Demostración de la ley básica de recurrencia o Triángulo de Pascal

Demostración de la ley básica de recurrencia o Triángulo de Pascal  n  1  n   n 
  
 .  k  1  k   k  1
Se trata de demostrar que para n  0, 0  k  n  1 , se cumple que 
Para ello calculamos por separado ambos miembros de la supuesta igualdad y compararemos después los resultados. Veamos el lado izquierdo:  n  1
(n  1)!
(n  1)  n !




 k  1 (k  1)!(n  1  (k  1))! (k  1)  k ! (n  k )!
n!
n 1  n  n 1

  
k ! (n  k ) ! k  1  k  k  1
Calculemos ahora en el lado derecho: n
n  n  n
n!
n!
nk
 


 
  
 k   k  1  k  (k  1)!(n  k  1)!  k  (k  1)!(n  k  1)! n  k
n
n ! (n  k )

 
 k  (k  1)  k ! (n  k )  (n  k  1)!
n
n!
n  k n n n  k n n  k 

     
   1 
 

 k  k !(n  k )! k  1  k   k  k  1  k   k  1 
 n   n  k  k  1  n  n  1
  
 
k  1   k  k  1
k 
Dado que ambos resultados son iguales, queda demostrada la ley de recurrencia. NOTA: Se ha usado la regla lógica que dice que “dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí”