La demostración en Matemáticas
Transcripción
La demostración en Matemáticas
Origen, nudo y desenlace de una investigación sobre los Esquemas de Prueba. Aspectos Cognitivos Marcelino Ibañes y Tomás Ortega. [email protected] Análisis Matemático y Didáctica de la Matemática. Facultad de Educación y Trabajo Social. U. Valladolid. 0. ORIGEN DE LA INVESTIGACIÓN. EL TEOREMA DE. THALE.S El trabajo de investigación desarrollado en la Universidad de Valladolid sobre la demostración matemática comienza con un test que se realizó a alumnos del Curso de Capacitación Pedagógica (CAP) en el curso 1993-94. Después de mostrar el teorema de Tales y su demostración en una transparencia, sin explicaciones adicionales, se pidió a los alumnos que respondieran si ellos creían que el teorema estaba realmente demostrado o, por el contrario, la prueba estaba mal o era incompleta. Se trata de la demostración sintética dada por P. Puig Adam (1980). La transparencia estuvo expuesta ininterrumpidamente hasta que los alumnos emitieron su respuesta. Los resultados fueron los que recoge la tabla adjunta: Licenciaturas Respuestas positivas Respuestas negativas Total Economistas 9 6 15 Químicos y Biólogos 5 4 9 Ingenieros y Arquitectos 7 4 11 Físicos 13 14 27 Matemáticos 9 12 21 Respuestas totales 43 40 83 Tabla 1. Test sobre la demostración del teorema de Tales. A la vista de estos resultados y de las explicaciones dadas por los alumnos, nos formulamos una serie de interrogantes, cuya respuesta debía ser estudiada, y entendimos entonces que una clasificación de las demostraciones desde el punto de vista de la matemática, junto con la descripción de las técnicas de uso más frecuente en el ámbito de la Educación Secundaria, que es cuando los alumnos se inician en el razonamiento deductivo, constituye un primer paso en el estudio de este tema. 1. PROPUESTA DE CLASIFICACIÓN Según el criterio que adoptemos, obtendremos diversas etiquetas para la demostración; así distinguiremos, en relación con el enunciado del teorema el tipo; referente a la propia demostración, los métodos y estilos; y, en lo que atañe a la forma de exposición, el modo: - Tipo, si atendemos a la estructura lógica del enunciado. * En relación a la implicación: De condición necesaria o suficiente y De condición necesaria y suficiente. * En relación al cuantificador existencial (universal): Existencia simple, De imposibilidad (de no existencia), De existencia y unicidad. - Método, según que se atienda a un procedimiento lógico o a otro: por silogismo, por casos, por reducción al absurdo, por inducción completa, constructivo (ejemplo o contraejemplo), por analogía, por dualidad. 1 - Estilo, si atendemos a los procedimientos matemáticos: geométrico, algebraico, de las coordenadas, vectorial, del Análisis Matemático, probabilístico, topológico, etc. - Modo, atendiendo al procedimiento de exposición: sintético o directo y analítico o indirecto. Es fácil de comprender que el tipo de demostración depende de la estructura lógica del enunciado, y que éste no siempre se muestra como una condición necesaria o suficiente o como conjunción de ambas. Sin embargo, se verifica el siguiente parateorema de enunciados. Parateorema. Cualquier teorema matemático puede enunciarse en términos de implicaciones mediante una de las siguientes formas: con una condición necesaria, con una condición suficiente o con una condición necesaria y suficiente Ejemplo. El enunciado " 2 es irracional" significa: "Si x es un número real positivo que verifica x2=2, entonces x es irracional". En este trabajo, que aparece publicado en Ibañes, M. y Ortega, T (1997a-b) se presentan abundantes ejemplos de todos los tipos, modos, estilos y métodos, así como una breve aplicación de esas técnicas como resolución de problemas. A título de ejemplo, se transcribe el siguiente ejemplo que responde a varias características (inducción, geométrico y sintético). Ejemplo. A veces resulta interesante utilizar la inducción de forma regresiva: Construir un triángulo equivalente en área a un polígono convexo. C La figura 1 muestra cómo puede pasarse de un polígono DABC... de n lados, a otro equivalente (de la misma área) DA'C... de n-1 lados. En particular, el cuadrilátero ABCD tiene la misma área que el triángulo A´CD. Se ha efectuado una transformación topológica "estirando DA" hasta que DA', de manera que BA’ es paralelo a CA. y "presionando en B" hasta que B se sitúe en CA’. B A’ A D Figura 1. Inducción Matemática 2. LAS GRANDES IDEAS DE DEMOSTRACIÓN A TRAVÉS DE LA HISTORIA Muchos historiadores coinciden en que Tales de Mileto (primera mitad del siglo VI a.C.) fue el fundador de la geometría como sistema deductivo, introduciendo la noción de demostración. Según Proclo, Tales estableció y demostró cuatro teoremas de Geometría aunque sus propias demostraciones, más que el rigor, buscaban el convencimiento. Sin embargo, en opinión de Boyer (pág. 111), las controversias causadas por el descubrimiento de parejas de segmentos inconmensurables (atribuido a Hipaso de Metaponto, un pitagórico tardío de finales el siglo V a.C.) y a las paradojas de Zenón (mediados el siglo V a.C.) pueden ser el punto de partida para la forma racional deductiva de la matemática. Como ejemplo, el siguiente texto, que esta tomado de Boyer, pp.109-110, prueba de forma irrefutable la no existencia de indivisibles en el tiempo. Entre las más controvertidas de las paradojas sobre el movimiento, y más difícil de describir, está la del Estadio, pero en todo caso el argumento puede formularse más o menos de la manera siguiente: sean A1, A2, A3, A4, cuatro cuerpos de igual tamaño en reposo; sean B1, B2, B3, B4, cuerpos del mismo tamaño que los A y que se mueven hacia la derecha uniformemente de manera que cada B adelanta a cada A exactamente en un instante, es decir, en el más pequeño intervalo de tiempo posible, o A1 B1 B2 A2 B4 C1 A4 B5 C2 Figura 2 2 A5 C4 A1 A2 A4 A5 B1 B2 B4 B5 C1 C2 C4 C5 C5 Figura 3 indivisible de tiempo. Sean ahora C1, C2, C3, C4, cuerpos también del mismo tamaño que los A y los B, y que se mueven uniformemente hacia la izquierda con respecto a los A, de manera que cada uno de los C adelanta a uno de los A en un instante indivisible de tiempo. Supongamos que en un instante dado los cuerpos en cuestión ocupan las posiciones de la figura 2. Al cabo del intervalo de un instante, es decir, al cabo de una subdivisión indivisible de tiempo, las posiciones serán las de la segunda figura 3. Está claro, pues, que mientras tanto C1 habrá adelantado a dos de los B, y por lo tanto el instante transcurrido ha sido dividido en dos partes iguales, y así no puede ser el intervalo de tiempo mínimo, puesto que podemos tomar como nueva unidad de tiempo más pequeña el intervalo durante el cual C1 adelanta a uno solo de los B. Platón (429-348 a.C.), del que es bien conocido su énfasis en la naturaleza abstracta de los objetos matemáticos, fue posiblemente el primero en utilizar conscientemente el modo de exposición analítico de una demostración matemática con fines pedagógicos, lo que supone invertir el proceso de razonamiento que lleva de los axiomas a la proposición que se pretende probar (Boyer, p. 126). Por otra parte, para Kline (p. 75) Platón fue el primero en sistematizar las reglas de la demostración rigurosa, y en su Academia se ordenaron los teoremas según una secuencia lógica. Así se aprecia en el siguiente fragmento del libro VI de La República: “Bien sabes a mi juicio que los que se ocupan de la geometría, del cálculo y de otras ciencias análogas, dan por supuestos los números impares y los pares, las figuras, tres clases de ángulos y otras cosas parecidas a éstas, según el método que adopten. Emplean estas hipótesis, como si en realidad las conociesen, y ya no creen menester justificar ante sí mismos o ante los demás lo que para ellos presenta una claridad meridiana. Empezando por ahí, siguen en todo lo demás un camino semejante hasta concluir precisamente en lo que intentaban demostrar.” (Platón, 1988, p. 777). Destacan personajes como Hipias, Hipócrates de Chíos, Arquitas (maestro de Platón), que vivieron en el S V a. C. Eudoxo de Cnido (408-355 a.C.), que según Arquímedes fue el creador del enunciado que ahora se conoce como axioma de Arquímedes: “Dadas dos magnitudes del mismo tipo y ambas distintas de cero, se puede encontrar un múltiplo de cualquiera de ellas que exceda a la otra”. Este enunciado permite establecer el método de exhausción cuyo enunciado es este: “Si de cualquier magnitud extraemos una parte no menor que su mitad y si del resto extraemos de nuevo una cantidad no menor que su mitad, y si continuamos este proceso de sustracción, terminaremos por obtener como resto una magnitud menor que cualquier magnitud del mismo tipo dada de antemano” Este método fue utilizado por Eudoxo para probar que la razón entre las áreas de dos círculos, a/A, es igual a la de los cuadrados de sus diámetros, d2/D2, método que sin duda es un precursor del Cálculo. Eudoxo inscribía polígonos regulares de n lados en ambos círculos, consideraba sus áreas pn y Pn y duplicaba el número de lados (Como es sabido, estas áreas cumplen la relación pn/Pn=d2/D2 para todo n). Un vistazo sobre la figura 4 pone de manifiesto que el área de estos nuevos polígonos aumenta en más de la mitad el área delimitada por el círculo y por el polígono. Suponiendo que a/A<d2/D2 existirá un número A’<A tal que a/A’=d2/D2. Considerando ahora que A-A’=e, aplicando el método de exhausción, es claro que se encontrará un polígono de k lados, de área Pk, tal que A-Pk<e y, por tanto, A’<Pk. Como habíamos supuesto que a’/A=d2/D2 y que pn/Pn=d2/D2 para todo n, entonces, al ser pk/Pk=a/A’ y A’<Pk., entonces a<pk, que es imposible por tratarse de polígonos circunscritos. Suponiendo ahora que a/A<d2/D2, considerando unas magnitud a’>a tal que a’/A=d2/D2, se llega a otra contradicción y por tanto se cumple la tesis del teorema. Figura 4. Euclides, que vivió alrededor del año 300 a.C., se educó, probablemente, en la Academia de Platón, y enseñó en Alejandría. Sus Elementos recogen – con fines didácticos- gran parte del saber matemático de la época, aunque no se trata de una 3 simple recopilación, puesto que a él parece que se deben la elección de los axiomas, la secuenciación de las proposiciones y muchas de las demostraciones que contiene. Los 13 libros de esta obra (1-6 Geometría plana, 7-9 Teoría de números, 10, Inconmensurables, 1113 Geometría de sólidos), que fue creada para servir de texto en la Universidad de Alejandría, tuvo una enorme influencia sobre todas las generaciones de matemáticos durante muchos siglos, inculcando a todos ellos unas ideas muy estrictas sobre el rigor y el método deductivo, influencia que puede extenderse a todos los estudiantes hasta épocas relativamente recientes, ya que sus textos de geometría han sido durante todo este período los propios Elementos o adaptaciones resumidas de esta obra. Arquímedes de Siracusa (287-212 a.C.), el matemático más importante de la Antigüedad, utilizó como ningún otro el método hipotético-deductivo. Arquímedes es consciente de que sus primeros pasos carecen de rigor y postula que es más fácil demostrar algo cuando de antemano se tiene una idea de lo que se quiere obtener, e indica que tiene un método mecánico que le ayuda a preparar el camino de las demostraciones. Uno de los teoremas que descubrió por este método fue éste: El área del segmento parabólico, ABC, es un tercio del área del triángulo APC, siendo AP la tangente a la parábola en A y PC “con la misma dirección que el eje de la parábola. Arquímedes consideró que AH es una palanca con punto de apoyo en K (punto medio de PC y de AH) y demostró que si se suspenden de H todos los segmentos lineales (indivisibles) que conforman el segmento parabólico en la dirección del eje, su masa equilibra la del triángulo APC. La distancia de K al c.d.m. del triángulo y de K a H acaba la demostración. Torija (1999, pág. 67). Este teorema y otros de naturaleza parecida también pueden considerarse precursores del cálculo de cuadraturas y sus enunciados pueden ser perfectamente válidos como problemas históricos motivadores del cálculo integral. En la Alta Edad Media Oxford y París son los centros del saber, su interés se centra en la cinemática y, por primera vez, se formula la velocidad de cambio uniforme (regla del Merton College), siendo Nicole Oresme, hacia el 1360, el primero que consigue verificar geométricamente esta regla, figura 6, y demostrar la divergencia de la serie armónica. H P K B C A Figura 5. Figura 6. La introducción de un simbolismo adecuado fue lo que permitió a Tartaglia-Cardano-Ferrari (1500-1576) resolver las cúbicas y las cuárticas (Alexandrov y otros, 1973) a la vez que plantearon la problemática de los “números imaginarios”, ya que no sabían explicar como, por ejemplo, la raíz real x=4 de x4=15x+4 podía ser una de las soluciones obtenidas por ellos: x = 3 2 + − 121 + 3 2 − − 121 (Esteban, Ibañes y Ortega, 1998). Bombelli (1526-1573) fue el primero en dar una interpretación adecuada de los radicandos, actualmente complejos conjugados, tales que la suma de sus partes reales es 4. Esta invención abre la puerta a otro campo numérico y a otro estilo de demostración importante: el estilo de la variable compleja. El descubrimiento de los logaritmos por John Napier (1550-1647) fue otra aportación importante que permitió desarrollar el cálculo algorítmico. Otra consecuencia importante fue la inversión en la dependencia del álgebra respecto de la geometría, pues a partir de entonces se resolvieron problemas geométricos mediante procedimientos algebraicos; un buen ejemplo de ello lo tenemos en la geometría analítica de 4 Descartes (1596-1650) y de Fermat (1601-1665). De esta forma, el estilo geométrico puro dio paso al estilo propio de la geometría analítica, lo que supuso la aportación de una nueva metodología de demostración. Además, a esta época corresponde la introducción de nuevos métodos de demostración. Así, Pascal (1623-1662) expuso con toda claridad el método de inducción completa, y no deja de ser paradógico que Peano fundamentara los números naturales dos siglos después, utilizando estos mismos axiomas. También es interesante la contribución de Fermat al Análisis Matemático. Fermat fue el primer matemático que descubrió un método para hallar máximos y mínimos de las “Parábolas y de las Hipérbolas de Fermat”) y también descubrió cómo aplicar este “Método de los Valores Próximos” para calcular las tangentes a estas curvas en asbcisas concretas. En estos tiempos comenzó también a desarrollarse el Análisis. Sus creadores –Cavalieri (1598-1647), Barrow (1630-1677), Newton (1642-1717), Leibniz (1646-1716), y otros-, se lanzaron abiertamente al descubrimiento de nuevos resultados, descuidando los aspectos de rigor. Los conceptos sobre los que se basaron –indivisibles, infinitésimos, diferenciales, etc.no fueron bien formulados ni entendidos. Se usaron complicados razonamientos geométricos sin la suficiente solidez y los desarrollos algebraicos empleados carecían de la fundamentación lógica que los griegos dieron a la geometría. Naturalmente, surgieron fuertes críticas a los nuevos métodos, pero la utilidad y la adecuación de las soluciones parecían justificar los resultados obtenidos, acallando las protestas por el abandono de la demostración en el sentido deductivo. Cavalieri, sin saberlo, enlaza con los indivisibles de Arquímedes y considera que un área está formada por segmentos rectilíneos indivisibles y que un volumen está formado por láminas planas, también, indivisibles. Asimismo, parece que fue Cavalieri el primero en admitir el principio general de despreciar los infinitésimos de orden superior, “ya que éstos no influyen en el resultado final” y aporta el conocido principio de Cavalieri para calcular volúmenes. La cuestión de la trascendencia de π, que no fue resuelta hasta el año 1882 por Lindemann, recibe la atención de muchos matemáticos ilustres que idean algoritmos para calcular aproximaciones, entre ellos Van Ceulen (1540-1610), Viete, Wallis (1616-1703), Gregory (1638-1675). Asimismo, la independencia del V postulado de Euclides no se resolvió hasta Lobachewsky, 1829, que marca el nacimiento de las geometrías no euclídeas. La relevancia de Isaac Newton (1642-1727) es indiscutible y con él la matemática dio un avance importante. Los primeros descubrimientos de Newton tienen que ver con la expresión de funciones en series infinitas, pero los problemas relativos a la velocidad del cambio (fluxión) de magnitudes que varían de forma continua (fluentes), tales como longitudes, áreas, volúmenes, temperaturas, etc. son las que ocupan su atención. Newton conjuga las series infinitas y las velocidades de cambio y tiene en mente el modelo físico de la conducción de fluidos, fundamentalmente el flujo del agua, en la que supone que al variar el tiempo en un instante “pequeño” la situación es similar a la anterior. La forma original del binomio de Newton tiene que ver con el cálculo variacional, Boyer (1997 pág. 495), y representa el intento de predecir un estado futuro usando sólo los datos una situación de inicio. Esta visión fue desarrollada ampliamente durante el S XVIII y se consolidó como un paradigma socialmente aceptado. La ciencia buscó entonces predecir la evolución de los fenómenos de flujo apoyándose en la metáfora del flujo de agua, “aquél que no cesa ni invierte su destino”. 5 Durante el siglo XVIII continúa imparable el desarrollo del cálculo, destacando la figura de Euler (1707-1783) que se distingue por la manipulación simbólica con la que contribuyó a reescribir buena parte de la matemática conocida (sobre todo del análisis infinitesimal de Newton y Leibniz), entonces tal y como la conocemos hoy en día. La expresión eiπ+1=0, que relaciona los 5 números más importantes, es suya, y suyo es el mérito de haber introducido el simbolismo actual (Σ, ∏, π, e, i, γ, lx para ln(x) y f(x) –el símbolo ∞ ya había sido utilizado por Wallis-). Esto, sin lugar a dudas, motivó un cambio sustancial en los procedimientos de demostración del Análisis y, a finales del S XVIII la matemática se caracterizaba por: - Su dependencia de la física. La conveniencia de las conclusiones físicas aseguraba la corrección de los procedimientos matemáticos. - Supremacía del razonamiento inductivo. La construcción axiomática dio paso a la argumentación a partir de ejemplos particulares. - Confianza en las operaciones formales. Lo que es cierto para cantidades finitas se consideraba válido para cantidades infinitas, lo que es cierto para polinomios se generalizaba para series, lo que se había probado para series convergentes se extendía a cualquier serie, etcétera. - Los matemáticos se hicieron indiferentes al rigor, lo importante era progresar. En el siglo XIX la figura de Gauss (1777-1855) dio paso a una época de revisión de los métodos que se han utilizado en los dos siglos anteriores. Así, al período de expansión y creación le siguió otro caracterizado por la reflexión y la fundamentación. Aparte de sus descubrimientos en geometría plana, Gauss redescubrió la forma de representar los números complejos y a menudo utiliza representaciones gráficas como métodos de resolución. Así en la demostración del teorema fundamental del álgebra dada por Gauss mezcla estilos y hace muchas consideraciones geométricas como ésta: Gauss calcula las soluciones de zn–4i=0 generalizando las de la ecuación z2–4i =0 y para ello supone que la solución es a+bi, sustituye z, y separando parte real y parte imaginaria se tiene que cumplir que a2–b2=0 y que ab–2=0. Del gráfico de la figura 7, en el que a está en el eje real y b en el imaginario se obtienen las soluciones: Figura 7. 2 π / 4 y 2 5π / 4 . Finalmente, el descubrimiento del Álgebra Modular supuso otras técnicas de demostración muy diferentes. El Cours d’Analyse de Cauchy (1789-1857), de 1821, es un ejemplo de rigor. Basándose en el concepto de límite, definió otros conceptos fundamentales –continuidad, derivada, integral- y dedujo los teoremas básicos del Análisis. Esta respuesta de Cauchy a la falta de rigor genera otros problemas, y los matemáticos del XIX se propusieron demostrar los teoremas del Análisis de una forma puramente aritmética, dando lugar así a la aritmetización del Análisis, y, por tanto, se requiere dar una fundamentación de los números naturales. Peano (1858-1932) lo hace definiéndolos axiomáticamente. La misma técnica es empleada por Hilbert (1862-1943) en Geometría, pero no pudo demostrar la independencia de los axiomas de la geometría euclídea, ya que la consistencia de ésta prueba quedaba condicionada a la consistencia de la aritmética. Surgen paradojas en la teoría de conjuntos que dejaron abierto el problema de la consistencia de esta teoría. Finalmente, Gödel demuestra que, utilizando los métodos de Hilbert, es imposible demostrar que los axiomas de la aritmética no conduzcan a una contradicción, lo que le permite enunciar – en 1931- su teorema de incompletitud, que afirma que una teoría axiomática que incluya la aritmética no puede ser a la vez consistente y completa. Por tanto, ningún sistema de axiomas resulta 6 adecuado para cualquier rama suficientemente amplia de la matemática, porque si quisiéramos que la teoría correspondiente fuera consistente, necesariamente habría en ella proposiciones indecidibles aunque intuitivamente correctas. Las técnicas de la Matemática Aplicada proporcionan otro punto de vista y la cantidad de artículos de contenido matemático que se publican en la actualidad hace muy difícil la tarea de su revisión (dilema de Ulam, citado por Davis y Hersh 1988, pág. 33). 