 , − δ2 ).
2
2
2
2
(3.31)
Empleando este resultado y 3.28 conseguimos claramente que Ôf Ôg = Ôf ∗g , con lo que
podemos ver la relación orgánica entre el producto de Moyal y la no-conmutatividad que
encontramos en la Mecánica Cuántica, expresada en el formalismo de operadores de Weyl. Si
tomamos el caso particular en que las funciones f y g sean puntos del espacio xi , xj podemos
conseguir el álgebra de coordenadas
xi ∗ xj − xj ∗ xi = [xi , xj ]∗ = iθij .
(3.32)
24
Hemos recuperado las relaciones de conmutación con las que iniciamos esta discusión
con estos nuevos conmutadores con el producto deformado y obtuvimos una definición del
producto de Moyal. El producto definido de esta manera también puede obtenerse mediante
una deformación del álgebra de funciones mediante un parámetro ~, como pudimos ver antes.
A continuación enumeramos algunas propiedades del producto de Moyal [21]:
1. El producto de Moyal entre funciones exponenciales cumple la regla de Baker-CampbellHaussdorff aplicada a funcionales
eikx ∗ eiqx = ei(k+q)x e− 2 (kθq)
i
kθq ≡ k µ q ν θµν .
(3.33)
2. La representación del producto en el espacio de momenta es
1
(f ∗ g)(x) =
(2π)8
∫
i
d4 k d4 q f˜(k)g̃(q)e− 2 (k+q)x .
(3.34)
3. La conmutatividad se puede recuperar mediante la integración
∫
∫
d x (f ∗ g)(x) =
4
∫
d x (g ∗ f )(x) =
4
d4 x (f · g)(x),
(3.35)
esto se debe en parte a que las correciones en 3.30 don derivadas totales y por otra
debido a la antisimetrı́a de θµν .
4. La relación anterior implica que la integración del producto es cı́clica:
∫
∫
d x (f1 ∗ f2 ∗ · · · ∗ fn ) =
4
d4 x (fn ∗ f1 ∗ · · · ∗ fn−1 ).
(3.36)
5. Por último, bajo la conjugación compleja se tiene que, debido a la antisimetrı́a de θµν
(f ∗ g) = ḡ ∗ ∗ f¯∗ .
(3.37)
Hemos logrado entonces explorar las propiedades del producto de Moyal como consecuencia de la cuantización por deformaciones en el contexto del fibrado de álgebras de Weyl.
25
Ahora debemos considerar las modificaciones necesarias en el programa de Fedosov cuando
se agrega al sujeto de estudio variedades con coordenadas grassmanianas, la forma de ampliar
este mecanismo será entonces el tema a tratar en el capı́tulo siguiente.
26
Capı́tulo IV
Producto de Weyl para formas supersimplécticas
En este capı́tulo pasaremos a unir las dos lı́neas de discusión que hemos seguido hasta
al momento: supersimetrı́a y sus representaciones y la cuantización por deformaciones de
Weyl. Para lograr esto seguiremos el camino marcado por [16, 13], en los cuales se generaliza
el mecanismo del fibrado de Weyl al superespacio, lo que lleva a estudiar deformaciones de
álgebras de supercampos. Esto permite extender las Teorı́as de Campos Supersimétricas y lo
discutiremos en detalle en el capı́tulo siguiente. Debemos entonces darnos una supervariedad
M con una estructura simpléctica asociada ω y a partir de esto seguiremos de cerca el mecanismo de Weyl redefiniendo los conceptos que estudiamos en el capı́tulo III para finalmente
obtener un nuevo producto de Weyl para superformas.
4.1.
Supervariedades simplécticas: definiciones y propiedades
Consideraremos una supervariedad como un espacio Rp|q , esto es, un espacio topológico
Rp al que se han agregado haces1 C ∞ [θ1 , . . . , θ q ] de superálgebras generadas por la base de
Grassmann {θ1 , . . . , θ q }. A través de todo nuestro análisis representaremos el conjunto de
1
Un prehaz F de objetos en una categorı́a C, sobre el espacio X, es dado por los datos siguientes:
para cada conjunto abierto U en X, un objeto F (U ) en C;
para cada inclusión de conjuntos abiertos V ⊂ U , un morfismo F (U ) → F (V ) en la categorı́a C que
será la restricción de U a V . Esta restricción es tal que para cada conjunto abierto U en X, se tiene
que la restricción de U a U es la identidad y que si aplicamos la restricción de F (U ) a F (V ) y entonces
a F (W ) es lo mismo que la restricción de F (U ) directamente a F (W ).
Los haces son prehaces sobre los cuales las secciones sobre conjuntos abiertos pueden ser pegadas para dar
secciones sobre abiertos más grandes.
27
coordenadas del superespacio mediante la notación:
z A = (xm , θα̂ ),
m = 1, . . . , p
α̂ = 1, . . . , q;
acá entonces empleamos los ı́ndices en mayúsculas para denotar coordenadas sobre todo el superespacio, los ı́ndices latinos minúsculos denotarán las direcciones usuales del espacio-tiempo
y finalmente los ı́ndices griegos denotan las coordenadas de Grassmann. Las coordenadas
Grassmanianas cumplen las relaciones de conmutacion bien conocidas:
{θα̂ , θβ̂ } = 0,
α̂, β̂ = 1, . . . , q.
(4.1)
La geometrı́a diferencial sobre supervariedades es similar a la usual para espacios con coordenadas conmutantes, con definiciones para superfibrados vectoriales, conexiones y acciones
de supergrupos de Lie (para un breve esbozo de estas definiciones y propiedades el lector
puede revisar la referencia [19]). La diferencia más importante será la existencia de formas
diferenciales de grado arbitrariamente grande, lo que hace difı́cil una definición apropiada de
la integración.
Un superfibrado vectorial de rango p|q sobre M es un haz de supermódulos V con álgebras OM localmente libres de dimensión p|q. Un ejemplo que consideraremos será el fibrado
tangente de una supervariedad, que puede ser construido a partir de derivaciones de la superálgebra OM que satisfacen:
D(f g) = (Df )q + (−1)p(D)p(f ) f (Dg),
∀f, g ∈ OM ,
(4.2)
donde p indica el tipo de objeto involucrado (0 para los pares, 1 para los impares). Este
supermódulo particular, definido a partir de las derivaciones del álgebra, es un fibrado vectorial, el fibrado tangente T (M) cuya base local serán objetos pares
∂
∂xm
e impares
∂
.
∂θα̂
Las
secciones del fibrado tangente serán campos vectoriales y localmente se escriben:
Y = Y A eA = y m
∂
∂
+ η α̂ α̂ ;
m
∂x
∂θ
(4.3)
28
el conjunto de los campos vectoriales es una superálgebra de Lie.
El fibrado cotangente Ω1M de la supervariedad será el dual de T (M), cuya base será entonces dz A = (dxm , dθα̂ ). Se puede definir el dual mediante un producto interno ⟨·, ·⟩ :
T (M) ⊗ Ω1M → OM , que cumple:
⟨f Y, gω⟩ = (−1)p(Y )p(g) f g⟨Y, ω⟩
∀f, g ∈ OM ,
(4.4)
que en la base local se puede obtener de la siguiente manera:
⟨
∂
, dz B
∂z A
⟩
= δAB .
(4.5)
El producto de formas se define como:
dz A ∧ dz B = −(−1)p(A)p(B) dz B ∧ dz A .
(4.6)
Esta definición se puede extender hasta poder construir un producto exterior, lo que permite
conseguir la superálgebra exterior asociada al conjunto de las formas en la supervariedad.
La derivada d : OM → Ω1M definida como
⟨Y, df ⟩ = Y (f ),
(4.7)
se extiende a la derivada exterior d = dz A ∂z∂A en la superálgebra exterior y satisface:
d2 = 0,
d(ωχ) = dω ∧ χ + (−1)p ω ∧ dχ,
ω ∈ ΩpM .
(4.8)
A partir de este punto tomaremos que la dimensión de la supervariedad será tal que
p = 2n y q = 4N . En 4|4 dimensiones (n = 2, N = 1) tendremos que A = (m, α, α̇),
z A = (xm , θα , θ̄α̇ ) con α = 1, 2 y α̇ = 1̇, 2̇.
Una supervariedad simpléctica será una supervariedad 2n|4N -dimensional con una 2forma cerrada y no degenerada ω = ωAB dz A ∧ dz B , que será la superforma simpléctica. El
teorema de Darboux nos garantiza que existen ciertas coordenadas locales en la supervariedad
29
tales que la superforma simpléctica puede escribirse a bloques:


 ωmn 0 
ωAB = 

0
ωα̂β̂
(4.9)
donde las reglas de simetrı́a de las partes pares e impares quedan explı́citas: ωmn = −ωnm y
ωα̂β̂ = ωβ̂ α̂ . Esta superforma simpléctica puede ser empleada para subir o bajar ı́ndices.
