Semana 10 - Hypatia CUCEI

Actividad Didáctica 10
Propiedades del Triángulo de Pascal
Introducción
Es un arreglo triangular de números que se construye comenzando en el número 1 centrado en
la parte superior; después se escriben números 1 en las casillas situadas en sentido diagonal
descendente, a ambos lados. Luego se suman las parejas de cifras situadas horizontalmente, y el
resultado se escribe debajo de dichas casillas, por ejemplo 1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, etc.
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
8
9
Esto
45
se
120
7
28
84
210
regla
1
21
126
la
1
6
56
252
a
5
15
70
210
1
35
126
debido
4
20
56
1
10
35
84
cumple
6
15
28
1
3
10
21
36
10
3
5
7
2
4
6
1
de
1
8
36
1
9
210
45
Pascal,
que
1
10
indica
1
que
para todo entero positivo n y todo entero positivo k entre 0 y n.
Por lo tanto, todas las cifras escritas en cada fila del Triángulo de Pascal, corresponden a
los coeficientes del desarrollo de un binomio elevado a alguna potencia, en otras palabras,
corresponden a los coeficientes obtenidos por el Teorema del Binomio esto es:
Por ejemplo:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4, etc.
Entonces los elementos del triángulo son coeficientes binomiales.
La sucesión de la sucesión de Fibonacci (o serie de Fibonacci) es la sucesión de
números naturales 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377…
La sucesión comienza con los números 1 y 1, y a partir de estos, cada elemento es la
suma de los dos anteriores.
Actividad: con Maxima comprobar las siguientes propiedades del Triángulo de Pascal
utilizando al menos hasta el octavo renglón, es decir, cuando n = 7:
Propiedad
1.
Cada elemento del Triángulo esta
dado por la reglas de Pascal
Instrucción y resultado
2.
La suma de los todos elementos
de cada fila n es precisamente 2n
3.
Los elementos que equidistan del
centro a los extremos se repiten
debido a la identidad
4.
Encontrar
la
sucesión
de
Fibonacci en el Triángulo de
Pascal, determinando el patrón
para obtenerla (TIP: es alguna
diagonal sumada)