2.1. Reflexiones sobre la demostración en la Historia de la Matemática Este breve recorrido histórico sobre las ideas que han rodeado la demostración matemática, desde la propia disciplina, nos permite hacer algunas reflexiones que pueden ser útiles: - Las exigencias de rigor en la argumentación matemática han ido variando a lo largo de la historia debido a los distintos conocimientos, necesidades y sensibilidades. - Aún en las épocas en las que se ha trabajado con mayor rigor no se ha podido conseguir una certeza total en los resultados obtenidos. El rigor absoluto es inalcanzable. - No existe un modelo de demostración independiente de la época ni de las personas que han construido el conocimiento matemático. Distintas argumentaciones, comprobaciones, justificaciones o pruebas, se han utilizado para verificar o explicar los teoremas. - No se debe pensar que la idea actual de demostración será la última. Siempre es posible introducir mejoras, proponer otro enfoque. Incluso, pueden surgir dificultades inesperadas. - No ha habido siempre un total acuerdo entre los matemáticos en cuanto a la conveniencia de los procedimientos utilizados, produciéndose, a veces, fuertes controversias. - La búsqueda de distintas fundamentaciones para una teoría, de diferentes exposiciones, estilos y métodos para una demostración es enriquecedora. - La evolución del lenguaje y el simbolismo han tenido mucho que ver con el estilo y el modo de las demostraciones y su adaptación ha resultado esencial para el desarrollo de las matemáticas y, en particular, para el perfeccionamiento de las demostraciones. 3. ANTECEDENTES Y METODOLOGÍA La demostración, como se ha visto en los parágrafos anteriores, es un procedimiento típico de las matemáticas, pero no es el único instrumento de validación que se emplea en matemáticas. Por otra parte, la verificación no es la única función de las demostraciones, puesto que la intención de éstas también puede ser explicar, sistematizar, etc. Finalmente, el término demostración tiene distintos significados dependiendo de las diferentes épocas y de distintos contextos institucionales. La lectura de la literatura especializada comenzó en los inicios de este trabajo de investigación y esas lecturas ratificaron nuestra creencia, nos ayudaron a delimitar el problema a investigar y a ver otras dimensiones de la demostración en relación con procesos de enseñanza–aprendizaje, nos orientaron y nos proporcionaron un marco teórico, sobre todo, de Villiers (1993), y Harel y Sowder (1998). Por la relación que guardan entre sí, nuestra investigación se centra en tres focos: Esquemas de prueba, Reconocimiento de procesos matemáticos y Estudio de algunas expresiones. El estudio del primero de ellos, que llevó a la consideración de los otros dos, es el que se describe aquí, y las investigaciones que se citan en este parágrafo se han clasificado en cuatro apartados: investigaciones generales sobre el aprendizaje de la demostración, 7 investigaciones que versan sobre las funciones de la demostración, investigaciones que definen niveles de demostración, e investigaciones sobre la demostración en el aula. 3.1.Investigaciones generales sobre el aprendizaje de la demostración Estas investigaciones se caracterizan por exponer una visión general del problema, recoger las opiniones y hallazgos de otros investigadores, resaltar la importancia de la demostración en la educación matemática, o abordar varios aspectos. Arsac (1988) revisa las investigaciones sobre la enseñanza de la demostración en Francia; Alibert y Thomas (1991) proponen alternativas a la presentación tradicional de las demostraciones; Dreyfus (1999) se preocupa por el punto de vista de los alumnos en relación con el aprendizaje de la demostración. En España: Martínez Recio (1999) aborda la demostración desde un punto de vista institucional y las dificultades de los estudiantes, y L. Bravo (2002) desarrolla una investigación en torno a estrategias didácticas para la enseñanza de las demostraciones geométricas. Hanna (1989 a) cita el trabajo de varios autores (Lakatos, Kitchery, Davis, …) y piensa que en la aceptación de un teorema su significado global, la comprensión del resultado y los conceptos subyacentes juegan un papel más importante que la existencia de una demostración rigurosa; y, en consecuencia, enuncia una serie de factores para la aceptación de un nuevo teorema: comprensión, relevancia, compatibilidad, reputación, y existencia de un argumento convincente. En otro artículo (1995), mantiene que la demostración debe formar parte de cualquier currículo, destaca la función de verificación, pero cita también otras y considera que las buenas demostraciones son las que ayudan a comprender el significado del teorema que se pretende probar. Por otras parte, opina que en educación matemática la principal función de la demostración es la de explicación, y ensalza esta función frente a la de verificación. 3.2. Investigaciones sobre las funciones de la demostración En estas investigaciones se trata de responder a la pregunta ¿para qué sirven las demostraciones? Tradicionalmente se ha considerado que el fin primordial de la demostración consistía en verificar la proposición objeto de estudio. Sin embargo, Bell (1976) advierte tres significados de la demostración matemática (Verificación o justificación, Iluminación y Sistematización). De Villiers (1993) desarrolla las ideas de Bell y critica duramente la posición tradicional. Comienza su análisis con testimonios personales de matemáticos ilustres que consideran la función de la demostración exclusivamente en términos de verificación, y presenta un modelo en el que distingue y comenta las siguientes funciones: Verificación, concerniente a la verdad de una afirmación; Explicación, profundizando en por qué es verdad; Sistematización, la organización de varios resultados dentro de un sistema de axiomas, conceptos fundamentales y teoremas; Descubrimiento, es la invención de nuevos resultados; Comunicación, la transmisión del conocimiento matemático. Hersh (1993) afirma que la finalidad primordial de las demostraciones en la investigación matemática es la verificación y en la docencia la explicación. Van Asch (1993) estudia los argumentos de presentar u omitir demostraciones y las formas que se suelen utilizar para justificar un teorema. Reid (1996) pretende conciliar los puntos de vista de los estudiantes y de los profesionales de las matemáticas sobre la demostración. 3.3. Investigaciones que definen niveles de demostración Como el aprendizaje de la demostración presenta muchas dificultades, los investigadores distinguen distintas dimensiones, definen varios niveles y buscan estrategias útiles para los 8 alumnos que les permitan ir comprendiendo sus claves. Bell (1979) distingue tres dimensiones en el desarrollo de la comprensión y el uso de las demostraciones: grado de regularidad o de racionalidad esperado por los alumnos, cualidad explicativa de la respuesta, nivel de sofisticación de las técnicas de demostración disponibles para el alumno. Van Dormolen (1977), siguiendo la teoría de van Hiele, también distingue tres niveles de demostración correspondientes a los niveles de abstracción en los que trabaja el alumno. Semadeni (1984) propone, para la enseñanza de las matemáticas elementales, una vía intermedia entre la explicación intuitiva y la demostración formal que denomina demostración acción. Blum y Kirsch (1991), distinguen tres niveles de pruebas: demostraciones (pruebas), demostraciones pre-formales, y demostraciones formales. Balacheff (1987) distingue entre pruebas pragmáticas (efectuadas por el propio alumno), pruebas intelectuales y demostraciones y para este autor la distinción viene dada en función del contrato didáctico. En el ya citado artículo de van Asch (1993), el autor considera dos niveles de demostración: demostraciones formales y demostraciones pre-formales. Van Asch considera que “una prueba es preformal si tiene una línea de razonamiento que puede ser formalizada a la prueba formal, la idea esencial ya está presente”. Movshovitz-Hadar (1996) recomienda utilizar pruebas transparentes –pruebas de un caso particular en las que no se hace uso de la particularidad del caso- para ayudar a los estudiantes en un proceso gradual que les debe conducir a comprender demostraciones rigurosas. Miyazaki (2000) establece seis niveles entre las pruebas inductivas y las demostraciones algebraicas, y define los conceptos de demonstration y de proof, ambas en los niveles de Educación Secundaria. El trabajo de Harel y Sowder (1998) sobre los esquemas de prueba (EP) merece una atención especial por ser el trabajo de investigación que más ha influido en nuestra investigación. Estos autores entienden el proceso de prueba como "El proceso empleado por un individuo para eliminar o afianzar dudas sobre la veracidad de una observación, es lo que llamamos comprobación”. Además, indican que todo proceso de prueba incluye dos subprocesos: convencimiento (Ascertaining) y persuasión (Persuading). Para Harel y Showder “convencimiento” es el proceso que el individuo utiliza para eliminar sus propias dudas en torno a la veracidad de una observación, y “persuasión” es el proceso que el individuo utiliza para eliminar las dudas de otros en torno a la veracidad de una observación. Una cuestión esencial en este trabajo es conocer cómo se rechazan las conjeturas, o bien, se convierten en hechos. Y los autores definen el concepto de esquema de prueba así: El esquema de prueba de un individuo consiste en lo que constituye convencimiento (ascertaining) y persuasión (persuading) para ese individuo. El tercer apartado constituye el núcleo central de la investigación, y en él se presenta una clasificación de los EP en tres grandes bloques: De convicción externa, Empíricos y Analíticos. Sobre los primeros, los autores señalan que cuando los formalismos se enfatizan prematuramente, los alumnos entienden que el ritual y la forma constituyen justificación matemática. En estos esquemas de prueba las dudas se despejan mediante el ritual de la presentación (esquemas rituales), la palabra de una autoridad (esquemas autoritarios), o la forma simbólica del argumento (esquemas simbólicos). En los esquemas empíricos las conjeturas se validan o rechazan en virtud de hechos físicos o experiencias sensoriales. Los hay de dos clases: inductivos y perceptuales. A los EP analíticos los dividen en transformacionales y axiomáticos, y en estos admiten dos niveles cognitivos y llaman esquema intuitivo axiomático al que resulta cuando los axiomas que se utilizan en una prueba responden únicamente a la propia intuición de quien hace la prueba. Este esquema constituye un requisito cognitivo para el esquema axiomatizante, en el que la persona que lo posee es capaz de investigar las implicaciones de variar el conjunto de axiomas, o de axiomatizar una 9 determinada teoría. Por otra parte, los autores consideran que los esquemas axiomáticos, epistemológicamente, son una extensión de los esquemas transformacionales, de manera que estos últimos constituyen una etapa inevitable para alcanzar los primeros. 3.4. Investigaciones sobre la demostración en el aula Por último, bajo este epígrafe se incluyen varios artículos cuya principal finalidad es difundir experiencias con alumnos en el aprendizaje de la demostración. En ellos se recogen los objetivos, la metodología empleada, las dificultades que han encontrado los estudiantes, las categorías de análisis empleadas, etcétera. Bell (1976) se refiere a una experiencia con alumnos de 15 años en el Reino Unido y analiza las respuestas de esos alumnos construyendo unas categorías para los razonamientos empíricos y otras para los deductivos. Galbraith (1981) relata una investigación con alumnos de secondary school y utiliza la entrevista como medio de indagación. Martin y Harel (1989) describen una experiencia con estudiantes de magisterio de la Universidad de Illinois (USA) y vieron que más de la mitad de los encuestados aceptan argumentos inductivos como verdaderas demostraciones matemáticas y que muchos de los argumentos deductivos eran incorrectos. Fischbein, Tirosh y Melamed (1981), Tall y Vinner (1981), Fischbein (1982), Porteous (1990), Chazan (1993), Bero (1994), Moore (1994) también han desarrollado investigaciones interesantes en el aula. 3.5. Reflexiones sobre las investigaciones consultadas En las investigaciones analizadas se han podido apreciar una gran diversidad de temas y muchas aportaciones valiosas. Pero no se abordan los siguientes aspectos: - No se proponen secuencias didácticas para que los alumnos progresen de unos niveles de demostración a otros. - Se ha investigado muy poco en el reconocimiento de procesos, es decir, en su identificación y distinción. - No hemos encontrado investigaciones sobre la influencia de la utilización de determinadas expresiones en la comprensión del enunciado de los teoremas. - Ninguno de los autores consultados declara haber seguido la metodología de investigación-acción. 4. ANÁLISIS CURRICULAR Y DE TEXTOS. CONSIDERACIONES GLOBALES Se revisaron los planes de estudio del MEC desde 1934 hasta la LOGSE y se analizaron los textos de 11 editoriales, Ibañes (2001). De todas ellas destacan estas dos: - En LOGSE hay múltiples referencias al razonamiento matemático, pero no se indica qué clase de pruebas (comprobaciones, justificaciones, explicaciones, demostraciones, …) se puede esperar de los alumnos; y tampoco se dice nada de las distintas técnicas de demostración. Compárese con los comentarios del N.C.T.M. (1991, pág. 147-150). - En el tratamiento que dan los libros de texto a la demostración destaca la ausencia de intención didáctica, que se concreta en la uniformidad de métodos y estilos, en el silencio sobre sus funciones, en las casi inexistentes reflexiones sobre la naturaleza del procedimiento, en la ausencia de explicaciones sobre las expresiones que se utilizan, en la unánime carencia de explicaciones sobre el sentido global del proceso y de sus líneas maestras, y en el nulo interés por indicar otras vías de justificación para establecer afinidades y contrastes. 10 5. DELIMITACIÓN DEL PROBLEMA En el aprendizaje de la demostración se pueden considerar al menos dos tipos de actividades: entender demostraciones y hacer demostraciones. Aquí atenderemos principalmente a las primeras, lo que nos lleva a preguntarnos, ¿en qué consiste entender demostraciones? Ahora ya estamos en condiciones de indicar algunas características que contribuyen a la comprensión de este procedimiento matemático: comprender el enunciado, entender los pasos de la demostración, comprender globalmente la demostración. Esto último significa comprender el razonamiento empleado, para lo que es necesario poseer el esquema de prueba adecuado que permita: ser consciente de la necesidad de un razonamiento universalmente válido; la identificación del proceso; y el reconocimiento de las líneas maestras y las ideas clave de la demostración. En definitiva, se trata de averiguar qué procesos mentales deben tener lugar en el estudiante cuando se enfrenta a una demostración. Nosotros creemos, y así se ratificará en investigación, que para abordar una demostración el estudiante debe poseer un esquema de prueba adecuado que le permita comprender la situación y formarse una idea correcta de lo que hay que hacer. Aunque aquí no se describe, este estudio nos llevó a considerar el reconocimiento de procesos y las repercusiones de la presencia de algunas expresiones en el enunciado de un teorema. Además, se va a prestar atención a las funciones de la demostración que aprecian los alumnos en cada caso. Para concretar más la indagación que se llevó a cabo se formularon las hipótesis de trabajo que se pretendían constatar en la investigación, hipótesis que se conservan muy abiertas y que no se modifican en la investigación, ya que las precisiones vendrán dadas por las conclusiones. Hay hipótesis que tienen que ver con el reconocimiento de procesos y con los enunciados de los teoremas, investigación que aquí no se da cuenta: Hipótesis . El aprendizaje de la demostración matemática presenta numerosas e importantes dificultades para los alumnos. El EP de los alumnos de bachillerato está comprendido entre los esquemas empíricos y los intuitivo axiomáticos. Los alumnos no suelen distinguir las demostraciones de las comprobaciones o justificaciones. La manera de redactar el enunciado de un teorema puede afectar a su comprensión por parte de los alumnos. La metodología de investigación–acción es adecuada para la investigación que se pretende realizar. 6. METODOLOGÍA DE INVESTIGACIÓN Una vez que se ha definido qué se quiere investigar y cómo se desea hacerlo, es preciso elegir la metodología adecuada para afrontar con éxito este trabajo. Se optó por una metodología cualitativa basada en la investigación-acción, se completaron 3 ciclos, y se complementa con debates y entrevistas. Los instrumentos de recogida de datos son los siguientes: - Producciones escritas de los alumnos. Las características de la materia objeto de investigación –la demostración no es un tema del programa que cuente con un tiempo propio para su desarrollo- han aconsejado que, en parte, ésta se basara en una serie de cuestionarios que tuvieron que responder los alumnos, dando lugar a una abundante producción escrita, lo que ha aportado información acerca de sus concepciones previas, sus dificultades, su grado de comprensión de los conceptos tratados, su disposición a aplicar distintos procedimientos, etc. - Debates. Se programaron pensando que ayudarían a esclarecer las respuestas de los alumnos al tener que confrontar y defender sus opiniones con las de otros compañeros. - Entrevistas. Se idearon para esclarecer aún más algunos aspectos sobre ideas y posturas de los alumnos sobre las que el Equipo Investigador podría tener algún tipo de duda. 11 - - Grabaciones en audio. Todos los debates y las entrevistas fueron grabados en audio. Después, estas grabaciones han sido transcritas y analizadas, y han servido para que el Director de la Investigación ocupara el tercer vértice del triángulo. Para facilitar el análisis de los documentos se crea un sistema de categorías de comprensión matemática siguiendo el modelo, ya clásico, usado por muchos investigadores (Bell (1976), Castro (1994), Cubillo (1997), Blázquez (1999)). P l an t eam ien to d e l p ro b lem a P r im e r cic lo P la n i fic a c ión A c c ió n R ef le xi ó n O b s e rv a ci ó n S e gun do c iclo P la n ific a c i ón A c c ió n O b s e rv ac i ó n R e fl e xi ón T e rc er cic lo P la n ific a c i ón Los modelos de investigación realizadas en la A c c ió n Universidad de Valladolid han seguido un R e fl e xi ón esquema en el que sobre el Director han recaído O b s e rv ac i ó n labores de observador y de control, revisando todos los procesos de aula que se han llevado a C o n clu sio n es cabo a partir de las grabaciones de audio y del material didáctico que se ha utilizado. Se ha Figura 9 considerado la saturación, se han hecho triangulaciones en las entrevistas (2 alumnos y el profesor) y otra posterior con el director, y se ha fomentado el debate y participación de los alumnos en equipos, que también han sido analizados por el director. 7. INVESTIGACIÓN PROPIA Como punto de partida se consideran los esquemas de prueba EP de Harel y Sowder (esquemas de convicción externa, empíricos y analíticos). No se consideran los perceptuales por infrecuentes en nuestro estudio y, de los axiomáticos, obviamente, sólo se pueden tener en cuenta los del primer nivel, es decir, los intuitivo axiomáticos. Como veremos en la investigación, no puede decirse que los alumnos de este nivel (3º de B.U.P. ó 1º de Bachillerato) posean un EP concreto, sino que razonan influenciados por varios de ellos y, así, utilizan uno u otro en función de la proposición que se les pide demostrar; además, reaccionan de distinta forma según que tengan que hacer una demostración o, simplemente, tratar de entender una que se les muestre; incluso, sus esquemas varían a lo largo de una secuencia didáctica. En el transcurso de la investigación, para hacer un análisis adecuado, nos veremos obligados a definir las modalidades de EP que enriquecen y completan la clasificación de Harel y Sowder (EP utilizado, EP aceptado, EP adherido, EP declarado, EP inicial y EP final). Asimismo, será conveniente definir distintas subcategorías en los EP inductivos y en los transformacionales. Los primeros se clasifican atendiendo a su interpretación por parte de los alumnos (falsamente inductivo -el alumno entiende la justificación de la proposición como su comprobación en algún caso-; o inductivo auténtico el alumno comprueba la proposición en algún caso particular, siendo consciente de la necesidad de suponer su validez universal ante la imposibilidad práctica de realizar la comprobación en todos los casos-), según el número de casos (de un caso -se comprueba en un caso particular-; o de varios casos -se comprueba en dos o más casos-) y por la forma de seleccionarlos (sistemático -la elección de los casos obedece a un criterio-; o no sistemático no hay criterio definido en la elección de los casos-). Los transformacionales, se clasifican atendiendo al procedimiento (estático o dinámico), por su extensión (particular -razona sobre 12 un objeto particular- o general -razona con elementos genéricos-) y según su grado de corrección (incompleto –razonamiento incompleto o incorrecto- o completo -razonamiento completo y correcto-). Con el fin de concretar más se formulan los siguientes dos objetivos generales de investigación: I. Averiguar el esquema de prueba de los alumnos –y contribuir al enriquecimiento del concepto de “esquema de prueba” con la introducción de distintas modalidades-. II. Mejorar los esquemas de prueba con los que trabajan los alumnos. La investigación que se ha llevado a cabo se estructura en tres ciclos y, en cada uno de ellos, pueden distinguirse las fases de planificación, implementación, análisis y reflexión. 