Es bien sabido que las supervariedades simplécticas admiten una conexión afı́n sin torsión
que preserva la superforma simpléctica, esta conexión será la conexión supersimpléctica, que
denotaremos por ∇ y tendrá coeficientes ΓA
BC que están definidos mediante su actuación sobre
la base del espacio tangente:
∇eA eB = ∇A eB = ΓC
AB eC ,
(4.10)
y los coeficientes se obtienen mediante las propiedades de la derivada covariante:
∇Y1 (ω(Y2 , Y3 )) = (∇Y1 ω)(ω(Y2 , Y3 )) + ω(∇Y1 Y2 , Y3 ) + ω(Y2 , ∇Y1 Y3 ).
(4.11)
Las condiciones de que la torsión sea nula en el superespacio pueden obtenerse de la
definición en términos de los campos vectoriales Y1 , Y2
T = ∇Y1 Y2 − ∇Y2 Y1 − [Y1 , Y2 ].
(4.12)
De esta definición se desprenden las siguientes componentes:
A
A
Tmn
= ΓA
mn − Γnm
A
TmAα̂ = ΓA
mα̂ − Γα̂m
(4.13)
− ΓA
.
Tα̂Aβ̂ = ΓA
α̂β̂
β̂ α̂
Si deseamos una conexión afı́n sin torsión, entonces debemos igualar la relación 4.11 a cero
para algún vector X, esto es, ∇X ω(Y1 , Y2 ) = 0. De esta condición se obtienen las siguientes
30
condiciones necesarias para los coeficientes de la conexión supersimpléctica 4.10:
ωkl Γkmn + ωnk Γkml = 0
ωα̂β̂ Γβ̂mn − ωnk Γkmα̂ = 0
ωα̂β̂ Γβ̂δ̂γ̂ + ωγ̂ β̂ Γβ̂δ̂α̂ = 0
(4.14)
ωmn Γnα̂β̂ − ωβ̂ δ̂ Γδ̂α̂m = 0.
Siguiendo las componentes de la torsión podemos encontrar que los componentes de la
conexión simpléctica son:
Γlnm = Γnlm
Simétrico bajo todos los ı́ndices.
Γlα̂n = Γnα̂l
Simétrico bajo todos los ı́ndices.
Γlα̂β̂ = Γβ̂ α̂l
Antisimétrico bajo permutaciones de los dos primeros,
simétrico bajo permutaciones de los dos últimos.
Γγ̂ α̂β̂ = −Γβ̂γ̂ α̂
4.2.
Antisimétrico bajo todos los ı́ndices.
Fibrado de superálgebras de Weyl y un superproducto asociativo
En esta sección tomaremos lo que hemos desarrollado de la geometrı́a del fibrado de
álgebras de Weyl y lo ampliaremos al superespacio. En el proceso encontraremos un nuevo producto no(anti)conmutativo que generaliza al producto de Weyl y que terminará (al
proyectarlo al centro) por generalizar el producto de Moyal para el superespacio. Empezaremos con una supervariedad simpléctica (M, ω) localmente isomórfica a R4|4 como nuestro
superespacio simpléctico N = 1. Usaremos las coordenadas locales z A = (xm , θα , θ̄α̇ ) para el
espacio base y Y A = (y m , η α , η̄ α̇ ) para el tangente. Convenientemente elegimos coordenadas
tales que la 2-forma simpléctica ωAB tenga componentes diagonales a bloques como en 4.9.
Una superálgebra de Weyl Wz , definida localmente sobre el superespacio tangente Tz (M)
es una superálgebra asociativa sobre C, construida de forma tal que sus elementos serán series
de potencia formales en torno a un parámetro ~
f (Y, ~) =
∑
k,p
~k fk,A1 ...Ap Y A1 . . . Y Ap .
(4.15)
31
Si aprovechamos las propiedades de los números de Grassmann y recordamos que los objetos de la serie formal serı́an entonces supercampos, podemos reescribir los elementos de la
superálgebra como:
f (Y, ~) = ϕ(y m , ~) + η α ξα (y m , ~) + . . .
(4.16)
y cada uno de los campos de componente ϕ, ξ α , etc. son elementos del álgebra usual de Weyl
ϕ(y m , ~) =
∑
~k ϕk,A1 ...Ap Y A1 . . . Y Ap .
(4.17)
k,p
Los campos de componentes de la ecuación 4.16 tienen ı́ndices tensoriales o espinoriales y
paridad de Grassman que dependerá de los coeficientes de la serie formal inicial. Otra forma
de escribir la serie formal puede conseguirse al tomar la serie formal en las coordenadas pares:
f (Y, ~) =
∑
~k fk,m1 ...mp y m1 . . . y mp ,
(4.18)
k,p
donde los coeficientes son supercampos de las coordenadas impares del espacio tangente.
El fibrado vectorial asociado a los haces de superálgebras de Weyl será el fibrado de
superálgebras de Weyl W, cuyas secciones son funciones del superespacio simpléctico base:
f (z, Y, ~) =
∑
~k fk,A1 ...Ap (z) Y A1 . . . Y Ap .
(4.19)
k,p
De igual manera es posible reescribir las secciones de forma similar a los casos anteriores
siempre que se tome en cuenta que los coeficientes serán dependientes de las coordenadas del
espacio base fk,m1 ...mp (z).
La superálgebra de Weyl queda definida entonces partiendo del siguiente producto:
(
∂
∂
i~
f } g = exp − ω M N
M
2
∂Y ∂ Ỹ N
)
f (Y, ~)g(Ỹ , ~)|Ỹ =Y .
(4.20)
Para preservar el grado afirmamos que deg η = 1. Es importante notar que en este caso
el producto actúa sobre objetos en el superespacio tangente, por lo que evidentemente son
preservadas las simetrı́as del espacio base. En coordenadas de Darboux la estructura de
32
Poisson se hace diagonal a bloques como mencionábamos y esto nos permite separar la suma
en la exponencial en sus partes bosónica y fermiónica, con lo que conseguimos dos operadores
bilineales que conmutan entre si
[
]
∂
∂
mn ∂
ab ∂
ω
,ω
= 0;
∂y m ∂ ỹ n
∂η a ∂ η̃ b
(4.21)
y esto aplica a cualesquiera otra combinación de ı́ndices; por ejemplo, los términos de la
forma ω ma son nulos debido a nuestra selección de coordenadas que, aunque particular, no
resta generalidad a nuestro tratamiento.
Lo anterior nos permite emplear la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff para separar la
exponencial 4.20 en dos productos anidados: el primero será el producto de Weyl usual 3.6
aplicado al espacio tangente, mientras que el segundo será una extensión para las coordenadas
fermiónicas:
(
i~
∂ ∂
f ⃝ g = exp − ω ab a b
2
∂η ∂ η̃
)
f (Y, ~)g(Ỹ , ~)|Ỹ =Y .
(4.22)
A pesar de que ambas exponenciales deben tomarse como series formales, en el caso de
las coordenadas fermiónicas las propiedades de los números grassmanianos truncan la serie,
por lo que es posible reinterpretar el producto f } g en términos de la serie formal para las
coordenadas bosónicas pero embebiendo ahora el producto para las coordenadas fermiónicas,
a saber
)k
∞ (
∑
∂kf
i~
1 m1 n1
∂kg
f }g =
−
ω
. . . ω mk nk
⃝
.
2
k!
∂y m1 . . . ∂y mk
∂ ỹ n1 . . . ∂ ỹ nk
k=0
(4.23)
Es bien sabido que el producto de Weyl en el caso bosónico es asociativo y, al incluir
las partes bosónica y fermiónica deberı́amos conseguir un producto que mantenga esta caracterı́stica. Dado que el producto } es covariante, es posible probar que la asociatividad
está garantizada. Si trabajamos en coordenadas de Darboux y expandimos la parte que
deseamos estudiar, i.e. f } (g } h). Para ver esto verificaremos la asociatividad para el caso
33
de sólo dos coordenadas fermiónicas2 Y A = (y m , η 1 , η 2 ), que en estas condiciones se escribe
(
i~
f ⃝ g = fg + −
2
)
αβ
p(f )
ω (−1)
1
∂α f ∂β g −
2
(
i~
−
2
)2
ω αβ ω γδ ∂αγ f ∂βδ g,
(4.24)
donde usamos la notación α = 1, 2 para los ı́ndices de las variables impares y denotaremos la
derivada ∂α =
∂
.
