Facultad de Ingenier´ıa, Universidad Anáhuac Examen

Facultad de Ingenierı́a, Universidad Anáhuac
Examen Departamental Final verano 2011
Álgebra Lineal
México D.F. a 19 de julio del año 2011
Nombre:
Total de Puntos:
Profesor:
Calificación:
Instrucciones:
• El examen constituye el 40 % de la evaluación global.
• Se permite uso de calculadora programable y formulario.
• Tiempo máximo de 2 hrs. Máximo de puntos 34, el total se divide entre 3.4
PREGUNTAS DE FALSO Y VERDADERO 1 punto c/u
1
2
3
4
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9
10
Un vector propio x es aquel que tiene imagen linealmente dependiente al propio x.
β es valor propio de A si |A − βI| = 0.
La proyección Pb a siempre es l.i. al vector b .
Si B = P −1 AP , entonces A y B tienen los mismos determinantes.
Si T (0) 6= 0, entonces la transformación T no es lineal.
Si dos vectores son son ortogonales entonces siempre son l.i.
Hay una cantidad infinita de bases ortonormales en 3 .
(AB)−1 = B −1 A−1 .
Si el cero es un valor propio de una matriz, entonces la matriz es singular.
Rectas en el plano que pasan por el origen son los únicos subespacios vectorial de R3 .
PROBLEMAS DE 4 PUNTOS
1. (problema de modelado) Por definición el vector Page Rank es el vector propio correspondiente a la valor
propio 1 de la matriz de conectividad.
Calcula el vector Page Rank de la siguiente matriz de
conectividad y dibuja la red de Internet que le corresponde:


0 1 1/2
0
0 0
0
1/2

C=
1 0
0
1/2
0 0 1/2
0
4. (problema de modelado) Escribir la forma cuadrática en forma matricial del paraboloide que abre hacia
abajo, y de la silla de montar.
5. (problema de análisis) Encontrar las coordenadas de
1
la reflexión del punto (2,5) sobre la recta y = √ x.
3
6. (problema operacional) Encontrar la solución general
del siguiente sistema de ecuaciones diferenciales lineal.
dy
dx
dy
dx
2. (problema operacional) Sea la matriz
17 −18
A=
12 −16
encuentra P , tal que P −1 AP sea diagonal.
3. (problema operacional) Halla una base del kernel de
la transformación lineal dada por:
T (x, y, z, w) = (x − y − z + w, 2x + y + z − w)
1
=
3x + 3y
= −2x − 4y