7.1. Primer ciclo Se inicia en el 2º trimestre del curso 1996-97, cuando el equipo investigador se propone observar el EP de los alumnos de 3º de BUP. Para empezar, se ideó proponer al GE (3º B) el día 4-III-97, una cuestión, cuyas características y finalidades se describen a continuación. Cuestión: ¿Cuánto vale la suma de los ángulos de un triángulo? ¿Cómo lo justificarías? Objetivo: Determinar los esquema de prueba de los alumnos. - En el enunciado se evita intencionadamente el empleo de los términos demostrar, demostración, etcétera, puesto que podrían influir en los alumnos haciéndoles buscar respuestas más “académicas”, aumentando quizás, de este modo, el número de esquemas de convicción externa. Por el contrario, se utilizó el término justificar para permitir a los alumnos desarrollar, con plena libertad, lo que entendían que constituye un razonamiento de validación de una cierta proposición, mostrando así, de forma más auténtica, su EP. Precisamente, como la finalidad de este cuestionario era el estudio de los EP de los alumnos, se buscó intencionadamente una proposición que cumpliera estas condiciones: a) Que no hubiera sido probada por el profesor en clase, para permitir a los alumnos razonar de forma autónoma y espontánea, sin tener que recurrir a esfuerzos de memoria ni a ideas prestadas, fomentando así la utilización de argumentos más propios. La cuestión propuesta cumplía esta condición y, además, en los libros de texto de 2º y 3º de B.U.P., sólo está reflejada, sin ninguna explicación ni justificación complementaria. b) Que los términos matemáticos de su enunciado fueran conocidos por todos los alumnos, para evitar dificultades añadidas al único objetivo del cuestionario: conocer los esquemas de prueba. Obviamente, el resultado elegido cumple con esta condición. c) Que los alumnos dispusieran de los conocimientos matemáticos necesarios para justificar el resultado, también con la intención de centrar el objetivo de la cuestión en los esquemas de prueba. Se pensaba que todos sus alumnos cumplían con este requisito. d) Por idéntica razón, tratando de evitar que se infiltraran dificultades añadidas, se eligió un enunciado que no tuviera expresiones del tipo si …, entonces; la condición necesaria; etc. Categorías para el análisis En principio, se pensó en considerar como categorías los distintos EP descritos antes, pero las respuestas de los alumnos exigieron tener en cuenta tres niveles generales de respuesta según la justificación que hicieron. Son éstos: - N1. El alumno trata de probar el resultado de acuerdo con su esquema. - N2. El alumno no intenta justificar la proposición, sino que contesta en otro sentido. 13 - N3. El alumno no responde. Cuando el alumno trata de probar el resultado (caso N1), es cuando se observa el EP que emplea. Para su determinación se utiliza la clasificación antes mencionada, en la que los distintos esquemas que la componen bien pueden entenderse como niveles de respuesta ya que Harel y Sowder (1996) los consideran relacionados con distintos grados de madurez intelectual. Estos niveles, expuestos en orden creciente de madurez intelectual son: - Es1CE. El alumno manifiesta un esquema de prueba de convicción externa. - Es2Exp. El alumno manifiesta un esquema de prueba experimental. - Es3Ind. El alumno manifiesta un esquema de prueba inductivo. - Es4Tra. El alumno manifiesta un esquema de prueba transformacional. - Es5IA. El alumno manifiesta un esquema de prueba intuitivo axiomático. Como cada nivel está ligado a un esquema de prueba, en lo que sigue, nos referiremos a los niveles o a sus correspondientes esquemas indistintamente. A su vez, para cada uno de estos niveles o categorías, se consideran las subcategorías expuestas en la introducción del capítulo. En los esquemas transformacionales, se atiende a su extensión y grado de corrección de forma conjunta, y se distinguen estos niveles: - EC1PI. Particular incompleto. Razonamiento incompleto o incorrecto en un caso particular. - EC2PC. Particular completo. Razonamiento completo en un caso particular. - EC3GI. General incompleto. Razonamiento incompleto o incorrecto en un caso genérico. - EC4GC. General completo. Razonamiento completo, o casi completo, en un caso genérico. También se consideran errores de interpretación, y se distinguen los dos siguientes: - EI(PP). Presuponen lo que quieren probar. En su razonamiento, utilizan que la suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo es 180º como un hecho. - EI(ITH). Interpretan la tesis como una hipótesis. Parten de que la suma de los ángulos es 180º y, a partir de este hecho, deducen otras consecuencias. Análisis de las respuestas Responden 36 de los 37 alumnos de la clase y se observan los siguientes porcentajes: el 11% son Es1CE, el 8% son Es2EXP, el 17% son Es3IND, el 50% son Es4TRA y el 11% son Es5IA. Un análisis más minucioso permite enunciar las siguientes las reflexiones: 1. Hay muchos alumnos que, en distintos grados, no entienden satisfactoriamente lo que supone justificar una proposición y esto al margen del esquema de prueba que utilicen. No distinguen los procedimientos y tampoco lo que supone probar un teorema. En consecuencia, debe intentarse, por un lado, que los alumnos distingan una prueba o demostración de otros procesos matemáticos (reconocimiento y distinción de procesos). 2. En cuanto a los EP exhibidos por los alumnos, debe resaltarse su variedad, los esquemas inductivos se manifestaron menos numerosos de lo esperado, tanto por la propia experiencia docente del profesor investigador como por lo relatado por otros investigadores (Chazan, 1993) y, realmente, no hubo intentos serios de una prueba intuitivo axiomática. 3. Las apreciaciones anteriores y el hecho de que la mitad de los alumnos utilizaran un esquema de prueba transformacional, hizo pensar al profesor que éste era el esquema de prueba que, mayoritariamente, tenían sus alumnos. En consecuencia, el equipo investigador se propuso conducir a todos ellos hacia este EP y, a la vez, mejorarlo en los que ya lo poseían. 7.2. Segundo ciclo 14 Una semana después de realizar el cuestionario 1, y haber efectuado un primer análisis de las respuestas de los alumnos, se produjo una intervención en el aula para explicar a éstos los aspectos que se consideraron más relevantes. El profesor investigador hizo estas explicaciones siguiendo unas transparencias previamente elaboradas, que expuso a toda la clase durante un período lectivo de 50 minutos. Los alumnos intervinieron esporádicamente para solicitar algunas aclaraciones puntuales. 1. En primer lugar se aclaró el sentido de la pregunta: se trata de considerar un triángulo cualquiera y probar, de la forma que se estime conveniente, que la suma de las medidas de sus ángulos interiores es 180º. Se insistió en que no se debía partir del resultado conocido la suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo es 180º, sino justificarlo, contestar a la pregunta: ¿por qué esto es así? 2. El mayor esfuerzo de esta sesión se concentró en la reflexión 4, es decir, en conducir a los alumnos hacia el esquema de prueba transformacional y, para los que parecían poseerlo, tratar de mejorarlo, contribuyendo así, también, a la consecución del objetivo formulado al final de la citada conclusión 4. Para ello, se tomaron como base las propias respuestas transformacionales de los alumnos, exponiendo los distintos intentos que se dieron, así como su posible continuación con el fin de mejorarlos e, incluso, de convertirlos en una prueba auténtica. Se trató de resaltar el mérito de sus intentos, destacándose la posibilidad real de llegar a justificaciones completas a partir de sus ideas. Aquí sólo se muestran 2 casos. 1. Miguel Ángel argumenta: “Si cogemos uno de los ángulos del triángulo, por ejemplo el γ, e intentáramos hacerlo más grande, el α se haría más pequeño de forma progresiva …” (Véase figura 9) γ Esta respuesta puede mejorarse en el sentido de la figura 10: 2. Parecido es lo que propone David: “Si ponemos tres puntos en línea, β α vemos que no se forma ningún ángulo …, pero en el momento de mover uno vemos que se puede unir, creando ángulos …” (Acompaña el dibujo de la figura 11). Figura 9. Este argumento se puede completar según lo indicado en la figura 12: Finalmente, también se expusieron algunas formas de probar el resultado que utilizan distintos materiales, como por ejemplo, la que se muestra en la figura 13 y que está basada en propiedades de las rectas paralelas. Figura 10. A Figura 11 180º B A C B γ C Figura 12 α β γ Figura 13 15 α Descripción del cuestionario 2 Se realizó el día 18-III-97, dos semanas después que el primero, y se propuso en el GE y en el GC. Los primeros habían recibido las instrucciones que se acaban de relatar, mientras que a estos últimos no se les dio ninguna orientación. Este cuestionario consta de una cuestión y su finalidad es observar la evolución experimentada por los alumnos en sus esquemas de prueba. Esta cuestión goza de las mismas características que las señaladas para el cuestionario 1. Sin embargo, en esta ocasión, se trata de una proposición desconocida para los alumnos. Cuestión: Considera los ángulos exteriores de un triángulo. ¿Cuánto suman? ¿Cómo lo justificarías? Objetivo: Observar la evolución en los esquemas de prueba de los alumnos. Se utilizan las mismas categorías que en el cuestionario 1 y el análisis se hace siguiendo las mismas pautas. En Ibañes (2001) aparece completo. Figura 14. Reflexiones del segundo ciclo 1. Ahora todos los alumnos tratan de probar el resultado (N1), lo que pone de manifiesto la eficacia de la instrucción 1 del segundo ciclo. 