∂η α
Es trivial ver que la serie es truncada a segundo orden, lo que simplifica
la verificación directa de la asociatividad:
(f ⃝ g) ⃝ h = f gh+
(
)
[
]
i~
+ −
ω αβ (−1)p(f g) ∂α f g∂β h + (−1)p(g) f ∂α g∂β h + (−1)p(f ) ∂α f ∂β gh −
2
(
)2
1
i~
−
−
ω αβ ω γδ [∂αγ f g∂βδ h + f ∂αγ g∂βδ h + ∂αγ f ∂βδ gh−
2
2
− 2(−1)p(f g) ∂α f ∂βγ g∂δ h − 2(−1)p(g) ∂γα f ∂β g∂δ h + (−1)p(f ) ∂α f ∂g ∂βδ h]
= f ⃝ (g ⃝ h). (4.25)
Si se desea obtener el producto para una cantidad mayor de variables impares (necesario para
teorı́as con supersimetrı́a extendida), puede obtenerse al anidar consecutivamente productos
de la forma 4.23. Esto trae como resultado un producto asociativo que quedarı́a truncado al
orden 4N . Hemos conseguido entonces que el producto } es asociativo en general.
La superálgebra de Weyl puede extenderse para incluir formas diferenciales sobre la variedad
f (z, Y, ~) =
∑
~k fk,A1 ...Ap ,B1 ...Bq Y A1 . . . Y Ap dz B1 ∧ · · · ∧ dz Bq .
(4.26)
k,p
Estas formas contituyen un álgebra cuyo producto será la multiplicación definida con el superproducto exterior de formas y el producto de Weyl aplicado a las variables del superespacio
tangente.
2
Esta condición nos será de interés puesto que estudiaremos las aplicaciones en el superespacio quiral que
presenta precisamente este tipo de coordenadas.
34
El conmutador de dos superformas f y g de órdenes q1 y q2 respectivamente es:
[f, g] = f } g − (−1)q1 q2 (−1)p(f )p(g) g } f.
(4.27)
Una superforma central será tal que para cualquier g ∈ W ⊗ Ω∗ , [f, g] = 0. En el capı́tulo
III vimos como el producto de Weyl estaba relacionado con deformaciones del espacio base
al verificar las relaciones entre las funciones definidas sobre la variedad base y la subálgebra
abeliana. Pudimos hallar en ese momento que la deformación se hace manifiesta al encontrar
el producto de Moyal cuando empleábamos coordenadas de Darboux. Puesto que deseamos
encontrar el análogo para esta deformación en el superespacio, pasamos ahora a definir la
conexión abeliana.
4.2.1.
Deformaciones de la subálgebra Abeliana
Una conexión sobre W será Abeliana si para cualquier sección f ∈ W ⊗ Ω∗ se verifica que
2
DA
f = 0.
(4.28)
Siguiendo el mecanismo de Fedosov “elevamos” la conexión supersimpléctica al superfibrado
de Weyl, consiguiendo una derivada covariante sobre C ∞ (W ⊗ Ω∗ )
Df = dz A ∧ ∇A f ;
(4.29)
aplicando esta conexión al superproducto y al conmutador encontramos que tiene las siguientes propiedades:
D(f } g) = Df } g + (−1)q1 +p(f ) f } Dg,
(4.30)
D[f, g] = [Df, g] + (−1)q1 +p(f ) [f, Dg].
(4.31)
Usamos el mismo razonamiento para construir los operadores δ y δ ∗ que suben y bajan
los rangos de las superformas diferenciales (cumpliendo funciones análogas a las de una
35
superderivada exterior y la contracción de ı́ndices):
δf = dz A ∧
∂f
∂Y A
δ ∗ f = iY A ∧
∂f
.
∂z A
(4.32)
Las propiedades de estos objetos pueden obtenerse al estudiar su acción sobre cada uno
de los elementos de la serie formal 4.26
δ 2 = 0,
(4.33)
(δ ∗ )2 = 0,
(4.34)
δ(f } g) = δf } g + (−1)p(f )+q f } δg,
(4.35)
f = δδ −1 f + δ −1 δf + f00 ;
(4.36)
los objetos δ −1 y f00 están definidos de la misma manera que en el capı́tulo III.
Con todos estos instrumentos podemos definir la superconexión Abeliana DA a partir de
la superconexión simpléctica siguiendo el camino de Fedosov [18, 16]
i
DA · = D · + [(ωAB Y A Y B + r), ·].
~
(4.37)
En la ecuación anterior, r ∈ C ∞ (W3 ⊗ Ω1 ) tal que δ −1 r = 0. La prueba de esas condiciones
sigue muy de cerca la de Fedosov y puede revisarse en [16]. A partir de esto podemos trabajar
con la conexión Abeliana más sencilla posible:
DA f = Df − δf.
(4.38)
Ahora que tenemos la conexión abeliana la empleamos para encontrar los elementos de
la subsuperálgebra Abeliana WA = {f ∈ W : DA f = 0}, lo que nos llevarı́a a encontrar
una relación entre los elementos de esta subsuperálgebra y las funciones del espacio base,
con lo que encontramos una relación entre el superproducto de Weyl y una deformación del
superespacio. Si tomamos una sección f = f (x, θ, y, η) ∈ C ∞ (W) y nos detenemos a explorar
36
la subsuperálgebra Abeliana, comenzamos por tomar una 0-forma f
δf = (DA + δ)f,
(4.39)
esto resulta en que la descomposición Hodge-De Rham 4.36 queda ahora como:
f = f |y=η=0 + δ −1 (DA + δ)f,
(4.40)
donde f |y=η=0 = f (x, θ, 0, 0) y recordando que δ −1 aumenta el grado, siguiendo la prueba por
iteraciones de Fedosov se verifica que la solución es única.
Si únicamente consideramos coordenadas bosónicas como hicimos en el capı́tulo anterior,
vemos que la deformación inducida por el producto de Weyl en coordenadas de Darboux nos
lleva al producto de Moyal. Si ahora consideramos las modificaciones que hemos realizado
para expandir el producto de Weyl al superespacio, conseguimos que si nos damos una proyección al centro ς : WA → C ∞ (M)[~] termina por llevar al superproducto } a un producto
no(anti)conmutativo ⋆
ς(f } g) = f00 ⋆ g00 ,
(4.41)
aquı́ f y g son supercampos que dependen tanto de las variables del superespacio base como
de las del tangente, mientras que f00 y g00 son también supercampos pero que no tienen
términos del tangente.
Hemos conseguido generalizar el producto de Weyl y el mecanismo de Fedosov a supervariedades simplécticas y hemos hallado que deformaciones del producto de Weyl en el
espacio tangente terminan por inducir deformaciones en el superespacio base que extienden
el producto de Moyal dando como resultado un producto no(anti)conmutativo [22]. En el
próximo capı́tulo emplearemos este superproducto en la teorı́a del supercampo quiral para
entender que consecuencias trae la deformación que hemos introducido en el espacio para la
formulación de una teorı́a conocida.
37
Capı́tulo V
Una aplicación: El supercampo escalar
El paso siguiente en nuestro programa de investigacion será el emplear el nuevo producto
deformado que hemos construido para ver los cambios que se producen en las Teorı́as de
Campo Supersimétricas usuales. Nos restringiremos, por razones que se harán obvias más
adelante, al estudio de supercampos quirales y SUSY N = 1. Comenzaremos por hacer
explı́cito el superproducto del capı́tulo IV bajo las condiciones expuestas en las partes finales
de [16], luego estudiaremos las Teorı́as de Campos Supersimétricas [19] y finalmente uniremos
ambos métodos y verificaremos los cambios introducidos por las deformaciones.
5.1.
Deformaciones a partir del superproducto de Weyl
En el capı́tulo anterior logramos una extensión supersimétrica del producto de Weyl y
pudimos ver como una deformación del producto en el espacio tangente inducı́a una deformación del producto en el espacio base. Donde la teorı́a sin supersimetrı́a se obtenı́a el
bien conocido producto de Moyal, en la teorı́a supersimétrica encontramos en producto ⋆
no(anti)conmutativo. Para sernos de utilidad debemos ahora estudiar el comportamiento
de los supercampos con este nuevo producto; esto lo lograremos siguiendo el programa de
Q-deformaciones en [16].
Estudiaremos funciones f ∈ C ∞ (W ⊗ Ω0 ) cuyos coeficientes serán supercampos quirales,
aquellos definidos por la relación D̄α̇ f = 0, donde D̄α̇ es la derivada supersimétrica en el
espacio base. Puesto que deseamos encontrar noanticonmutatividad obviaremos los términos
38
ω mn y ω α̇β̇ , lo que nos lleva a la siguiente formulación del producto de Weyl
(
i~
f } g = f ⃝ g = fg + −
2
)
αβ
p(f )
ω (−1)
1
∂α f ∂β g −
2
(
i~
−
2
)2
ω αβ ω γδ ∂αγ f ∂βδ g.
