ESPACIOS VECTORIALES

ESPACIOS
VECTORIALES
Luisa Martín Horcajo
U.P.M.
Vector libre. Operaciones
Definición:
Un vector fijo es una segmento orientado, que queda
caracterizado por su origen A y su extremo B y se representa
por AB .
Los vectores tienen:
Módulo (distancia entre A y B)
Dirección (recta que pasa por A y B)
Sentido (el que va de A a B)
Observaciones:
1.- Al conjunto formado por un vector y todos los equivalentes a él
(mismo módulo, dirección y sentido) se le llama vector libre.
2.- Se llama vector cero, 0 , a aquél cuyo origen y extremo
coinciden, su módulo es cero y no tiene dirección ni sentido.
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Vector libre. Operaciones
Definición:
Para sumar dos vectores u y v, (u+v):
Para multiplicar un vector u por un escalar λ, λu:
Vectores de ℝ2 y ℝ3
ℝ2 = {(a,b) / a , b ∈ ℝ }
Diremos que (x,y) son las coordenadas
Del punto P del plano y del vector u=OP,
y escribiremos P(x,y) y u=(x,y).
Aplicando el teorema de Pitágoras se
Puede obtener el módulo del vector
u=(x,y):
u = x2 + y2
ℝ3 = {(a,b,c) / a , b ,c ∈ ℝ }
Diremos que (x,y,z) son las coordenadas
Del punto P del espacio y del vector u=OP,
y escribiremos P(x,y,z) y u=(x,y,z).
El módulo del vector u=(x,y,z):
u = x 2 + y 2 + z2
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Vectores de ℝ2 y ℝ3
Suma
En ℝ2: (x1 , y1) + (x2 , y2) = (x1+x2 , y1+y2)
En ℝ3: (x1 , y1 , z1) + (x2 , y2 , z2) = (x1+x2 , y1+y2 , z1+z2)
Multiplicación por un escalar
En ℝ2: λ (x , y) = (λ x , λ y)
En ℝ3: λ (x , y , z) = (λ x , λ y , λ z)
Hay vectores especiales que se utilizan para representar
cualquier otro vector llamados vectores canónicos
En ℝ2: los vectores (1,0) y (0,1) se representan por i y por j.
En ℝ3: los vectores (1,0,0), (0,1,0) y (0,0,1) representados por i,
j y k. Así
u = (x,y,z) = xi + yj + zk
Producto escalar de dos vectores
En ℝ2: el producto escalar de u=(x1,y1) y v=(x2,y2) es el número
real u · v = x1 x2 + y1 y2
En ℝ3: el producto escalar de u=(x1,y1,z1) y v=(x2,y2,z2) es el
número real
u · v = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2
Propiedades
Para vectores arbitrarios u, v, w ∈ ℝ2 ó ℝ3 y para λ ∈ ℝ se cumple:
u·v = v·u
u · (v+w) = u · v + u · w
(λ u) · v = λ(u · v) = u · (λ v)
2
u · u = u ≥ 0. Además u ⋅ u = 0 ⇔ u = 0
u·0 = 0
Observación: Si u · v = 0 no implica que u=0 ó v=0.
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Ángulo entre dos vectores
El ángulo entre dos vectores no nulos u y v es el ángulo θ, 0 ≤ θ ≤ π ,
definido por representantes de ambos vectores con el mismo origen.
cos θ =
u⋅v
u ⋅ v
Dos vectores u y v son ortogonales cuando su producto escalar es
cero, u·v = 0. Si ambos vectores son no nulos se dice que son
vectores perpendiculares, siendo el ángulo entre u y v igual a π / 2 .
Dos vectores no nulos u y v son paralelos cuando forman un ángulo
de 0 ó π radianes, lo que ocurre si existe un número real λ tal que
u=λv, es decir las coordenadas de u y v son proporcionales.
Producto vectorial de dos vectores en ℝ3
El producto vectorial de u = (x1,y1,z1) = x1 i + y1 j + z1 k y
v = (x2,y2,z2) = x2 i + y2 j + z2 k
es el vector
i
j
u × v = x1
x2
Propiedades:
y1
y2
k
y1 z1
x1 z1
x1
z1 =
i−
j+
y2 z2
x2 z2
x2
z2
y1
y2
k
u × v = −(v × u)
( αu) × v = α(u × v) = u × ( αv)
u × (v + W) = (u × v) + (u × w)
u× v
2
= u
2
2
v − (u ⋅ v)2
u × v = u v senθ
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Producto vectorial de dos vectores en ℝ3
Propiedades:
Si u y v son paralelos, entonces u x v = 0.
Si u x v = 0, entonces u y v son paralelos o alguno de ellos es
el vector 0.
El producto vectorial (u x v) es un vector ortogonal a u y a v.
El sentido de (u x v) viene dado por el avance del sacacorchos
que gira de u a v, o bien por la regla de la mano derecha
Producto vectorial de dos vectores en ℝ3
Interpretación geométrica:
El producto vectorial de los vectores u y v es un vector cuyo
módulo es igual al área del paralelogramo que tiene a u y a v
como lados adyacentes
Área del paralelogramo = base x altura = ║u║ ║v║ senθ
Área = ║u x v║
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Producto mixto de tres vectores en ℝ3
Dados los vectores u = (x1,y1,z1) v = (x2,y2,z2) y w = (x3,y3,z3)
Su producto mixto es el número real
x1
Interpretación geométrica:
u ⋅ (v × w) = x2
x3
y1
z1
y2 z2
y3 z3
El valor absoluto del producto mixto de u, v y w es igual al
volumen del paralelepípedo que tiene a dichos vectores con
lados adyacentes
Espacio Vectorial
Un espacio vectorial sobre ℝ es un conjunto E donde se define la
operación suma, +, que cumple: para u, v, y w ∈ E y λ, µ ∈ ℝ
1)
u + v ∈ E (es operación interna)
2)
(u + v) + w = u + (v + w) (asociativa)
3)
u + v = v + u (conmutativa)
4)
∃ 0 ∈ E tal que u + 0 = u (vector cero)
5)
∀ u ∈ E, ∃ -u ∈ E tal que u + (-u) = 0 (vector opuesto)
Y una operación producto que cumple:
1)
λ u ∈ E (es operación externa)
2)
λ (u + v) = λ u + λ v
3)
(λ + µ) v = λ v + µ v
4)
λ (µ u) = (λ µ) u
5)
1u = u
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Espacio Vectorial
Los elementos de un espacio vectorial se llaman vectores y los
números reales escalares.
Propiedades:
I)
λu=0⇔λ=0óu=0
II) (-1) u = -u
Subespacio Vectorial (subconjunto que conserva la estructura de e.v.)
Un subespacio vectorial de un e.v. E es un subconjunto S de E,
que es espacio vectorial con la suma y el producto de E.
Caracterización
S, subconjunto de E distinto del vacío, es subespacio vectorial de
E si y sólo si se cumple que
u + v ∈ S y λ u ∈ S siempre que u, v ∈ S y λ ∈ ℝ
Dependencia Lineal
Definiciones:
Sea A={v1, v2, …, vn} vectores de un e.v. E, llamaremos combinación
lineal de A a todo vector w ∈ E que puede expresarse de la forma
w = α1 v1 + α2 v2 + … + αn vn con α1, α2, …, αn ∈ ℝ
Al conjunto de todos los vectores que son combinación lineal de la
familia A, le llamaremos clausura lineal de A y se nota
L(A) = { α1 v1 + α2 v2 + … + αn vn / αi ∈ ℝ}
Teorema:
En las condiciones de la definición, el conjunto L(A) es subespacio
vectorial de E
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Dependencia Lineal
Diremos que la familia de vectores A genera el subespacio L(A).