2. El análisis sobre la evolución de los EP pone de manifiesto que no se puede hablar del EP de un determinado alumno. En efecto, los alumnos de este nivel se encuentran en un estado de transición bajo la influencia de distintos esquemas, no siendo plenamente conscientes ni de sus diferencias ni de sus limitaciones; y, por consiguiente, utilizan uno u otro según las peculiaridades de lo que se les propone, o, incluso, emplean varios al mismo tiempo. En consecuencia, de lo que sí que se puede hablar es del esquema de prueba utilizado por un determinado alumno para resolver una cuestión de cierta especialidad matemática. 3. La estrategia de guiar a los alumnos hacia los esquemas transformacionales, o de mejorar sus intentos dentro de éste, tal y como se expuso en los puntos 2 a 10 del apartado “instrucciones a los alumnos” del último cuestionario, no resultó adecuada. 4. En particular, llama la atención la abundancia de los esquemas inductivos, sobre los que el profesor investigador llegó a suponer que sus alumnos estaban abandonando. Además, la mayor incidencia de este EP en el GC que en el experimental, lo parece indicar que las orientaciones dadas fueron adecuadas para que cediera en favor de esquemas analíticos. 5. La convicción externa ha influido de nuevo. En cada grupo ha aparecido siguiendo las explicaciones del profesor que, de alguna manera, puedan relacionarse con lo propuesto. 6. Resulta necesario volver a abordar este aspecto de los EP, tratando de conducir progresivamente a los alumnos desde los esquemas inductivos a los intuitivo axiomáticos. 7.3. Tercer ciclo A comienzos del nuevo curso 1997-98, el equipo investigador volvió a considerar el tema de los esquemas de prueba de los alumnos con el objeto de poner en práctica la anterior reflexión 6 del final del segundo ciclo (en el curso 1996-97). Sin dar ninguna instrucción previa a los alumnos, se diseñaron las dos primeras cuestiones del cuestionario y, posteriormente, a la vista de las respuestas de los estudiantes, se fueron añadiendo otras cuestiones, hasta completar 8, para aclarar o indagar determinados aspectos. Se pasó en tres 16 grupos de alumnos, un GE y 2 grupos de control. Las tres primeras y la séptima se propusieron al GE (1ºA) entre los días 24-X-97 y 5-XI-97. Las cuestiones 3, 4 y 5, se propusieron al primer GC (1º B) entre los días 31-X-97 y 7-XI-97. La última cuestión se propuso al segundo GC (1ºC) el día 7-XI-97. Ningún alumno de ningún grupo recibió instrucción alguna, salvo la contenida en el texto del propio cuestionario que cada uno tuvo que responder. Todas estas cuestiones versan sobre el mismo teorema del cuestionario 1 del curso 96-97. Cuestión 1: Demuestra que la suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo es 180º. Objetivo: Comparar la situación inicial de los alumnos con la de los del curso anterior y determinar su esquema utilizado. Se consideran las mismas categorías que en el cuestionario 1 y, por tanto, no se describen, pero ahora no se consideran los EP de los alumnos, sino EP utilizados por los alumnos. 62º Cuestión 2 : Se proponen cinco pruebas distintas del teorema “la suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo es 180º”, correspondientes con los siguientes esquemas de prueba: inductivo de un caso, inductivo de varios casos, inductivo sistemático, transformacional e intuitivo axiomático. Se presentan en hojas separadas. 76º 42º Figura 14. Prueba 1. Dibujamos un triángulo como el de la figura 14. Y medimos sus ángulos, resultando 42º, 76º y 62º. Sumamos y da 180º. 46º 22º ¿Queda así probado que el 61º 31º t e 35º 123º 88º o 75º 59º r Figura 15. e m a es verdad? SÍObtusángulos NO Rectángulos Acutángulos 25º 64º 60º Observaciones: Prueba 2. Dibujamos varios triángulos como los de la figura 15. Medimos, en todos ellos, 135º sus ángulos 90º 20º 30º 76º 40º interiores, y su suma siempre resulta 180º. ¿Queda así probado que el teorema es verdad? SÍ NO ¿Qué piensas ahora del procedimiento de la 30º 60º hoja anterior? Observaciones: Isósceles Equiláteros Prueba 3. Dibujamos triángulos de los distintos tipos como los de la figura 16. Medimos, en todos ellos, sus ángulos interiores, y su suma siempre resulta 180º. 75º 60º 75º 60º Figura 16. C C α γ β α Figura 17. 17 β β α B A γ B A Figura 18. ¿Queda así probado que el enunciado del teorema es verdad? SÍ ¿Qué piensas ahora del procedimiento de la hoja anterior? Observaciones: NO Prueba 4. Consideramos un triángulo cualquiera ABC, como en la figura 17, cuyos ángulos interiores son α, β y γ. Por C trazamos una paralela al lado AB (figura 18), apareciendo los ángulos α y β a ambos lados del γ . Está claro que entre los tres suman 180º. ¿Queda así probado que el teorema es verdad? SÍ NO ¿Qué piensas ahora del procedimiento de la hoja anterior? Observaciones: C Q P B A Figura 19. Prueba 5. Sea ABC un triángulo cualquiera (figura 19). Por C trazamos la recta PQ paralela a AB (porque por un punto cualquiera del plano puede trazarse una paralela a una recta dada). Se tiene que PCA + ACB + BCQ = 180º. Por otra parte, PCA = CAB (por ser ángulos alternos-internos) y BCQ = ABC (por la misma razón). Se sigue que CAB + ABC + ACB = 180º. ¿Queda así probado que el teorema es verdad? SÍ NO ¿Qué piensas ahora del procedimiento de la hoja anterior? Observaciones. Objetivo: Estudiar las argumentaciones de los alumnos para aceptar o rechazar cada prueba propuesta, definiendo de esta manera el esquema aceptado por cada alumno, así como observar la evolución de éstos a lo largo del proceso que constituye esta cuestión. Categorías para el análisis: Como puede verse en Ibañes (2001), aquí se consideran categorías de aceptación y de rechazo de un EP. Asimismo, las respuesta de los alumnos a esta cuestión, y su evolución, exigen considerar otras modalidades de esquema de prueba: aceptado, adherido, inicial y final. - EsA. Esquema aceptado. EP que acepta un alumno en el transcurso de la secuencia didáctica. - EsAd. Esquema adherido. EP que acepta un alumno, con rechazo de los anteriores, en el transcurso de una secuencia didáctica. - EsI. Esquema inicial. EP que se estima posee un alumno al iniciar una secuencia didáctica. - EsF. Esquema final. EP que posee un alumno al finalizar una secuencia didáctica. Asimismo, para realizar un análisis más preciso de esta cuestión y comprender mejor la evolución de los alumnos se consideran varios números índices, se completan tablas estadisticas, … Índice de aceptación (iACE) de un determinado esquema (la aceptación de cada esquema): iACE = número de respuestas afirmativas número de alumnos Indice de captación (iCAP) (capacidad de cada EP para atraer nuevas aceptaciones): iCAP = n º de respuestas afirmativa s entre los que rechazaron el esquema anterior n º de rechazos al esquema anterior Índice de adherencia (iADH) (la aceptación de un esquema excluyente de los anteriores): iADH = número de alumnos adheridos número de alumnos Índice de enraizamiento (iENR) de un determinado esquema (capacidad de conservar las adhesiones que posee un determinado esquema): 18 iENR = número de alumnos adheridos al final del proceso número de alumnos adheridos inicialmente Cuestión 3: Ahora olvídate de todos estos cuestionarios (cuestión 2), salvo del primero (cuestión 1), en el que te pedía que demostraras que la suma de los ángulos de un triángulo es 180º. ¿Cómo lo interpretaste? Aquí te pongo varias posibilidades; elige la que corresponda. a. Que tenía que comprobarlo en un triángulo (en uno). b. Que tenía que comprobarlo en varios triángulos. c. Que tenía que comprobarlo en varios triángulos estudiando distintas posibilidades. d. Que debería comprobarlo en todos los triángulos y que como esto es imposible, lo haría en algunos y supondría que en los demás ocurriría lo mismo. e. Que tenía que probarlo con razonamientos válidos para cualquier triángulo. f. Que tenía que probarlo con razonamientos válidos para cualquier triángulo, indicando explícitamente los resultados y axiomas en los que me basaba. Objetivo: Estudiar la relación entre la interpretación que dieron los alumnos al enunciado del teorema propuesto y sus respuestas a las cuestiones 1 y 2. Cuestión 4: (Se realiza en el grupo de control) Lee los siguientes enunciados: a. La suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo es 180º. b. La suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo cualquiera es 180º. c. La suma de las medidas de los ángulos interiores de todo triángulo es 180º. ¿Quieren decir lo mismo? SÍ NO Si observas diferencias explícalas. Objetivo: Analizar cómo ha influido en las respuestas de los alumnos a las cuestiones 1 y 2 la expresión un triángulo del enunciado del teorema y estudiar posibles alternativas a dicho enunciado. Cuestión 5. Se propone a los alumnos del GC (1º B) y los alumnos del GE. Demuestra el siguiente resultado: En todos los triángulos, la suma de las medidas de los ángulos interiores es 180º. Objetivo: Estudiar cómo influye en los esquemas que utilizan los alumnos el cambio, en el enunciado del teorema, de la expresión un triángulo por la expresión todos los triángulos. Cuestión 6. Teorema: En todos los triángulos, la suma de las medidas de los ángulos interiores es 180º. Dibujamos un triángulo (véase la figura 14). Medimos sus ángulos, resultando 42º, 76º y 62º. Sumamos y da 180º.¿Queda así probado que el teorema es verdad? SÍ NO Objetivo: Estudiar cómo influye el cambio de la expresión un triángulo por todos los triángulos en el enunciado del teorema, en la aceptación, por parte de los alumnos, de la prueba 1 de la cuestión 2. Cuestión 7: Te recuerdo el contenido de la primera prueba de la cuestión 2: “Teorema: La suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo es 180º. Dibujamos un triángulo (véase la figura 26). Medimos sus ángulos, resultando 42º, 76º y 62º. Sumamos y da 180º. ¿Queda así probado que el teorema es verdad? SÍ NO” Tú contestaste SÍ, y quiero saber la razón. Aquí apunto algunas posibilidades: a. Interpreté la expresión “un triángulo” como “un triángulo concreto”. b. Interpreté la expresión “queda así probado que el teorema es verdad” como “comprobado con un ejemplo”. c. Pensaba que al comprobarlo con un ejemplo, quedaba probado en todos los triángulos. d. Otras. Explícalo: Objetivo: Conocer qué razones llevaron a la mitad de los alumnos del grupo experimental a aceptar el esquema de prueba inductivo de un caso, propuesto en la primera prueba de la cuestión 2. Cuestión 8: Se proponen a los alumnos del 2º GC (1º C) los esquemas 5 y 1 (en este orden) de la cuestión 2, preguntándoles, como en su día a los del GE, si queda probado que el teorema es verdad. 