(5.1)
El paso siguiente es entonces construir la subálbegra Abeliana, entonces la conexión será:
DA f = Df − δf = Df +
]
i[
ωαβ η α dθβ , f .
~
(5.2)
Ahora construimos la subálbegra con las soluciones de DA f = 0, la conexión simpléctica
puede construirse a partir del generador super Poincaré
D = dθα ∧ Qα ,
(5.3)
y, en coordenadas quirales, podemos escribir la conexión Abeliana de la siguiente manera:
DA f = dθα ∧
∂f
∂f
+ ω αγ ωαβ dθβ γ .
α
∂θ
∂η
(5.4)
Si nos enfocamos en los supercampos pares en el sentido de Grassmann, entonces tendremos que la forma de los elementos del fibrado será
f = f0 + ~f1α η α + ~2 f2αβ η αβ .
(5.5)
Aplicando la condición Abeliana se obtienen un conjunto de ecuaciones
∂f0
+ ~ω αβ ωαγ f1β = 0,
∂θγ
∂f1α
+ ~ω δβ ωδγ 2f2βα = 0,
∂θγ
∂f2
= 0.
∂θγ
(5.6)
Empleando las propiedades de la forma simpléctica y las ecuaciones diferenciales anteriores
podemos encontrar la forma general de un elemento de la subálgebra Abeliana y que serán
39
los objetos de nuestra formulación de la teorı́a de campos quirales
1
f = f0 − Qα f0 η α + Qα Qα f0 (η β ηβ ),
4
(5.7)
con lo que el producto quedará de la siguiente manera:
1
i~
f ⃝ g = f0 g0 − ω αβ Qα f0 Qβ g0 −
2
2
(
i~
−
2
)2
ω 2 Qα Qα f0 Qβ Qβ g0 + O(η).
(5.8)
Al proyectar al centro, vemos que los términos a primer orden en η son eliminados, al igual
que la dependencia de los supercampos en las variables del espacio tangente, con lo que
conseguimos la nueva representacion del producto deformado
σ(f ⃝ g) = f0 ⋆ g0 = (f ⃝ g)|y=η=0 .
5.2.
(5.9)
Teorı́a de supercampo escalar
Hemos ya calculado el producto deformado y hemos verificado su comportamiento en
el espacio base. Ahora analizaremos el cambio que el nuevo producto genera en la teorı́a
de campos supersimétrica. Nos restringiremos a estudiar campos escalares. El supercampo
escalar Φ y su complejo conjugado pueden escribirse de la siguiente manera (en función de
las coordenadas y m = xm + iθσ m θ̄, θ):
Φ =A(y) +
√
2θψ(y) + θθF (y)
1
=A(x) + iθσ m θ̄∂m A(x) + θθθ̄θ̄¤A(x)
4
√
i
+ 2θψ(x) − √ θθ∂m ψ(x)σ m θ̄ + θθF (x),
2
Φ† =A∗ (y) +
√
(5.10)
2θ̄ψ̄(y) + θ̄θ̄F ∗ (y)
1
=A∗ (x) − iθσ m θ̄∂m A∗ (x) + θθθ̄θ̄¤A∗ (x)
4
√
i
+ 2θ̄ψ̄(x) + √ θ̄θ̄θσ m ∂m ψ̄(x) + θ̄θ̄F ∗ (x).
2
(5.11)
40
Siguiendo a [19] nos interesarán los productos Φi Φj , Φi Φj Φk y Φ†i Φj . Estos tienen la forma
Φi Φj =Ai (y)Aj (y) +
√
2θ[ψi (y)Aj + Ai (y)ψj (y)]+
+ θθ[Ai (y)Fj (y) + Aj (y)Fi (y) − ψi (y)ψj (y)]
√
Φi Φj Φk =Ai (y)Aj (y)Ak (y) + 2θ[ψi Aj Ak + ψj Ak Ai + ψk Ai Aj ]+
(5.12)
+ θθ[Fi Aj Ak + Fj Ak Ai + Fk Ai Aj − ψi ψj Ak − ψj ψk Ai − ψk ψi Aj ],
(5.13)
del extenso resultado del producto Φ†i Φj sólo es necesaria la parte multiplicada por θθθ̄θ̄, a
saber:
1
1
Φ†i Φj |θθθ̄θ̄ = Fi∗ Fj + A∗i ¤Aj + ¤A∗i Aj −
4
4
1
i
i
− ∂m A∗i ∂ m Aj + ∂m ψ̄i σ̄ m ψj − ψ̄i σ̄ m ∂m ψj . (5.14)
2
2
2
Ası́ el lagrangeano para el supercampo escalar que estudiaremos tanto en el caso del
producto usual y el producto deformado será:
L=
Φ†i Φj |θθθ̄θ̄
[(
+
1
1
mij Φi Φj + gijk Φi Φj Φk + λi Φi
2
3
]
)
+ c.c. ,
(5.15)
θθ
de aquı́ se consiguen las siguientes ecuaciones de movimiento que permiten eliminar el campo
auxiliar Fi
∂L
∗
= Fk + λ∗k + m∗ik A∗i + gijk
A∗i A∗j = 0
∂Fk∗
∂L
= Fk∗ + λk + mik Ai + gijk Ai Aj = 0.
∂Fk∗
(5.16)
(5.17)
Usando estas relaciones podemos reescribir el lagrangeano para eliminar los campos auxiliares:
1
1
L = i∂m ψ̄i σ̄ m ψi + A∗i ¤Ai − mik ψi ψk − m∗ik ψ̄i ψ̄k −
2
2
− gijk ψi ψj Ak − gijk ψ̄i ψ̄j A∗k − V(Ai , A∗j ), (5.18)
41
donde el potencial V(Ai , A∗j ) = Fk∗ Fk .
5.2.1.
Teorı́a no(anti)conmutativa del supercampo quiral
Ahora estudiaremos el lagrangeano 5.15 empleando el superproducto no(anti)conmutativo,
esto es, estudiaremos el lagrangeano:
L=
Φ†i
[(
} Φj |θθθ̄θ̄ +
1
1
mij Φi } Φj + gijk Φi } Φj } Φk + λi Φi
2
3
)
]
+ c.c. ,
(5.19)
θθ
considerando las restricciones que hemos impuesto en la sección 5.1. Cada uno de los términos
queda entonces:
i~ αβ
ω [(Qα ϕi )(Qβ ϕj )ϕk + Qα (ϕi ϕj Qβ ϕk )] −
2
(
)2
i~
1
− −
{ ω 2 (Qα Qα ϕi )(Qβ Qβ ϕj )ϕk −
2
2
1
− ω γδ ω αβ Qγ (Qα ϕi Qβ ϕj )Qδ ϕk + ω 2 Qγ Qγ (ϕi ϕj )Qδ Qδ ϕk }−
2
( )3 2
i~ ω αβ γ
−
ω Q Qγ [(Qα ϕi )(Qβ ϕj )](Qδ Qδ ϕk ), (5.20)
2
2
ϕi ⃝ ϕj ⃝ ϕk = ϕi ϕj ϕk −
)2
i~
−
ω 2 (Qα Qα ϕi )(Qβ Qβ ϕj ),
2
(
)2
i~ αβ
1
i~
†
†
†
ϕi ⃝ ϕj = ϕi ϕj − ω (Qα ϕi )(Qβ ϕj ) −
−
ω 2 (Qα Qα ϕ†i )(Qβ Qβ ϕj ).
2
2
2
i~
1
ϕi ⃝ ϕj = ϕi ϕj − ω αβ (Qα ϕi )(Qβ ϕj ) −
2
2
(
(5.21)
(5.22)
Necesitamos entonces una representación tanto para los operadores Qα , Qα y para los
supercampos ϕ. Los supercampos quirales y antiquirales tienen una expansión en series de
potencias extremadamente sencilla:
ϕ(x, θ) = A + θψ + θθF
ϕ† (x, θ̄) = A∗ + θ̄ψ̄ + θ̄θ̄F ∗ .
(5.23)
Adicionalmente, es posible representar los operadores de múltiples maneras dependiendo de
42
como parametricemos el superespacio. Las siguientes opciones de parametrizacion [37]
L(1) (x, θ, θ̄) =ei x·P eiθQ eiQ̄θ̄
(5.24)
L(2) (x, θ, θ̄) =ei x·P eiQ̄θ̄ eiθQ ,
(5.25)
que están relacionadas con la parametrización usual mediante las traslaciones en el superespacio:
L(1) (xm − iθσ m θ̄, θ, θ̄) = L(x, θ, θ̄) = L(2) (xm + iθσ m θ̄, θ, θ̄).
