Certamen 1, MAT-210 Algebra Lineal

Universidad Técnica Federico Santa María
Departamento de Matemática
Semestre I, 2016
Profesor: E. Cerpa. Ayudante: I. Pinedo
Certamen 1, MAT-210
Algebra Lineal
Pregunta 1 (20 puntos) Hallar los valores del parámetro γ que hacen compatible el siguiente
sistema, y resolverlo en esos casos:
x + 3y + z = 0,
2x + y − 3z = 5,
−x + 7y + 9z = γ.
Pregunta 2 (40 puntos) Se considera el espacio vectorial R4 sobre el cuerpo R y
n
.
o
W := (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 x1 + 2x2 + x3 + 3x4 = 0, x1 + x2 + 2x3 − x4 = 0
1. Demuestre que W es un subespacio vectorial de R4 .
2. Determine una base BW para W y su dimensión.
3. Encuentre para R4 una base B1 que contenga a BW .
4. Encuentre las matrices cambio de base entre la base canónica B2 de R4 y la base B1 .
Pregunta 3 (40 puntos)
1. Se considera el espacio vectorial
M2×2 (R) sobre el cuerpo R. Considere V el conjunto de
a b
todas las matrices A =
tales que
c d
1 1
1 1
=
A
A
1 1
1 1
Pruebe que V es un subespacio vectorial de M2×2 (R), encuentre una base e indique su
dimensión.
2. Sea B una matriz en Mm×n (R) sobre el cuerpo R. Denotemos, para cada i = 1, · · · , m,
por β~i ∈ Rn el vector compuesto por la la i-ésima fila de B. Suponemos que
dimh{β~1 , β~2 , β~3 , · · · , β~m }i = 1.
Demuestre que existen m reales c1 , c2 , · · · , cm y n reales d1 , d2 , · · · , dn tales que


c1
 c2  

B =  ..  d1 , d2 , · · · , dn .
 . 
cm