Corolarios:
1)
Existen infinitas familias de vectores que generan el mismo
subespacio vectorial que una familia dada. Es decir, todo
subespacio vectorial tiene infinidad de familias generadoras.
2)
Sea S un subespacio vectorial y A= {v1, v2, …, vn} vectores del
e.v. E. Entonces
v1 , v2 ,..., vn ∈ S

todo
vector
de
S
es
combinació n lineal de {v1 , v2 ,..., vn }

A genera a S ⇔ 
Dependencia Lineal
Definiciones:
1)
Diremos que v1, v2, …, vn ∈ E e.v. son linealmente independientes
(forman una familia libre) si la ecuación α1 v1 + α2 v2 + … + αn vn = 0
tiene como única solución α1 = α2 = … = αn = 0.
2)
En caso contrario, algún escalar es distinto de cero por lo que algún
vector es combinación lineal del resto, y en ese caso diremos que
son linealmente dependientes (forman una familia ligada).
Propiedades:
- Toda familia que contenga el vector 0 es ligada.
- Un solo vector w ∈ E, w ≠ 0 es linealmente independiente.
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Dependencia Lineal
Observaciones:
1.
Un método para estudiar la dependencia lineal de k
vectores de ℝn es el basado en que el máximo número de
vectores linealmente independientes es igual al rango de
la matriz que tiene por filas (ó columnas) a dichos
vectores.
2.
Más de n vectores de ℝn siempre son linealmente
dependientes.
3.
Exactamente n vectores de ℝn son linealmente
independientes si, y sólo si el determinante formado por
sus coordenadas es distinto de cero.
Bases y Dimensión
Definición:
Sea E e.v., B= {v1, v2, …, vn} es base de E si es una familia libre y
generadora de E.
Teorema:
Todas las bases de un e.v. tienen el mismo número de vectores.
Definición:
Se llama dimensión de un e.v. E al número de vectores de una
cualquiera de sus bases.
Observaciones:
El e.v. nulo {0} no tiene base y su dimensión es 0.
Si S es subespacio v. de E, entonces dim(S) ≤ dim(E).
Si dim(S) = dim(E), entonces S = E.
Si cambiamos el orden de los vectores tenemos otra base.
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Bases y Dimensión
Teorema:
Sea E un e.v. tal que dim(E) = n y {v1, v2, …, vk} una familia libre de
vectores de E, donde k < n. Entonces existen vectores vk+1, …, vn
tales que {v1, v2, …, vk,vk+1, …,vn} es una base de E. Es decir, la
familia puede ampliarse hasta formar una base de E.
Teorema:
Si dim(E) = n entonces toda familia libre de n vectores de E es
base.
Definiciones:
Sea B= {v1, v2, …, vn} una base de un espacio vectorial E
1)
B es base ortogonal de E si ui uj = 0 ∀ i ≠ j.
2)
B es base ortonormal de E si es base ortogonal y ║ui║ = 1 para
i=1,..n. Por ejemplo las bases canónicas.
Coordenadas
Teorema:
Dada una base B = {v1, v2, …, vn} del e.v. E, todo vector v ∈ E se
puede expresar, de forma única, como combinación lineal de los
vectores de B, es decir
v = α1v1 + α2v2 +, …, + αn vn
Los n números reales α1, α2,…, αn se llaman coordenadas del
vector v en la base B.
Notación: vB = (α1, α2, …, αn)
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Cambio de base
Ecuación del cambio de base.
Esta ecuación relaciona las coordenadas de un vector v
respecto una base B con las coordenadas del mismo vector
respecto de otra base B’
X=PY
Donde
X: vector columna de las coordenadas de v respecto de B.
Y: vector columna de las coordenadas de v respecto de B’.
P: matriz cuya columna i-ésima son las coordenadas del vector
i-ésimo de la base B’ respecto de la base B.
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