(5.26)
Si empleamos la transformación 5.24, las representaciones de los operadores Q y D tienen la
forma
Q(1) =
∂
∂θα
∂
∂
+ 2iθα σαmα̇ m
α̇
∂y
∂ θ̄
∂
∂
= α + 2iθα σαmα̇ m
∂θ
∂y
∂
= − α̇ .
∂ θ̄
(5.27)
Q̄(1) = −
(5.28)
D(1)
(5.29)
D̄(1)
(5.30)
Para la segunda parametrización se pueden encontrar resultados similares. Puesto que los
operadores Q están representados de forma tan sencilla en esta primera parametrización del
superespacio nos ceñiremos a ésta a lo largo de nuestro análisis. Los productos de supercampos
43
que nos interesan quedan entonces escritos de la siguiente manera:
(
ϕi ⃝ ϕj ⃝ ϕk = ϕi ϕj ϕk −
i~
2
)
[ω αβ (∂α ϕi )(∂β ϕj )ϕk +
+ ω γδ [(∂γ ϕi )ϕj (∂δ ϕk ) + ϕi (∂γ ϕj )(∂δ ϕk )]]+
(
)2
ω2
i~
{− (∂ α ∂α ϕi )(∂ β ∂β ϕj )ϕk +
+ −
2
2
+ ω γδ ω αβ [(∂γ ∂α ϕi )(∂β ϕj ) + (∂α ϕi )(∂γ ∂β ϕj )]∂δ ϕk −
−
(
i~
+ −
2
)3
ω2 γ
[(∂ ∂γ ϕi )ϕj (∂ δ ∂δ ϕk ) + (∂γ ϕi )(∂ γ ϕj )(∂ δ ∂δ ϕk )+
2
+ (∂ γ ϕi )(∂γ ϕj )(∂ δ ∂δ ϕk ) + ϕi (∂ γ ∂γ ϕj )(∂ δ ∂δ ϕk )]}+
]
ω 2 αβ [
ω
(∂γ ∂α ϕi )(∂ γ ∂β ϕj )(∂ δ ∂δ ϕk ) + (∂ γ ∂α ϕi )(∂γ ∂β ϕj )(∂ δ ∂δ ϕk ) , (5.31)
2
)2
i~
−
ω 2 (∂ α ∂α ϕi )(∂ β ∂β ϕj ),
2
(
)2
i~ αβ
1
i~
†
†
†
ϕi ⃝ ϕj = ϕi ϕj − ω (∂α ϕi )(∂β ϕj ) −
−
ω 2 (∂ α ∂α ϕ†i )(∂ β ∂β ϕj ).
2
2
2
i~
1
ϕi ⃝ ϕj = ϕi ϕj − ω αβ (∂α ϕi )(∂β ϕj ) −
2
2
(
(5.32)
(5.33)
Para calcular estos productos finalmente necesitamos los siguientes resultados que pueden
ser verificados trivialmente:
√
∂ α ϕi = 2ψiα + θα Fi ,
√
∂α ϕi = 2ψαi + θα Fi ,
(5.34)
(5.35)
∂α ∂ α ϕi =Fi = −∂ α ∂α ϕi ,
(5.36)
∂α ∂β ϕi = − εαβ Fi .
(5.37)
Con estos resultados entonces el producto de dos supercampos queda:
(
ϕi ⃝ ϕj = ϕi ϕj −
i~
2
)
√
√
ω ( 2ψαi + θα Fi )( 2ψβj + θβ Fj ) −
αβ
(
i~
−
2
)2
ω2
(−Fi )(−Fj ).
2
(5.38)
44
La parte que nos interesa será la que tiene el producto θθ, a saber:
(ϕi ⃝ ϕj )θθ
1
= (ϕi ϕj )θθ −
2
(
i~
2
)
ω αβ εαβ Fi Fj .
(5.39)
Debemos recordar que, para las coordenadas impares ω αβ = ω βα , lo que hace que el producto
con el objeto antisimétrico εαβ sea nulo, lo que resulta en
(ϕi ⃝ ϕj )θθ = (ϕi ϕj )θθ .
(5.40)
El producto de tres supercampos es bastante más complejo:
ϕi ⃝ ϕj ⃝ ϕk = ϕi ϕj ϕk −
( )
√
√
√
i~
−
ω αβ [( 2ψαi + θα Fi )( 2ψβj + θβ Fj )(Ak + 2θψk + θθFk )+
2
√
√
√
+ ω γδ [( 2ψγi + θγ Fi )(Aj + 2θψj + θθFj )( 2ψδk + θδ Fk )+
√
√
√
+ (Ai + 2θψi + θθFi )( 2ψγj + θγ Fj )( 2ψδk + θδ Fk )]]+
(
)2
√
i~
ω2
+ −
{− (−Fi )(−Fj )(Ak + 2θψk + θθFk )+
2
2
√
√
+ ω γδ ω αβ [(−εγα Fi )( 2ψβj + θβ Fj )( 2ψδk + θδ Fk )+
√
√
√
ω2
+ ( 2ψαi + θα Fi )(−εγβ Fj )( 2ψδk + θδ Fk )] − [(−Fi )(Aj + 2θψj + θθFj )(−Fk )+
2
√
√
√ γ
√
+ ( 2ψγi + θγ Fi )( 2ψj + θγ Fj )(−Fk ) + ( 2ψiγ + θγ Fi )( 2ψγj + θγ Fj )(−Fk )+
√
+ (Ai + 2θψi + θθFi )(−Fj )(−Fk )]+
(
)3
i~ ω 2 αβ
+ −
ω [(−εβα Fi )(−Fj )(−Fk ) + (−Fi )(−εαβ Fj )(−Fk )]}. (5.41)
2
2
Una vez más, solamente nos serán de utilidad aquellos productos que tengan factores de
θθ. Si usamos las reglas de álgebra espinorial en el apéndice A, entonces el producto triple
45
queda
(
)
i~
(ϕi ⃝ ϕj ⃝ ϕk )θθ = (ϕi ϕj ϕk )θθ + −
[ω αβ (2ψαi ψβj Fk − ψαj ψβk Fi +
2
1
+ εαβ Fi Fj Ak − ψαi ψβk Fj )+
2
1
+ ω γδ (−ψγi ψδj Fk + 2ψγi ψδk Fj + εγδ Fi Fk Aj − ψγj ψδk Fi +
2
1
+ εγδ Fj Fk Ai − ψγi ψδj Fk + 2ψγj ψδk Fi )]+
2
(
)2
3
i~
+ −
[− ω 2 Fi Fj Fk + ω γδ ωγδ Fi Fj Fk ]. (5.42)
2
2
Este resultado puede simplificarse mucho más si recordamos que este producto está multiplicado por la matriz gijk que es simétrica en todos sus ı́ndices, esto nos permite manipular los
ı́ndices para conseguir:
(
(ϕi ⃝ ϕj ⃝ ϕk )θθ
i~
= (ϕi ϕj ϕk )θθ + −
2
)
(
i~
ω (−3ψαi ψβj Fk ) + −
2
αβ
)2
(−ω 2 Fi Fj Fk ). (5.43)
El producto ϕ†i ⃝ ϕj presenta una complicación: la representación que hemos empleado
para los operadores y los supercampos nos obliga a expandir los supercampos en términos
de las coordenadas (x, θ, θ̄) en lugar de las coordenadas quirales que hemos empleado. Necesitaremos entonces las siguientes derivadas:
1
i
∂α ϕ†i = − iσαmα̇ θ̄α̇ ∂m Ai∗ + θα θ̄θ̄¤A∗i + √ θ̄θ̄σαmα̇ ∂m ψ̄iα̇ ,
4
2
1
∂ α ∂α ϕ†i = − θ̄θ̄¤A∗i ,
4
√
1
i
∂α ϕi =iσαmα̇ θ̄α̇ ∂m Ai + θα θ̄θ̄¤Ai + 2ψαi − √ θα ∂m ψiβ σβmβ̇ θ̄β̇ + θα Fi ,
4
2
1
i
∂ α ∂α ϕi = − θ̄θ̄¤Ai + √ ∂m ψiβ σβmβ̇ θ̄β̇ + Fi .
4
2
(5.44)
(5.45)
(5.46)
(5.47)
Ası́ podemos conseguir la componente θθθ̄θ̄ del producto ϕ†i ⃝ ϕj , que será
(ϕ†i
⃝
ϕi )θθθ̄θ̄ =(ϕ†i ϕi )θθθ̄θ̄
(
i~
+ −
2
(ϕ†i ⃝ ϕi )θθθ̄θ̄ =(ϕ†i ϕi )θθθ̄θ̄ .