19 Objetivo: Valorar la eficacia del proceso de instrucción seguido en el grupo experimental. Como es lógico en los procesos de I-A, una vez recogidos los datos, a la luz del sistema de categorías, y considerando la información que aportan los índices introducidos, se hace un análisis de los mismos y de él se siguen las correspondientes reflexiones. Sin embargo, el carácter restrictivo de este texto aconseja dejar tanto esta reflexión como la global en favor de las conclusiones. 7.6. Debates y entrevistas La investigación siguió su curso celebrando 4 debates sobre las tareas desarrolladas, que se grabaron en audio íntegramente. Se eligieron a 8 profesor alumnos alumnos teniendo en cuenta las respuestas que habían emitido en los cuestionarios. Estos 100 80 alumnos debían defender sus respuestas entre 60 ellos y frente al colectivo de la clase. Se señalaron 40 20 estos 3 objetivos: 0 - I. Que los alumnos verbalicen sus 1 2 3 4 opiniones respecto a los temas tratados. - II. Establecer una confrontación entre las ideas de unos alumnos y otros. - III. Ayudar a esclarecer las respuestas de los alumnos e indagar sobre sus dificultades. Los debates fueron moderados por el Profesor-Investigador, procurando que las intervenciones de los alumnos fuesen espontáneas. Éstas fueron aumentando paulatinamente, como manifiesta el diagrama adjunto. Se grabaron íntegramente y del análisis de las grabaciones se desprenden las siguientes reflexiones: •Manifiesto de la dimensión social del aprendizaje de las Matemáticas • Se ha producido rectificaciones de errores no corregidos hasta ahora. • Evolución positiva en la comprensión de conceptos y en la aplicación de procedimientos. • Inicio de crisis en posturas rígidamente mantenidas durante todo el curso. • Afianzamiento de conceptos y procedimientos adquiridos con anterioridad. Dos semanas después de haber concluido los debates se realizaron 5 entrevistas a 5 parejas de alumnos (los 8 alumnos de los debates y 2 más -que destacaron en los debates-). En las entrevistas se debían abordar los puntos conflictivos que se hubieran manifestado, bien en los cuestionarios o en los debates, provocando situaciones de validación. Como ejemplo se reproduce la siguiente: 50 51 52 53 54 55 56 - Profesor: ¿Pasamos al Debate 4? En la entrevista de ayer Verónica puso una dificultad en la hoja I.2, donde hay una figura. Dice que esta demostración se refiere a la figura concreta que hay en el dibujo, y que entonces la demostración se basa en esa figura, y piensa que puede ocurrir que si se cambia la figura, el argumento que viene a continuación ya no es válido. En definitiva, dice que este razonamiento se basa en una figura concreta y, por tanto, no es una demostración puesto que una demostración tiene que ser algo universal -válida para todos los cuadriláteros, en este caso-. ¿Vosotros que pensáis de esta pega que propone Verónica? - Rebeca: Yo creo que esto no es para un caso concreto porque si tú haces una figura cualquiera también sale, pero de todas las maneras como no hay datos numéricos ni nada concreto, pues (vale) para todos. - Profesor: En definitiva, ¿esto es una demostración? - Rebeca: Sí. - Profesor: ¿Por qué? - Rebeca: Porque creo que está hecho para cualquier cuadrilátero… - Profesor: Pero Verónica dice que este razonamiento se basa en esta figura que he hecho yo, y no en todos los posibles cuadriláteros , y, por lo tanto, se refiere a un caso particular. ¿Qué te parece? 20 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 - Rebeca: Yo creo que esta figura está hecha al azar y, de todas las maneras, tampoco creo que sea un caso particular, porque si fuera particular se podría decir, por ejemplo, que los triángulos ACD, pues yo qué sé, se les podría poner a cada ángulo un valor y cosas así. - Profesor: ¿Piensas que la figura es esencial o es un instrumento de apoyo para y entender mejor el razonamiento? - Rebeca: Es para ayudarte, sí. - Profesor: No juega un papel esencial… - Rebeca: No. - Profesor: ¿Incluso sin figura sería válida la demostración? - Rebeca: No, yo creo que habría que hacerla. - José Mª: Sí, es una ayuda más que nada, porque tú puedes dibujar el paralelogramo y sus puntos, y las letras correspondiendo a cada uno de los puntos, entonces la figura lo que hace es ayudarte a situar esos puntos, lo único. Si tuviésemos sólo la explicación, que es la verdadera demostración, sí que sería válido. - Profesor: ¿Podríamos prescindir de la figura, si tuviéramos mucha imaginación? - José Mª: Sí. - Rebeca: Si tienes mucha, sí. Lo que pasa es que, a lo mejor no podrías ver que ON y AC son paralelos… - José Mª: Lo único que hace es ayudarte a entender la situación, pero se podría prescindir de ellas. - Profesor: Dice Rebeca que, a lo mejor, no podrías ver que ON y AC son paralelos. ¿Realmente no lo podrías ver? Es decir, ¿el razonamiento que viene a continuación de que ON y AC se basa en la figura? - José Mª: No. - Rebeca: No. Se basa en el lema. - Profesor: ¿Entonces? - Rebeca: Se podría hacer sin figura. La obstinación de José Mª hizo pensar al equipo investigador la conveniencia de indagar en qué medida comparten los alumnos la tesis de este alumno y se hizo la siguiente consulta: Cuestión: Esta es la solución que dio José Mª al problema de demostrar que la suma de los ángulos de un triángulo es 180º. Critica esta solución: Objetivo: Observar en qué medida los alumnos comparten con José Mª sus dificultades en ver que la solución de éste último al problema no es una demostración. Una vez que se han analizado las respuestas del GE y del GC, llama la atención el enraizamiento de los esquemas inductivos y el consiguiente impedimento para reconocer demostraciones y distinguirlas de otros procesos. Por otra parte, esta indagación manifiesta la importancia que tienen tanto la flexibilidad como la posibilidad de hacer cuantas pruebas sean necesarias. 7.7. Conclusiones En toda la investigación hemos tenido ocasión de ratificar tanto las impresiones iniciales del equipo investigador sobre dificultades del aprendizaje de la demostración, como los datos aportados por otros investigadores (Galbraiht (1981), Fischbein (1982), Senk (1985), Martin y Harel (1989), Porteous (1990), Chazan (1993), etc.); y, también hemos asistido al descubrimiento de aspectos nuevos. En lo que se refiere a los EP, destacan la falta de comprensión de lo que supone justificar una proposición, la ausencia de un EP adecuado para comprender el significado de la demostración, y el enraizamiento de los esquemas inductivos. 1. Lo que constituye comprobación y convencimiento para nuestros alumnos de bachillerato es algo que varía según la tarea que se les proponga, puesto que los estudiantes de este nivel 21 se encuentran en un estado de transición bajo la influencia de distintos EP, no siendo plenamente conscientes ni de sus diferencias ni de sus limitaciones; y, por tanto, utilizan uno u otro según las peculiaridades de lo que se les propone, o, incluso, emplean varios al mismo tiempo. 2. En los 2 primeros ciclos nos pareció más acorde con la realidad referirnos al EP utilizado por el alumno en una cuestión concreta. En el ciclo 3º, hubo que considerar diversos aspectos y circunstancias que dieron lugar a los conceptos de: esquema aceptado, esquema adherido, esquema declarado, esquema inicial y esquema final. Todas estas modalidades enriquecen y completan la idea previa de esquema de prueba, y la clasificación de Harel y Sowder, sobre plano en el plano del investigador. La consideración de estos EP ha sido crucial en la determinación del estado de transición de los alumnos. 3. Respecto al progreso de los alumnos, la estrategia de guiarlos hacia esquemas transformacionales, o de mejorar sus intentos dentro de éstos con las “instrucciones a los alumnos”, en el paso del 1º al 2º ciclo, no consiguió los frutos deseados debido a que los EP inductivos ejercen una influencia muy importante en los alumnos de este nivel. Sin embargo, la menor incidencia observada en el GE que en el GC, parece indicar que, con orientaciones adecuadas, esos esquemas inductivos podrían ir cediendo en favor de esquemas analíticos. 4. Se ha podido constatar una aceptación creciente de los sucesivos EP propuestos; todos ellos han contribuido a la captación de alumnos; la adhesión a cada esquema ha ido disminuyendo en cada etapa del proceso, produciéndose una paulatina diversificación con la aparición de adhesiones a los nuevos esquemas que iban exponiéndose; la mayoría de los alumnos ha evolucionado en su EP, y el número de los que se adhieren al esquema analítico se ha triplicado; aunque muchos alumnos tienen muchas dificultades para evolucionar y asumir EP analíticos; finalmente, se pone de manifiesto la importancia de considerar y potenciar el reconocimiento de las funciones de la demostración sobre todo de la función de explicación. 5. Las respuestas de los alumnos del GC a la cuestión 8 (tercer ciclo) ponen de manifiesto la eficacia del proceso de instrucción llevado a cabo en el GE. En particular, este proceso facilitó: la distinción entre los distintos esquemas de prueba; la promoción a esquemas más evolucionados y, en particular, la superación de los esquemas inductivos; la atención a la globalidad del razonamiento y el aprecio de la universalidad del mismo. 6. El concepto de EP no debe presentarse exclusivamente en términos de verificación –como hacen Harel y Sowder-, sino que deben tenerse en cuenta otras funciones de la demostración. 7. Este estudio sobre los EP conduce de manera natural al del reconocimiento de procesos y la utilización e interpretación de algunas expresiones (Ibañes, 2001, Cap. 3 y 4). 7. 