problemas de logaritmos y exponenciales

Departamento de Matemáticas
IES “Valle del Jerte” (Plasencia)
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I
Ecuaciones logarítmicas y problemas
Ecuaciones logarítmicas
3 + log (x + 1000) = 7
log(2x + 2) – log(x – 3) = 1
log(x + 1) – log(x – 3) = 5
log(x + 6) – 2log(x – 3) = 1
3log x – 5log2 = log(x/2)
Problemas
1) En Química se utiliza para medir la acidez de soluciones un número denominado pH y que se define por:
+
PH = - log [H ]
+
Donde [H ] es la concentración de iones de hidrógeno en moles por litro. Calcula el pH del agua de mar, de la
+
-9
-5
-7
cerveza y de la leche si [H ] es aproximadamente de 510 , 6,310 y 2,510 , respectivamente. Solución: 8,3
4,2
6,6
2) Hace 4 años se repobló un bosque con una nueva especie de aves. Entonces se introdujeron 100 ejemplares.
Actualmente, se estima que hay 25000 ejemplares. Se ha concluido que el número N de estas aves viene dado por la
Bt
fórmula N = A e , donde A y B son constantes. El tiempo t se considera expresado en años.
a) Busca el valor de las constantes A y B.
b) ¿Cuánto tiempo se tendrá que esperar para que haya 200000 ejemplares?
c) Solución: A = 100
B = 1,4
t = 5,4 años
3) El carbono 14 se desintegra siguiendo la ley exponencial Q(t) = Q 0 e , donde t indica el tiempo transcurrido a
partir de un cierto instante inicial que se toma como origen para contar el tiempo (este origen es arbitrario y se puede
tomar como tal cualquier instante de tiempo); Q(t) indica la cantidad de átomos que todavía no se han desintegrado
en el instante t; Q0 la cantidad de átomos que no se habían desintegrado en el instante que se ha escogido como
instante inicial, y k es una cierta constante. El carbono 14 tiene un periodo de semidesintegración de 5770 años. Esto
quiere decir que cada 5770 años la cantidad de átomos que todavía no se han desintegrado se reduce a la mitad. A
partir de este dato, determina el valor de la constante K. Indica después qué tanto por ciento de átomos todavía no
se han desintegrado al cabo de 30.000 años del instante inicial.
-kt
4) La función que expresa el número de neumáticos, y, que monta un trabajador en función del número de días, s,
kx
que lleva de antigüedad en la empresa, viene dado por la función: y = 50(1 – e ). Si el gerente del taller de montaje
de neumáticos para automóviles estima que un empleado nuevo necesita 30 días de aprendizaje para lograr montar
40 neumáticos, y que su labor resulte rentable a la empresa, ¿cuál es el valor de la constante k?. Solución: k = -0,05
5) El precio inicial de un artículo es de 1000 euros pero al cabo de cada mes disminuye en un 6%.
a) ¿Cuál es el precio del artículo al cabo de 12 meses? ¿y al cabo de n meses?
b) ¿A partir de qué mes el precio será inferior a 100 euros?
t
c) Soluciones: P(t) = 1000∙0,94
475, 92 €
t = 38 meses
6) El precio en euros p de la entrada de una sala de fiestas en fin de semana depende del número n de clientes del
-0,003n
fin de semana anterior, y viene dado por la función p = 3 + 4e
.
a) Determina el precio de la entrada para este fin de semana, si en el anterior se contabilizaron 400 personas.
b) Si el precio de la entrada de un fin de semana se fija en 6 euros, ¿cuántas personas acudieron el fin de
semana anterior?.
7) El nº de personas afectadas por una epidemia, P, al cabo de t semanas transcurridas desde el primer brote es:
P(t ) 
35000
.
1  25e 0, 4t
a) Calcula el nº de personas que habrán contraído la enfermedad al cabo de 1, 2, 3 semanas
b) ¿Cuándo estará afectado el doble de la población inicial?