)
(
ω
αβ
)
1
εαβ θθθ̄θ̄(¤A∗i )Fi ,
8
(5.48)
(5.49)
46
Con todos estos cálculos conseguimos el lagrangeano para la teorı́a supersimétrica no(anti)
conmutativa LN AC para el supercampo quiral a partir del lagrangeano 5.15:
LN AC =
Φ†i Φj |θθθ̄θ̄
)
]
1
1
+
mij Φi Φj + gijk Φi Φj Φk + λi Φi
+ c.c. +
2
3
θθ
[(
]
)
(
)2
i~
1
i~
−
(−ω 2 Fi Fj Fk ) . (5.50)
+ gijk
ω αβ (−3ψαi ψβj Fk ) + −
3
2
2
[(
Como podemos ver no aparecen los complejos conjugados de los nuevos términos inducidos
por la deformación. Esto se debe a que, en la geometrı́a supersimpléctica que estamos considerando hemos eliminado las componentes ω α̇β̇ y ω mn . Evidentemente, este resultado no
implica que los campos espinoriales izquierdos (i.e. aquellos con ı́ndices θ̄ = 1̇, 2̇) sean necesariamente nulos, sino que la geometrı́a del espacio que estamos considerando no induce la
deformación en estos campos, es decir, la deformación es completamente transparente para
ellos.
En términos de los campos de componente tenemos que el lagrangeano queda:
LN AC = i∂m ψ̄i σ̄ m ψi + A∗i ¤Ai + Fi∗ Fi +
]
[
1
+ mij (Ai Fj − ψi ψj ) + gijk (Ai Aj Fk − ψi ψj Ak ) + λi Fi + c.c. +
2
[(
]
(
)
)2
1
i~
i~
+ gijk
−
ω αβ (−3ψαi ψβj Fk ) + −
(−ω 2 Fi Fj Fk ) . (5.51)
3
2
2
Podemos eliminar los campos auxiliares Fi y Fi∗ mediante sus ecuaciones de Euler:
(
)2
i~
∂L
∗
= Fk + λk + mik Ai + gijk Ai Aj − gijk −
(ω 2 Fi Fj ) = 0,
∂Fk
2
(5.52)
∂L
∗
A∗i A∗j = 0.
= Fk + λ∗k + m∗ik A∗i + gijk
∂Fk∗
(5.53)
Como podemos ver las ecuaciones no son simétricas, lo que implica que la condición de
realidad es rota por la deformación. Además en 5.52 hemos eliminado el término dependiente
de los espinores debido a sus propiedades de simetrı́a.
47
Una vez que hemos sustituido el campo auxiliar el lagrangeano queda:
1
LN AC = i∂m ψ̄i σ̄ m ψi + A∗i ¤Ai − mij ψi ψj − gijk ψi ψj Ak −
2
1
∗
ψ̄i ψ̄j A∗k − V(A∗ , A), (5.54)
− m∗ij ψ̄i ψ̄j − gijk
2
el potencial V(A∗ , A) viene dado por:
∗
V(A , A) =
Fi∗ Fi
(
)2
2
i~
2
− gijk ω −
Fi Fj Fk .
3
2
(5.55)
Conocido el lagrangeano podemos determinar las ecuaciones de cada uno de los campos
de componente:
∂L
∂A∗l
∂L
∂Al
∂L
∂ψl
∂L
∂ ψ̄l
∂V(A∗ , A)
= 0,
∂A∗l
∂V(A∗ , A)
=¤A∗l − gijl ψi ψj −
= 0,
∂Al
∗
ψ̄i ψ̄j −
=¤Al − gijl
(5.56)
(5.57)
=i∂m ψ̄l σ̄ m − mil ψi − 2gljk ψj Ak = 0,
(5.58)
∗
ψ̄j A∗k .
= − iσ̄ m ∂m ψl − m∗il ψ̄i − 2gljk
(5.59)
Es interesante notar que como mencionamos anteriormente, la condición de realidad para
los supercampos exige que:
ϕ† (x, θ, θ̄) = ϕ(x, θ, θ̄),
(5.60)
y queda explı́citamente violada por los resultados que hemos encontrado en las ecuaciones
5.52, 5.53. Sin embargo aún tenemos que el principio de correspondencia, esto es,
lı́m LN AC = L
~→0
(5.61)
permite preservar las condiciones de realidad de los campos de componente. Todo esto nos
dice claramente que en esta teorı́a debemos estudiar los campos de componentes como entidades independientes entre sı́ en contraste con su uso como representaciones del álgebra
supersimétrica, esto es, la teorı́a es explı́citamente una teorı́a de campos de componente en
48
lugar que una de supercampos.
En otro orden de ideas es interesante encontrar lo que sucede con los campos si consideramos un potencial nulo, esto es,
∗
V(A , A) =
Fi∗ Fi
(
)2
2
i~
2
− gijk ω −
Fi Fj Fk = 0,
3
2
(5.62)
esto es válido bajo cualquiera de las dos condiciones:
Fi = 0,
Fi∗
(
)2
2
i~
2
− gijk ω −
Fj Fk = 0.
3
2
(5.63)
Para la primera de las condiciones encontramos que el campo A∗ viene dado por la relación:
∗
λ∗k + m∗ik A∗i + gijk
A∗i A∗j = 0,
(5.64)
lo que nos permite obtener una ecuación explı́cita para el campo A∗ mientras que el campo
A aún debe obtenerse de las ecuaciones de movimiento. La segunda de las condiciones nos
muestra que el campo F ∗ puede ser escrito en términos de λ, gijk , mij , Ai y al mismo tiempo
de sus complejos conjugados, lo que nos sugiere fuertemente el considerar que esta condición
nos obliga a dejar de lado la idea de los campos de componente como conectados entre
sı́ (esto es, Ai con A∗i , etc.). La teorı́a no(anti)conmutativa del supercampo quiral entonces
termina representando un número mayor de campos que la del supercampo escalar usual.
Adicionalmente es interesante notar que si imponemos la nulidad del potencial obtenemos
exactamente la misma teorı́a que se obtendrı́a para el supercampo escalar bajo la misma
condición, es decir, que en la teorı́a que hemos construido un potencial nulo equivale a
eliminar la deformación por completo.
Evidentemente lo anterior es en parte resultado de la geometrı́a que hemos introducido,
por lo que serı́a interesante comprobar si es posible encontrar un resultado análogo si estudiásemos el superproducto con una matriz simpléctica tal que los ı́ndices ω α̇β̇ ̸= 0 y si es
posible recuperar la condición de realidad si se elige una geometrı́a simpléctica apropiada.
Lamentablemente estos estudios van más allá de los objetivos que nos hemos planteado en
este trabajo por lo que no los perseguiremos y los relegamos a nuestras recomendaciones para
49
trabajos futuros.
50
Capı́tulo VI
Conclusiones y trabajos futuros
Hemos conseguido estudiar, al menos someramente, la rica estructura geométrica del superfibrado de Weyl, logrando extender de forma sencilla el programa iniciado por Fedosov
[18] y extendido en trabajos posteriores de otros autores [16, 13]. Al comenzar por extender
las simetrı́as del espacio-tiempo mediante la introducción de SUSY pudimos extender el álgebra usual de operadores en el espacio-tiempo para añadir anticonmutadores primero y luego
conmutadores, que terminaron conformando una superálgebra de Lie extendida. Nuestro estudio de las representaciones de SUSY nos permitió acceder a la formulación de supercampos
y a sus diferentes formulaciones, objetos con los cuales construimos una teorı́a de campos
supersimétrica sin deformaciones que nos sirvió como referencia para comparar con la teorı́a
que resultarı́a de la adición de deformaciones.
Al construir el Fibrado Formal de Álgebras de Weyl logramos un contexto natural para
introducir la no-conmutatividad en el producto de funciones sobre una variedad simpléctica,
especialmente considerando que la deformación toma lugar en el fibrado tangente y esto nos
permite salvarnos de la pérdida de las importantes simetrı́as del espacio base que hemos visto
quedan destruidas cuando se agrega no-conmutatividad. Tras construir el producto y considerar las propiedades de sus elementos conseguimos una conexión Abeliana y su subálgebra
asociada, lo que eventualmente nos llevo a encontrar el conocido producto de Moyal, el único
producto no-conmutativo y asociativo que puede encontrarse en espacios sin curvatura.
Teniendo a mano los conocimientos anteriores de Supersimetrı́a y cuantización por deformaciones pasamos a unir ambos conceptos y metodologı́as para un superespacio plano.