8. Problemas abiertos En el apartado Definición del problema se trazó una panorámica de lo que suponía entender demostraciones, proponiéndose el estudio de multitud de aspectos relacionados con este tema y, por tanto, desde el principio quedan propuestos otras problemas que pueden investigarse: comprensión de los pasos de la demostración, identificación de las líneas maestras y de las ideas clave, interpretación de palabras de enlace, consideración de diversos métodos (reducción al absurdo, inducción completa, etc.), valoración de las distintas funciones, interpretación de la conectivas lógicas, ... Además de esos problemas, en el transcurso de la investigación han surgido determinados aspectos en los que no se ha podido profundizar, por 22 ejemplo: los EP utilizados por los alumnos al hacer demostraciones; aceptación de los procedimientos de los esquemas experimentales; progreso de los estudiantes en los esquemas analíticos; relaciones del reconocimiento de procesos con los EP, o con las funciones de la demostración, o con las técnicas de demostración; repercusiones de la utilización de otras expresiones no estudiadas; análisis específico de los tres esquemas de Vinner; dependencia de los resultados respecto del contenido matemático, por ejemplo, no se sabe cómo se comportarían los alumnos frente a EP con contenidos específicos de Análisis Matemático. 8. BIBLIOGRAFÍA - ALEKSANDROV, A. D. Y OTROS (1976): Las matemáticas: su contenido y significado 1-2-3. Alianza Universidad. - ALIBERT, D. y THOMAS, M. (1991): Research on mathematical proof. En Tall (Ed.): Advanced Mathematical Thinking. Kluwer Academic Publishers, 215-230. - ARSAC, G. (1988): Les recherches actuelles sur l’apprentissage de la démonstration et les phénomènes de validation en France. Recherches en Didactique des Mathématiques, 9(3), 247-280. - van ASH, A.G. (1993): To prove, why and how?. Internat. Journal Mat. Educat. Science and Technology, 2, 301-313. - BALACHEFF, N. (1982): Preuve et démonstration en mat. au college. Recherches en Didactique des Mat., 3(3), 261-304. - BALACHEFF, N. (1987): Processus de preuve et situations de validation. Educational Studies in Mat, 18, 147-176. - BELL, A. W. (1976): A study of pupils’ proof-explanations in mathematical situations. Educat. Studies in Mat., 7, 23-40. - BELL, A. W. (1979): The learning of process aspects of mathematics. Educational Studies in Mathematics, 10, 361-387. - BERO, P. (1994): Pupil’s understanding of mathematical proof. En: Bazzini (Ed.) Theory and practice in Mat. Education. Fifth internat. conference on systematic cooperation between theory and practice in Mat. Education, 27-33. Grado, Italia. - BLÁZQUEZ, S. (1999): Noción de límite en Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales. Tesis doctoral. Departamento de Análisis matemático y Didáctica de las Matemáticas. Universidad de Valladolid. - BLUM, W. y KIRSCH, A. (1991): Preformal proving: examples and reflections. Educat. Studies in Mat., 22, 183-203. - BOUVIER y GEORGE (1984): Diccionario de matemáticas. Con la dirección de F. LE LIONNAIS. Akal. Madrid. - BOYER, C.B. (1987): Historia de la matemática. Alianza Universidad Textos. Madrid. (Original de 1968). - BROUSSEAU, G. (1998): Théorie des situations didactiques. La Pensée Sauvage Éditions, Grenoble. - BRAVO, L. (2002): Tesis Doctoral. Una estructura didáctica para la enseñanza de la demostración Matca. Univ. Oviedo. - CASTRO, E. (1994): Exploración de patrones numéricos mediante configuraciones puntuales. Estudio con escolares de Primer Ciclo de Secundaria (12-14 años). Tesis doctoral. Depto. de Didáctica de la Matemática. Universidad de Granada. - CHAZAN, D. (1993): High school geometry students’ justification for their views of empirical evidence and mathematical proof. Educational Studies in Mathematics, 24, 359-387. - CUBILLO, C. (1997): Un estudio sobre las potencialidades que genera en alumnos de secundaria el modelo de gestión mental aplicado a las fracciones. Tesis doctoral. Depto. de Análisis Mat. y Didáctica de la Matemática. U. Valladolid. - DAVIS, P.J. y HERSH, R. (1988): Experiencia matemática. Centro de Publicaciones del M.E.C. y Labor. Barcelona. - van DORMOLEN, J. (1977): Learning to understand what giving a proof really means. Educat. Studies in Mat., 8, 27-34. - DREYFUS, T. (1999): Why Johnny can’t prove. Educational Studies in Mathematics, 38, 85-109. - ELLIOT, J. (1990): La investigación-acción en educación. Morata. Madrid. - ESTEBAN, M.; IBAÑES, M. y ORTEGA, T. (1998): Trigonometría. Síntesis (Col.: Educ. Mat. en Sec., nº 20). Madrid. - EUCLIDES. (1994): Elementos. Editorial Gredos, S. A. Madrid. - FISCHBEIN, E.; TIROSH, D. y MELAMED, U. (1981). It is posible to mesure the intuitive acceptance of a mathematical statement?. Educational Studies in Mathematics, 12, 491-512. - FISCHBEIN, E. (1982): Intuition and Proof. For the learning of Mathematics. 3, 2, 9-18 y 24. - FISCHBEIN, E. y KEDEM, I. (1982): Proof and certitude in the development of mathematical thinking. En A. Vermandel (Ed), Proceedings of the Sixth International Conference for the Psycology of Mat. Education. Antwerp: PME. 128-131. - GALBRAITH, P.L. (1981): Aspects of proving: a clinical investigation of process. Educational Studies in Mat., 12, 1-28. - HANNA, G. (1989 a): More than Formal Proof. For the Learning of Mathematics, 9 (1), 20-23. - HANNA, G. (1989 b): Proofs that prove and proofs that explain. Proceedings of the 13th International Conference on the Psychology of Mathematics Education, 45-51. París. - HANNA, G. (1990): Some pedagogical aspects of proof. Interchange, 21, 6-13. 23 - HANNA, G. (1995): Challenges to the Importance of Proof. For the Learning of Mathematics, 15(3), 42-49. - HANNA, G. (1996): The ougoing value of proof. En M. de Villiers (Coord.): Proofs and Proving: Why, when and how? 114. The Association for Mathematics Education of South Africa (AMESA), PO Box 12833, Centrahil 6006. South Africa. - HANNA, G. JAHNKE, H.N. (1996): Proof and proving. Bishop (Eds.): Internat. Handbook Mat Education (pp. 887-908). - HAREL, G. y SOWDER, L. (1998): Students’ Proof Schemes: Results from exploratory studies. En: Dubinski, E.; Schoenfeld, A. y Kaput, J. (Eds), Research on Collegiate Mathematics Education, vol. III., 234-283. American Mathematical Society, Providence, USA. - HERSH, R. (1993): Proving is convencing and explaining. Educational Studies in Mathematics, 24, 389-399. - HOPKINS, D. (1989): Investigación en el aula. PPU, Barcelona. - IBAÑES, M. (2001): Aspectos cognitivos del aprendizaje de la demostración matemática en alumnos de primero de bachillerato. Tesis doctoral dirigida por T. Ortega. Universidad de Valladolid. - IBAÑES, M. y ORTEGA, T. (1997a): Mathematical Proofs: Classification and Exemples for Use in Secondary Education. En M. de Villiers (Coord.): Proofs and Proving: Why, when and how? 109-155. The Association for Mathematics Education of South Africa (AMESA), PO Box 12833, Centrahil 6006. South Africa. - IBAÑES, M. y ORTEGA, T. (1997b): La demostración en Matemáticas. Clasificación y ejemplos en el marco de la Educación Secundaria. Educación Matemática, 9, 2, 65-104. - IBAÑES, M. y ORTEGA, T. (1997c): Trigonometría en imágenes. Actas de las VIII JAEM, 303-306. Salamanca. - IBAÑES, M. y ORTEGA, T. Demostraciones visuales en Trigonometría. Pendiente de publicación. - KEMMIS, S. y MCTAGGART, R. (1988): Cómo planificar la investigación-acción. Laertes. Barcelona. - KLINE, M. (1992): El pensamiento matemático de la Antigüedad a nuestros días. Alianza Editorial. Madrid. - LAKATOS, I. (1978): Pruebas y refutaciones. Alianza Editorial. Madrid. (El original es de 1963-1964). - LAKATOS, I. (1981): ¿Qué es lo que prueba una prueba matemática?. En Matemáticas, ciencia y epistemología. Alianza Universidad. Madrid. (El artículo citado es original de 1959-1961). - MARTIN, W. G. y HAREL, G. (1989): Proof frames of preservice elementary teachers. Journal for Research in Mathematics Education. 20, 1, 41-51. - MARTÍNEZ RECIO, Á. (1999): Una aproximación epistemológica a la enseñanza y el aprendizaje de la demostración matemática. Tesis doctoral. Universidad de Granada. - MIYAZAKI, M. (2000): Levels of proof in lower secondary school mathematics. Educational Studies in Mat., 41, 47-68. - MOVSHOVITZ-HADAR (1996): On striking a balance between formal and informal proofs. En M. de Villiers (Coord.): Proofs and Proving: Why, when and how? 43-52. The Association for Mathematics Education of South Africa (AMESA), PO Box 12833, Centrahil 6006. South Africa. - NATIONAL COUNCIL OF TEACHERS OF MATHEMATICS (1991): Estándares Curriculares y de Evaluación para la Educación Matemática. Sociedad Andaluza de Educación Matemática Thales, Sevilla. Versión original de 1989. - PÉREZ, G. (1994): Investigación cualitativa. Retos e interrogantes. La Muralla, Madrid. - PLATÓN (1988): Obras completas. Aguilar. Madrid. (Originales, entre 400-350 a.C., aproximadamente) - POLYA, G. (1976): Cómo plantear y resolver problemas. Trillas. México D.F. - PORTEOUS, K. (1990): What do children really believe?. Educational Studies in Mathematics, 21, 589-598. - PUIG ADAM, P. (1960): La Matemática y su enseñanza actual. Publicaciones de Enseñanza Media. Madrid. - REID, D.A. (1996): The role of proving: studens and mat En M. de Villiers (Coord.): Proofs and Proving: Why, when and how? 185-199. The Association for Mat. Educat. of South Africa (AMESA), PO Box 12833, Centrahil 6006. South Africa. - SEMADENI, Z. (1984): Action proofs in primary mathematics teaching and in teacher training. For the Learning of Mathematicas, 4(1), 32-34. - TALL, D. y VINNER, S. (1981): Concept image and concept definition in mathematics with particular reference to limits and continuity. Educational Studies in Mathematics, 12, 151-169. - de VILLIERS, M. (1993): El papel y la función de la demostración en matemáticas. Épsilon, 26, 15-30. Original de 1990. - de VILLIERS, M. (1994): The role and function of a hierarchical classification of quadrilaterals. For the learning of Mathematics. 14 (1) 11-15. - de VILLIERS, M. (1995): An alternative introduction to proof in dynamic geometry. Micromath Spring, 11(1), 14-19. - de VILLIERS, M. (1996): Why proof in dynamic geometry. En M. de Villiers (Coord.): Proofs and Proving: Why, when and how? 23-42. The Association for Mat. Educat of South Africa (AMESA), PO Box 12833, Centrahil 6006. South Africa. - de VILLIERS, M. (1997): The role of proof in investigative, computer-based geometry: some personal reflections. King & Schattschneider, (Eds.) Geometry turned on! Dynamic software in learning, teaching and research. MAA notes 41, 15-24. 24 - de VILLIERS, M. y NJISANE, R. M. (1987): The development of geometric thinking among Black high school pupils in Kwazulu (Republic of South Africa). Proceedings of the 11th International PME Conference. Montreal, 3, 117-123. - VINNER, S. (1991): The Role of Definitions in the Theaching and Learning of Mathematics. En Tall, D. (ed.), Advanced Mathematical Thinking. Dordrecht: Kluwer, 65-81. 25