u v proy u v v = i

Proyección de un vector sobre otro
Sean u y v, con v ≠ 0v dos vectores de un espacio vectorial. Se define como:
proyv u =
u iv
v
2
v
al vector proyección de u sobre v.
Si el espacio vectorial es IR2 o IR3, el vector proyv u se obtiene al trazar la
perpendicular desde el punto final de u sobre v como lo muestran las siguientes figuras.
u
u
v
proyv u
v
Observaciones:
1.- Si u es ortogonal a v se tiene que
u iv = 0 y por lo tanto proyv u = 0v
2.-La expresión u iv es un escalar, llámese c. Luego el vector proyv u = cv y esto
v
2
implica que proyv u es paralelo a v.
3.- En la figura siguiente se observa un vector ortogonal a v que se obtiene, mediante la
regla del triángulo, de efectuar la diferencia u − proyv u
u
proyv u
u − proyv u
v
De lo expuesto se deduce que u puede escribirse como la suma de dos vectores: uno de
ellos paralelo a v y el otro ortogonal a v:
u = proyv u + u − proyv u
Este concepto se utiliza en el proceso de Gram-Schmidt para ortogonalizar bases.