Espacios Vectoriales* (Sección 6.1) Transición: Nota que la similitud

Espacios Vectoriales* (Sección 6.1) Transición: Nota que la similitud

Espacios Vectoriales* (Sección 6.1)
Transición: Nota que la similitud entre las siguientes “transformaciones lineales”:
Vectores u, v
A(u + v ) = Au + Av
A(u) = A(u)
Funciones u(x), v(x)
∫(𝑢(𝑥) + 𝑣(𝑥)) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑢(𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑣(𝑥) 𝑑𝑥
∫ 𝛼𝑢(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝛼 ∫ 𝑢(𝑥) 𝑑𝑥
Motivación: En la matemática se definen propiedades y características que nos
permiten identificar similitudes y diferencias entre conjuntos de elementos, por ejemplo
de “vectores”. Note que esto es lo que permite una abstracción. Es decir No hablamos
de un ejemplo particular de conjuntos como los vectores de n números reales:ℝn, sino
de conjuntos de otros tipos de elementos como los siguientes:
Tipo de elementos o “vectores”
Vectores con n elementos
Notación del Conjunto
ℝn = conjunto de vectores con n
componentes o elementos
Utilizando la notación de conjuntos
ℝn = {(x1,x2,…,xn) | xj es número real}
Mmn = conjunto de matrices m x n
Matrices de dimensión m x n
Utilizado notación de conjuntos
Mmn = {A | A es matriz m x n}
Funciones Contínuas (cuya n-ésima Cn = conjunto de funciones donde la nderivada existe y es contínua)
ésima derivada es una función derivada
Cn = {f(x)| f ’(x) es una función contínua}
Polinomios (de grado menor o igual a n)
Pn = conjunto de todo polinomio con grado
n o menor.
Pn = {p(x) = amxm+…+ a1x + a0 | m  n}
Estos también comparten propiedades similares a los vectores por los cuales les
llamamos “vectores” en una forma abstracta. A estos conjuntos les llamamos Espacios
Vectoriales V, y definimos las 10 propiedades que deben tener.
Definición: Un espacio vectorial real V (“real” se refiere a que los escalares son
números reales en vez de complejos) es un conjunto de objetos, llamados vectores,
con dos operaciones definidas: la suma vectorial y la multiplicación escalar, que
satisface las siguientes condiciones:
1. Si x,y є V, entonces x + y є V (Clausura bajo la adición o suma).
2. Para todo x, y, z є V tenemos que (x + y) + z = x + (y + z) (Asociativa bajo la
suma).
3. Existe un vector cero, 0 є V tal que para todo x є V tenemos que x + 0 = 0 + x =
x (Existencia del vector cero).
4. Si x є V existe un vector –x en V tal que x + (-x) = 0 (Existencia del inverso
aditivo).
5. Si x,y є V entonces x + y = y + x (Conmutativa de la suma).
6. Si x є V y a es un escalar, entonces a ∙ x є V (Clausura para el producto por un
escalar).
7. Si x,y є V y a es un escalar, entonces a ∙ (x + y) = a∙ x + a ∙y (Primera propiedad
distributiva: suma de vectores).
8. Si x є V y a, b son escalares, entonces (a + b) ∙ x = a ∙x + b∙x (Segunda
propiedad distributiva: suma de escalares).
9. Si x є V y a,b son escalares, entonces a ∙ (b ∙ x) = (ab) ∙ x (Asociativa de la
multiplicación escalar).
10. Para todo vector x є V, tenemos que 1∙x = x (El escalar 1 se llama el elemento
identidad de la multiplicación).
Esta definición tiene muchos detalles que debe leer con cuidado. Fíjese que hay dos
conjuntos {V, escalares} con dos ceros {0, 0} que No son iguales. Hay dos operaciones
de suma que debes distinguir: suma entre vectores (+) y entre escalares (+).
Igualmente con la multiplicación de vector por un escalar (∙) y la multiplicación entre
escalares. Como las operaciones de Suma “+”, y multiplicación por un escalar en el
espacio V se definen de forma diferente en cada espacio vectorial a menudo estas
generalizaciones (o abstracción) de las operaciones se denotan usando otros símbolos
para No confundirles con la suma y multiplicación de números reales, matrices u otros.
Por ejemplo en el texto se denota:
a) suma “” (pues la suma de funciones No es igual a la de vectores por ejemplo)
b) producto escalar “ʘ” (porque el producto de escalar por vector no es igual al de
matrices, por ejemplo)
Estas 10 propiedades nos dicen que V es una generalización de los vectores (espacio
vectorial euclidiano) que hemos estudiado hasta ahora y denotamos ℝn .
Ejemplos:
1. Sea V = {u= (x, y)│x, y є ℝ} = ℝ2, con las operaciones:
a) suma de vectores: para u = (x1,y1), v= (x2,y2) entonces
u + v = (x1 + x2,y1+ y2)
b) producto por un escalar: para a є ℝ, u = (x1,y1) є V,
a ∙u= (a x1, a y1).
Entonces V es un espacio vectorial, es decir satisface las 10 propiedades
anteriores que definen al espacio vectorial.
2. Sea V = {u =(x, y)│ y ≥ 0}, con las operaciones definidas como en el ejemplo
anterior. V consiste de los pares ordenados en ℝ2 que están en los Cuadrantes I
y II. V No es un espacio vectorial porque para el vector (1, 1) no existe el
inverso (-1, -1) ya que (-1, -1) no es elemento de V. Además si a < 0 entonces
au= ( ax, ay) no es elemento de V.
3. Sea V = ℝn = {u =(x1, x2, x3, …, xn)│xi є ℝ para i = 1, 2, 3, …, n}, con la suma de
vectores y multiplicación por un escalar típicas, entonces V es un espacio
vectorial.
4. Sea V = {0}, con suma y multiplicación típicas, satisface las diez propiedades. Es
un espacio vectorial. Usualmente se conoce como el espacio vectorial trivial.
5. Sea V = {1}, con suma y multiplicación típicas. No es un espacio vectorial pues
1 + 1 = 2. 2 no es elemento de V (no satisface la propiedad de la clausura en la
adición ni tampoco otras propiedades cuando a < 0).
6. Sea V = {(x, y)│y = mx, donde m є ℝ constante, x є ℝ arbitrario}, con la suma
entre puntos y producto por un escalar igual al primer ejemplo. Vemos que V
consiste de todos los puntos en la recta y = mx que pasa por el origen con
pendiente m. V es un espacio vectorial.
7. Sea V = {(x, y)│y = 2x + 1, x є ℝ}, con la suma y producto del primer ejemplo.
Vemos que V es el conjunto de todos los puntos en la recta y = 2x + 1. V no es
un espacio vectorial, pues no satisface la propiedad de clausura: sean (x1, y1),
(x2, y2) є V, entonces:
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)
= (x1 + x2, 2x1 + 1 + 2x2 + 1)
= (x1 + x2, 2(x1+x2)+ 2) lo cual no es elemento de V
8. Sea V = Pn, el conjunto de polinomios con coeficientes reales de grado ≤ n, con
la suma y multiplicación por un escalar típica de polinomios. Si p є Pn, entonces
p = p(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0, donde ai es real. Pn es un espacio
vectorial.
9. Sea V = M23, el conjunto de matrices de orden 2 x 3 con elementos reales, con la
suma y producto por un escalar de matrices. M23 es un espacio vectorial.
10. Sea V = Mmn, el conjunto de matrices de orden m x n con elementos reales,
entonces es un espacio vectorial.
11. Sea V = C[0, 1], el conjunto de funciones continuas con valores reales definidos
en el intervalo cerrado [0, 1], con la suma y multiplicación por un escalar típica
entre funciones. Entonces C[0, 1] es un espacio vectorial.
Para ejemplos donde se define la suma entre vectores y la multiplicación por un escalar
en formas no-típicas vea los ejemplos 2-ejemplo 4 en la siguiente página:
http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/LinAlg/VectorSpaces.aspx. En estos ejemplos se
demuestra que usando estas “nuevas” operaciones de suma y multiplicación los
conjuntos definidos en los ejemplos 2 al 4 No forman un espacio vectorial.
Teorema de Propiedades de un Espacio Vectorial: Sea V un espacio vectorial,
entonces:
Propiedades:
1. a ∙0 = 0, para todo α en el conjunto de los números reales
2. 0 ∙ x = 0, para todo vector x en el conjunto V
3. si a ∙x = 0, entonces a = 0 ó x = 0 (ó ambos)
4. (-1) ∙x = -x, para todo vector x є V
Ejercicios:
1. Todas las propiedades del teorema se satisfacen en el espacio vectorial de la
matrices V = Mmn . Sin embargo compare la tercera propiedad del teorema con
el siguiente ejemplo:
0
A  
1
1


0
y
0
B  
0
 2


0 
Aquí, x= A ,y = B є Mmn, pero note que x ∙ y = 0 NO implica que x = 0 ó y = 0 (ó
ambos) ya que ni A ni B son matrices con todos los elementos ceros, sin
embargo AB = 0. Ahora esto No es lo que dice la Propiedad 3, ¿por qué?
2. Determina si el conjunto V = {(x, y)│x ≤ 0} con las operaciones usuales de suma
y multiplicación escalar en ℝ2 es un espacio vectorial.
3. Verifica en detalles que V = {(x, 0)│ x es un número real} es un espacio vectorial.
*Notas de la Profesora Nilsa Toro y revisión de Carmen Caiseda (11/3/2014).