Ex. Parcial_Control_2 - Departamento de Matemáticas

Ex. Parcial_Control_2 - Departamento de Matemáticas

UNIVERSIDAD DEL VALLE
FACULTAD DE CIENCIAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
EXAMEN DE CONTROL 2 DE CALCULO III
PROF. DORIS HINESTROZA G.
Nombre— — — — — — — — — — — — — — — — — Código— — — — — — — — — e-mail— — — — — — — — —
PRIMERA PARTE
1.
a) Dé un ejemplo de un campo vectorial, un campo escalar y de una función vectorial
b) Considere las curvas de nivel de cierta función z = f (x; y)
f = 200
f = 300
f = 200
P
f = 100
(i) Señale sobre punto P el gradiente rf (P ). (ii) Señale un punto Q distinto de P tal
!
! !
0
que @f
@x (Q) > 0; f (Q; j ) = 0: (iii) Señale desde el punto Q dos vectores u ; v tales que
!
!
0
0
f (Q; u ) = 0 y f (Q; v ) < 0:
c) Si z = f (x; y) es una función diferenciables con derivadas de orden dos continuación. Si x = s=t;
@2f @2f
y = s2 t; Halle
;
:
@s@t @s2
!
2. na partícula r(t) se mueve de tal manera que su vector velocidad en cada instante t es !
v (t) =
!
! !
!
0
r (t) = (t; t cos t; tsent). Halle: la rapidez v(t), los vectores T (t), a(t) y N (t). Halle la longitud de
la curva entre !
r (0) y !
r (1):Halle además las componentes aT y aN : y k(t):
3. Considere la función z = f (x; y) = yx2
a) Haga un bosquejo de la curva de nivel de f que pasa por el punto (1; 1). Señale el gradiente
tomado desde algún punto (1; 1) sobre la curva de nivel.
b) Explique el signi…cado de la dirección y la norma del gradiente de f en el punto (1; 1):
c) Calcule la deriva direccional en el punto P (1; 1) en la dirección del vector !
y = (3; 4).
d ) Encuentre la ecuación del plano tangente y la ecuación vectorial de la recta normal a la grá…ca
de f en el punto (5; 2; f (5; 2)):
p
4. p
Considere la función f (x; y; z) = x2 + y 2 + z 2 :Usando diferenciales halle un valor aproximado de
(1;01)2 + (2;02)2 + (2;97)2 .
5. Considere la super…cie S de…nida por
xy 2 + 4yz 3
xz = 0
( )
a) Encuentre la ecuación del plano tangente a la super…cie S en el punto P = (2; 1; 1):
@z
b) La ecuación (*) para S de…ne a z como función implícita de x and y. Calcule
@y
6. Halle y clasi…que los puntos críticos de f (x; y) = x2 + y 2 + x2 y + 4:
.
SEGUNDA PARTE
1. Selección múltiple. Marque con una X, la respuesta o respuestas correctas. (Lea con cuidado).
a) La longitud de la curva r(t) = (sen(t); cos(t); t) para 0
t
=4 es
p
p
2
C:
2
D:
A:
B:
4
4
!
b) Sea !
r : I R ! Rn es diferenciable y es tal que r0 (t) = 2 para todo t 2 I: Sobre el vector
aceleración, dos a…rmaciones son falsa, seleccionelas.
A: La componente normal es cero
B:
El vector aceleración es cero
!
!
C: r00 (t) es perpendicular a r0 (t)
D:
La componente tangencial es cero
! ! !
c) El vector binormal de una curva está dado por B = T N . Dos a…rmaciones son verdaderas,
selecciónelas
dB
dN
y B son perpendiculares B:
y N perpendiculares
A:
dt
dt
dB
C: dt y T son colineales
D: N y T son colineales
d ) Si x2 + (1 + y 2 )z = 0 y z = f (x; y) implicitamente, si z =
@f
(1; 0) es
@y
A: 0
B: 2
C:
2 D: No se puede calcular
1 cuando x = 1; y = 0; el valor de
e) En cual de las siguientes direcciones una función z = f (x; y) desde un punto P; decrece más
rapidamente.
A.
@f
@f
@x (P ); @y (P )
@f
@x (P );
B:
@f
@y (P )
f ) Si f tiene un punto crìtico en (1; 2) talque
Entonces
A: f tiene un máximo en (1; 2)
B:
C: f tiene un punto silla en (1; 2)
D:
@f
@f
@x (P ); @y (P )
C:
@2f
@x@y (1; 2)
< 0;
@2f
@y 2 (1; 2)
= 0;
curvatura
!
T 0 (t)
A. k(t) = !
T 0 (t)
k(t)
de
una
curva
!
T 0 (t)
B: k(t) = !
v 0 (t)
@2f
@x2 (1; 2)
@f
@y (P )
< 0:
f no tiene ni máximo ni mínimo en (1; 2)
f tiene un mínimo en (1; 2)
1 d
g) Sea !
r : I R ! R3 una función vectorial diferenciable, entonces
2 dt
!
A: k!
v (t)k
B:
a (t) !
v (t)
!
!
C: a (t)
D:
v (t) !
a (t)
h) La
@f
@x (P );
D:
dos
veces
2
k!
r 0 (t)k es igual a
diferenciable
está
!
T 0 (t)
C. k(t) =
v(t)
D. k(t) =
dada
por
k!
a (t) !
v (t)k
:
v 3 (t)
i ) Suponga que k!
r (t)k es constante para todo t; entonces
!
!
A. r (t) y a (t) son perpendiculares B. !
r (t) y !
v (t) son colineales
!
!
!
C. r (t) y v (t) son perpendiculares D. r (t) es perpendicular a !
v (t) y a !
a (t):