Construimos una supervariedad simpléctica general y pasamos a introducir deformaciones
51
en el álgebra de las funciones sobre el espacio tangente. Encontramos de esta manera que el
mecanimo de Fedosov puede ser extendido naturalmente al superespacio con pocas complicaciones (entre ellas se pueden contar el cuidado que debe tenerse con la paridad de los objetos
con los que se trabaja y que en el superespacio nos es posible definir formas diferenciales de
grado arbitrario). Al introducir el producto de Weyl verificamos como se amplı́a para obtener
un producto no(anti)conmutativo y procedimos a hallar que preservaba la asociatividad.
Tras buscar la subsuperálgebra Abeliana encontramos que esta consiste básicamente en
todos aquellos elementos tales que, si f = f (x, θ, y, η) es una sección del fibrado, entonces
el elemento de la subsuperálgebra Abeliana será f00 = f (x, θ, 0, 0). Este resultado nos permitió encontrar un producto no(anti)conmutativo, al proyectar al centro el producto de dos
secciones del fibrado formal. Esta extensión del producto de Weyl luego fue hecha explı́cita
mediante la consideración de deformaciones nilpotentes del superespacio y una geometrı́a
simpléctica, en la que elementos del tipo ω mn y ω α̇β̇ son nulos (esto es, las propiedades
simplécticas de la variedad están restringidas a las coordenadas de Grassmann “derechas”).
Nuestra investigación nos llevo finalmente a aplicar este producto a supercampos quirales
cuyas propiedades son harto conocidas [19]. Al imponer el nuevo superproducto encontramos
el resultado interesante: el modelo Wess-Zumino con el que estamos trabajando básicamente
se mantiene sin modificaciones, salvo por la añadidura de un término adicional al potencial
que depende del parámetro de deformación ~. Este término adicional es heredado de la
interacción de 3 supercampos en el lagrangeano e involucra los campos auxiliares Fi . Lo
que hace este término un objeto de interés es que es resultado de la deformación del espacio
tangente y permite distinguir entre los distintos campos de componente, cosa que pudimos ver
era debida a la geometrı́a del superespacio que se introdujo al definir el superproducto. Este
resultado nos obliga entonces a abandonar las condiciones de realidad sobre los supercampos
y considerar a los campos de componente como los protagonistas reales de la teorı́a.
Adicionalmente hallamos que, al trabajar sobre el nuevo potencial, existe una equivalencia trivial entre el lı́mite ~ → 0, que elimina la deformación y nos da la teorı́a usual
del supercampo, y fijar el potencial 5.55 como cero. Esta equivalencia nos permite calcular
explı́citamente uno de los campos escalares complejos de la teorı́a sin necesidad de estudiar
la dinámica del campo. También es interesante notar que los espinores de la teorı́a no son
52
afectados por el potencial, siguiendo estos el mismo comportamiento que siguen en la teorı́a
sin modificaciones.
6.1.
Posibles continuaciones y ampliaciones
La introducción del superproducto extendido abre un conjunto de interesantes investigaciones adicionales que se pueden perseguir naturalmente a partir de lo que hemos encontrado.
Algunos posibles temas que pueden estudiarse los enumeramos en la siguiente lista (evidentemente, estos no son los únicos programas de investigación posibles, son sencillamente aquellos
que pueden verse sin mucha dificultad a partir de la estructura del programa que hemos seguido):
Hemos visto que en trabajos anteriores [10, 11] se encontraron las únicas deformaciones
permitidas del superespacio, las Q-deformaciones y las D-deformaciones, construidas a
partir de las supercargas y de las derivadas espinoriales respectivamente. En nuestra
formulación del superproducto empleamos las Q-deformaciones puesto que estas son
las mejor conocidas, sin embargo se podrı́a trabajar el superproducto empleando las
D-deformaciones y adicionalmente se podrı́a intentar conectar ambos tipos de deformaciones mediante algún tipo de transformación.
En nuestro análisis del superproducto empleamos una geometrı́a del superespacio bastante especı́fica, considerando la deformación únicamente en los elementos ω αβ de la
2-forma simpléctica. Esta elección de geometrı́a marcó significativamente los resultados
de nuestro estudio de la teorı́a de supercampos por lo que serı́a interesante estudiar
el resultado de incluir en la definición del superproducto elementos dependientes de
estas coordenadas adicionales del superespacio. Podemos además considerar inmediato
el resultado de emplear las coordenadas ω α̇β̇ y la supercarga Q̄: el resultado serı́a el
análogo a los resultados que hemos obtenido para el supercampo antiquiral y llevará a
potenciales similares.
Hemos tomado también un superespacio sin curvatura en la construcción de las conexiones del mecanismo de Fedosov. En [16] se menciona brevemente un primer intento para
53
agregar curvaturas al superfibrado, llegando incluso a construir la conexión Abeliana
y obtener el superproducto en el que aparecen términos dependientes de la curvatura.
Otro posible camino de investigación serı́a tomar este producto más general y realizar
el análisis que hemos completado aquı́.
Un camino adicional que, aunque académico, resulta interesante viene de intentar realizar la cuantización de la teorı́a que hemos formulado para intentar determinar cómo se
hace manifiesta la deformación en la Teorı́a Cuántica de Campos no(anti)conmutativa.
Ya se han estudiado los pasos necesarios para construir teorı́as cuánticas de campo
no-conmutativas renormalizables incluso en geometrı́as no triviales [38]. Es natural
preguntarse entonces el comportamiento de estas teorı́as al agregar supersimetrı́a y
no(anti)conmutatividad al programa de investigación.
Finalmente podrı́amos continuar el análisis que hemos realizado hasta el momento y extenderlo para el caso del campo SuperYang-Mills. En trabajos anteriores se ha estudiado
la construcción de la teorı́a de Yang-Mills no-conmutativa empleando el procedimiento
de Fedosov, en el contexto de la formulación de lazos [15]. Este trabajo podrı́a extenderse al agregar SUSY y adicionalmente el superproducto que hemos empleado en el
presente trabajo.
Es evidente que la lista anterior no es exhaustiva y hay muchas conexiones que hemos dejado de lado (las más significativas serı́an obviamente las aplicaciones en Teorı́a de Cuerdas).
Sin embargo podemos estar seguros de que los posibles caminos que hemos propuesto son
viables en vista de los resultados que hemos obtenido en esta breve investigación. Incluso,
es fácil notar que los programas que hemos propuesto son fácilmente entrelazables entre sı́,
por ejemplo podrı́an estudiarse las propiedades del superproducto con curvatura y términos
adicionales de la 2-forma simpléctica para el supercampo escalar, entre otros muchos caminos
adicionales que nos permite esta interesante área del conocimiento.
54
Apéndice A
Algunas identidades espinoriales de interés
A continuación enumeraremos algunas convenciones e identidades de álgebra espinorial
que hemos utilizado a través del texto. Las demostraciones de estas expresiones son bastante sencillas y pueden encontrarse como ejercicios en la literatura. Seguimos las mismas
convenciones que en [19] pero con una definición alternativa para la derivada tomada de [16]:
ε21 = ε12 = 1
ε21 = ε12 = −1
ψ α = εαβ ψβ
ε11 = ε22 = 0
ψα = εαβ ψ β
εαβ εβδ = δαδ
(1.1)
(1.2)
ψχ = ψ α χα = −ψα χα = χα ψα = χψ
ψ̄ χ̄ = ψ̄α̇ χ̄α̇ = −ψ̄ α̇ χ̄α̇ = χ̄α̇ ψ̄ α̇ = χ̄ψ̄
(1.3)
(χψ)† = (χα ψα )† = ψ̄α̇ χ̄α̇ = ψ̄ χ̄ = χ̄ψ̄.
Las matrices σ m están definidas de la forma usual:




 −1 0 
 0 1 
σ0 = 
 σ1 = 

0 −1
1 0




 1 0 
 0 −i 
σ2 = 
.
 σ3 = 
0 −1
i 0
(1.4)
Las matrices σ también tienen ı́ndices espinoriales que pueden ser manipulados con las
55
matrices εαβ y εα̇β̇ :
σ̄ mα̇α = εα̇β̇ εαβ σβmβ̇
σ̄ 0 = σ 0
σ̄ 1,2,3 = −σ 1,2,3
(1.5)
β β̇
= −2δαβ δα̇β̇
σαmα̇ σ̄m
σαα mn = 0.
El álgebra de las variables del superespacio viene dada por las relaciones:
θα θβ = − 12 εαβ θθ
θα θβ = 12 εαβ θθ
α̇ β̇
θ̄ θ̄ =
(1.6)
1 α̇β̇
ε θ̄θ̄
2
θα̇ θβ̇ = − 12 εα̇β̇ θ̄θ̄.
