funciones logaritmicas

FUNCIONES
LOGARITMICAS
@ Angel Prieto Benito
Matemáticas Aplicadas CS I
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•
LOGARÍTMO DE UN NÚMERO
•
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Sabemos que 102 = 100 en una potencia de base 10.
Sabemos que 103 = 1000 en una potencia de base 10.
Decimos que 2 es el logaritmo decimal de 100
Decimos que 3 es el logaritmo decimal de 1000
Y lo escribimos así:
•
•
102 = 100
103 = 1000
•
El logaritmo decimal de un número, N, es el exponente al que hay que
elevar la base, 10, para obtener dicho número.
10x = 500
 x = log 500 = 2,6989 [Por Tablas o calculadora]
•
 2 = log 100
 3 = log 1000
•
Por extensión: El logaritmo de un número, N, es el exponente al que hay
que elevar la base, a, para obtener dicho número.
•
•
Ecuación logarítmica:
y = loga x
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Ecuación potencial:
x = ay
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• FUNCIÓN LOGARÍTMICA
• Se llama FUNCIÓN LOGARÍTMICA a la expresión:
• y = log a x

f (x) = log a x
• Donde “a” es la base del logaritmo y x la variable.
• Funciones logarítmicas son:
• f(x) = log x ,
• f(x) = ln x ,
• g(x) = log a f(x) ,
• Si a=10
• Si a= e
donde “a”, por omisión, vale 10.
donde la base es el número e.
donde tenemos una función compuesta.
 LOGARITMOS DECIMALES (Base = 10)
 LOGARITMOS NEPERIANOS (Base = e)
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La función
y=log2 x
8
y
y = 2x
4
•
•
Sea y = 2x
La inversa de dicha
función es:
•
•
•
•
Tenemos:
y = 2x 
x = log2 y 
y = log2 x
•
Luego
gráficamente será
simétrica respecto
a la recta y = x
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2
Matemáticas Aplicadas CS I
y = log2 x
4
8
y
La función y = log1/2x
•
•
y=(1/2)x
4
•
2
•
•
•
•
Tenemos:
y = (1/2)x 
x = log1/2 y 
y = log1/2 x
•
Luego gráficamente será
simétrica respecto a la
recta y = x
y = log1/2 x
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Sea y = (1/2)x
Donde la base, a, vale ½
.
La inversa de dicha
función es:
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Gráfica de y = log x
•
Sea
•
Tabla de valores
y = log x
y
1
y = log x
0,5
•
x
y
•
•
•
•
•
•
•
•
•
-2
-1
0
0,2
0,4
0,8
1
2
3
-------0,6990
-0,3980
-0,0970
0
0,3010
0,4773
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-1
0
1
2
3
x
También la podíamos
haber obtenido por
simetría respecto a la
recta y=x, sabiendo que
es la inversa de y=10x
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Gráfica de y = ln x
•
Sea
•
Tabla de valores
y = ln x
y
1
y = ln x
0,5
•
x
y
•
•
•
•
•
•
•
•
•
-2
-1
0
0,2
0,4
0,8
1
2
3
-------1,6094
-0,9163
-0,2231
0
0,6931
0,9861
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-1
0
1
2
3
x
También la podíamos
haber obtenido por
simetría respecto a la
recta y=x, sabiendo que
es la inversa de y = ex
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Comparativa y propiedades
•
Sea
y
y = log x e y = ln x
y = ln x
•
En general, si y = loga x
, a > 1 , se cumple:
•
•
El domino es Dom f(x) = R+
El recorrido es Img f(x) = R
•
Es siempre creciente en R+
•
Sea cual sea la base, “a”
corta al eje de abscisas en
el punto PC(1, 0)
•
El eje de ordenadas es una
ASÍNTOTA de la función,
pues ésta tiende a
converger con el eje.
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y = log x
0
1
2
3
x
Aunque para valores grandes
de x, el valor de y casi es cte.
, éste sigue creciendo hasta
el infinito, por ello la Img f(x)
es R.
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La población mundial
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•
Un grupo de expertos en demografía tras estudiar el crecimiento de la
población mundial, ha establecido que esta población, y, en función del año
correspondiente, x, puede expresarse según la siguiente ecuación:
y = 100,00389.x+2
a) Dibuja la gráfica de esta función.
b) ¿En qué año la población alcanzó los mil millones?.
109 = 100,00389.x+2
9 = 0,00389.x + 2  x = (9 – 2)/0,00389 = 1799
c) ¿Y los 3 mil millones?
3.109 = 100,00389.x+2
Log 3 + 9 = 0,00389.x + 2  x = (0,4771 + 9 – 2)/0,00389 = 1922
d) Del mismo modo calcula en que año alcanzará los 6 mil millones de
habitantes.
6.109 = 100,00389.x+2
Log 6 + 9 = 0,00389.x + 2  x = (0,7781 + 9 – 2)/0,00389 = 1999
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Especies protegidas
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•
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El número de osos blancos de una determinada zona del planeta vendrá
dado por la siguiente función:
f(t) = 250.log [(900 t + 130) / (13 + t)]
Siendo t el tiempo transcurrido en años.
a) ¿Cuál es el número actual de osos?.
b) ¿Se llegará a estabilizar la población de osos?.
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Resolución
a)
Actualmente: t=0
f(0) = 250.log [(900.0 + 130) / (13 + 0)] =
= 250.log(130 / 13) = 250.log 10 = 250.1 = 250
b)
Suponiendo la función válida de modo indefinido:
N = lím 250.log [(900.t + 130) / (13 + t)] =
too
250
250
N = log ( lím [(900.t + 130) / (13 + t)]
) = log 900
= 250.log 900 =
t oo
= 250.2´954 = 738 osos
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•
•
MODELO MATEMÁTICO
¿Cómo se asigna una función a una situación real?.
•
1.Si los datos de una variable crecen (x) y los datos de la otra variable (y) crecen
o disminuyen de forma proporcional, el resultado del modelo matemático es una
función lineal: y = m.x + n
Tendríamos que hallar los valores de m y n.
2.Si los datos de una variable crecen (x) y los datos de la otra variable (y) crecen
o disminuyen de forma inversamente proporcional, el resultado del modelo
matemático es una función racional: y = b + k / (x – a)
Tendríamos que hallar los valores de a, b y k
3.Si los datos de una variable crecen (x) y los datos de la otra variable (y) crecen
o disminuyen de forma no proporcional, el resultado del modelo matemático es una
función cuadrática: y = a.x2 + b.x + c
Tendríamos que hallar los valores de a, b y c
4.Si los datos de una variable crecen (x) y los datos de la otra variable (y) crecen
o disminuyen de forma muy rápida, el resultado del modelo matemático es una
función exponencial: y = k.ab.x+c
Tendríamos que hallar los valores de k, b y c
4.Si los datos de una variable crecen (x) y los datos de la otra variable (y) crecen
de una forma lenta y cada vez menor, el resultado del modelo matemático es una
función logarítmica:
y = k.log (a.x + b)
Tendríamos que hallar los valores de k, a y b
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