Las siguientes relaciones son de interés en el capı́tulo V para calcular el lagrangeano
deformado:
(θϕ)(θψ) = − 21 (ϕψ)(θθ)
(1.7)
(θ̄ϕ̄)(θ̄ψ̄) = − 12 (ϕ̄ψ̄)(θ̄θ̄)
1
θσ m θ̄θσ n θ̄ = − θθθ̄θ̄
2
χσ m ψ̄ = −ψ̄σ m χ
(χσ m ψ̄)† = ψσ m χ̄.
(1.8)
(1.9)
Las definiciones que hemos empleado para la derivada de números de Grassmann siguen
la siguiente notación y tienen las siguientes propiedades:
∂
∂θα
∂
∂¯α̇ =
∂ θ̄α̇
∂α =
∂
= εαβ ∂β
∂θα
∂
∂¯α̇ = − α̇ = εα̇β̇ ∂¯β̇
∂ θ̄
∂α = −
(1.10)
(1.11)
(1.12)
(1.13)
56
∂ ∂
=4
∂θα ∂θβ
∂ ∂
εα̇β̇ ∂ α̇ ∂ β̇ θ̄θ̄ =εα̇β̇
= 4.
∂ θ̄α̇ ∂ θ̄β̇
εαβ ∂α ∂β θθ =εαβ
(1.14)
(1.15)
57
Apéndice B
Variedades simplécticas
En este apéndice estudiaremos algunas propiedades de las variedades simplécticas con
las que trabajaremos a lo largo de nuestra investigación. Sólo haremos un esbozo y no nos
detendremos mucho en los detalles, por lo que recomendamos a los lectores que deseen un
mayor rigor consultar a [18].
2.1.
Espacios y variedades simplécticos
Un espacio simpléctico L será un espacio vectorial real V sobre el cual se define una forma
no-degenerada bilineal antisimétrica ω(·, ·) que recibe el nombre de forma simpléctica. Si nos
damos alguna base en el espacio simpléctico, la forma simpléctica puede representarse de la
siguiente manera:
ω(x, y) = ωij xi y j ,
(2.1)
→
−
donde xi , y i son las coordenadas de los vectores −
x, →
y.
En todo espacio simpléctico es posible escoger una base tal que la matriz ω puede representarse en forma cuasidiagonal


0
1





 −1 0




.

..
ω=






0
1 



−1 0
(2.2)
58
si consideramos variedades diferenciales, el análogo a este teorema es el conocido Teorema
de Darboux. Lo anterior implica que podemos estudiar una estructura simpléctica sencilla
sin perder generalidad y luego transformar la 2-forma simpléctica a las coordenadas que sean
necesarias para el problema a estudiar. Para lograr esto necesitamos transformaciones que
preserven la 2-forma simpléctica, estas transformaciones reciben el nombre de simplectomorfismos.
Un simplectomorfismo del espacio simpléctico L será un isomorfismo Ψ : L → L que
preserva la estructura simpléctica, esto es,
Ψ∗ ω(u, v) = ω(Ψu, Ψv)
u, v ∈ V.
(2.3)
Estas transformaciones forman un grupo conocido como Sp(V, ω), que en el caso de un espacio
euclı́deo con una forma simpléctica de la forma 2.2 será Sp(R2n , ω).
Un fibrado vectorial real π : L → M será un fibrado simpléctico si existe una forma
simpléctica definida sobre la fibra. En estos casos la matriz antisimétrica ωx dependerá de
los puntos de la variedad x ∈ M . Esto significa que podemos pensar en el fibrado simpléctico
como si fuera un espacio simpléctico que depende de un parámetro. Si la variedad M es suave
y la 2-forma ω es no-degenerada y cerrada sobre la variedad, entonces tenemos que M recibe
el nombre de variedad simpléctica y ω está definida sobre cada uno de los espacios tangentes
Tx M de tal manera que:
1
ω = ωij dxi ∧ dxj .
2
(2.4)
Puesto que la variedad simpléctica es orientable es posible establecer un elemento de volumen
definido por
ωn
= Pf(ωij (x)) dx1 ∧ dx2 ∧ · · · ∧ dx2n .
n!
(2.5)
Si tenemos alguna función H podemos definir un campo vectorial XH mediante la relación:
dH = ι(X)ω,
(2.6)
este campo recibe el nombre de campo vectorial hamiltoniano. Todos los campos hamilto-
59
nianos generan flujos de simplectomorfismos.
Para dos funciones u, v podemos definir el corchete de Poisson como
{u, v} = Xu v,
(2.7)
y cumplen las siguientes propiedades
{u, v} = − {v, u}
{u, uw} ={u, v}w + v{u, w}
{u, {v, w}}+{v, {w, u}} + {w, {u, v}} = 0.
2.2.
(2.8)
(2.9)
(2.10)
Un ejemplo: La formulación hamiltoniana de la mecánica
Los fibrados cotangentes son una clase fundamental de variedades simplécticas que son
empleadas para construir el espacio de fases de la Mecánica Clásica. Es bien conocido que
las coordenadas del espacio de fases corresponden a las coordenadas generalizadas y a los
momenta del sistema fı́sico a estudiar. El fibrado cotangente es un fibrado vectorial cuyas
secciones son 1-formas y que, al menos localmente, tienen una 1-forma conocida como Forma
de Liouville cuya forma simpléctica viene dada por
ω = −dλ,
(2.11)
que en las coordenadas locales del espacio de fase, q en la variedad base y p perteneciente a
la fibra, puede escribirse como λ = pi dq i , lo que hace que la forma simpléctica tenga la forma
ω = dq i ∧ dpi .
(2.12)
En general la forma simpléctica no es exacta, sin embargo localmente esto puede afirmarse al saber que podemos escribirla de la forma canónica. Si suponemos que la variedad
60
simpléctica es compacta y viene dada por 2.11,
∫
∫
d(λ ∧ ω n−1 ) = 0.
n
ω =
M
(2.13)
M
El lado izquierdo de esta relación no es nulo puesto que ω n define el elemento de volumen de
la variedad. Esta inconsistencia nos asegura que la forma simpléctica no puede ser una forma
exacta. Con estas condiciones es posible definir el corchete de Poisson de la forma usual:
{f, g} =
∂f ∂g
∂f ∂g
−
,
∂pi ∂q i ∂q i ∂pi
(2.14)
y el flujo generado por el hamiltoniano nos dará las ecuaciones de movimiento que conocemos:
∂H
∂pi
∂H
ṗi (t) = − i .
∂q
q̇ i (t) =
(2.15)
(2.16)
61
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NOMBRE DEL ESTUDIANTE: Jesús Alejandro Pineda Muñoz
TITULO DE LA TESIS: Estudio de la geometría del fibrado de las álgebras de Weyl en el superespacio y
sus aplicaciones
NOMBRE DEL ASESOR:
Prof. Alexandra de Castro
MIEMBROS DEL JURADO: Prof. Isbelia Martín (Presidente - USB), Prof. Lorenzo Leal (UCV), Prof.
Alexandra de Castro
PALABRAS CLAVES:
SOBRESALIENTE:
Nº DE PAGS:
MAESTRÍA EN:
RESUMEN
Supersimetría, Fibrado de Weyl, No(anti)conmutatividad, Geometría simpléctica
-
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GRADUADO CON HONORES: -
FECHA DE GRADUACIÓN: Noviembre 2009
Física
En este trabajo se estudian las propiedades geométricas del Fibrado Formal de Álgebras de Weyl al ampliarlo
mediante la adición de Supersimetría. Se estudia el mecanismo de Fedosov para obtener cuantizaciones por
deformaciones a través del Fibrado de Álgebras de Weyl en el espacio tangente de una variedad simpléctica
sin curvatura.
El Fibrado de Weyl introduce una deformación en el producto de funciones dependientes de las coordenadas
del espacio base y del espacio tangente. Una vez obtenida las conexiones simpléctica y abeliana se consigue la
subálgebra Abeliana y conseguimos que, al proyectar al centro el producto de Weyl se obtiene el producto de
Moyal. Se encontrará la extensión supersimétrica del producto de Weyl y se estudian las propiedades de
asociatividad del superproducto. Se estudian las deformaciones nilpotentes del superespacio a inducidas por el
superproducto para 0-formas del fibrado.
Finalmente se calcula la teoría del supercampo quiral empleando en nuevo superproducto definido a partir de
Q-deformaciones en una variedad supersimpléctica con una geometría específica y se encuentran las
modificaciones a la teoría usual del supercampo quiral tanto para los campos de componente como para los
superpotenciales. Se verifica el principio de correspondencia y se proponen caminos adicionales para avanzar
este programa de investigación.