1º Bachillerato

Ejercicio nº 1.En una determinada especie se han medido la longitud y la anchura máximas, obteniendo
los siguientes resultados:
Calcula la covarianza y el coeficiente de correlación.
¿Cómo es la relación entre las dos variables?
Solución:
Medias:
222
= 37
6
116
y=
= 19, 33
6
x=
Desviaciones típicas:
σ
x
=
8344
− 37 2 =
6
σ
y
=
2296
− 19, 33 2 =
6
21, 67 = 4, 65
8, 89 = 2, 98
• Covarianza:
4372
− 37 ⋅ 19, 33 = 13, 46
6
• Coeficiente de correlación:
σ
xy
=
σ
r=
xy
σ xσ
=
y
13, 46
= 0, 97
4, 65 ⋅ 2, 98
• Hay una relación positiva y fuerte entre las dos variables.
Ejercicio nº 2.Se han medido dos características en una población mediante pruebas evaluables de 0 a 10
puntos, obteniendo los siguientes resultados en los primeros seis individuos:
a) Halla la recta de represión de Y sobre X.
b) Calcula yˆ (7). ¿Es fiable esta estimación ? (Sabemos que r = − 0,998).
Solución:
a)
Medias:
36,1
= 6, 02
6
27, 9
y=
= 4, 65
6
x=
Varianza de x:
σ
2
x
=
230, 39
− 6, 02 2 = 2,16
6
• Covarianza:
σ
xy
=
155,12
− 6, 02 ⋅ 4, 65 = − 2,14
6
• Coeficiente de regresión:
myx =
σ
σ
xy
2
x
−
− 2 ,14
= − 0, 99
2, 16
• Ecuación de la recta de regresión de Y sobre X :
y = 4,65 − 0,99 (x − 6,02) → y = −0,99x + 10,61
b) yˆ (7) = 3,68. La estimación es bastante fiable, puesto que r = − 0,998 ( muy próxima a − 1) y
x = 7 está dentro del intervalo de valores que estamos considerando.
Ejercicio nº 1.Los gastos y los ingresos (en millones de euros) de seis empresas se recogen en la
siguiente tabla:
Halla la covarianza y el coeficiente de correlación.
¿Cómo es la relación entre las dos variables?
Solución:
Medias:
x=
17
= 2, 83
6
33, 5
= 5, 58
6
Desviaciones típicas:
y=
σ
x
=
59
− 2, 83 2 =
6
σ
y
=
195, 25
− 5, 58 2 =
6
1, 82 = 1, 35
1, 41 = 1,19
• Covarianza:
σ
xy
=
103
− 2, 83 ⋅ 5, 58 = 1, 38
6
• Coeficiente de correlación:
r =
σ
xy
σ xσ
=
y
1, 38
= 0, 86
1, 35 ⋅ 1, 19
• Hay una relación fuerte y positiva entre las variables.
Ejercicio nº 2.Midiendo la potencia (en CV) y el consumo (en l/100 km) en seis modelos diferentes de
coches, hemos obtenido los siguientes resultados:
a) Halla la recta de regresión de Y sobre X.
b) Calcula ŷ (190). ¿Es fiable esta estimación ? (Sabemos que r = 0,86).
Solución:
a)
Medias:
706
= 117, 67
6
34,9
y =
= 5, 82
6
x =
Varianza de x :
σ
x
2
=
85818
− 117, 67 2 = 456, 77
6
• Covarianza:
σ
xy
=
4150, 8
− 117, 67 ⋅ 5, 82 = 6, 96
6
• Coeficiente de regresión:
m yx =
σ
σ
xy
2
x
=
6, 96
= 0, 015
456, 77
• Ecuación de la recta de regresión de Y sobre X :
y = 5,82 + 0,015 (x − 117,67) → y = 0,015x + 4,05
b) yˆ (190 ) = 6,9. No podemos considerar esta estimación como fiable, ya que x = 190 está fuera del ntervalo de datos
que estamos consideran do.
Ejercicio nº 1.Las estaturas (en cm) y los pesos (en kg) de seis deportistas se recogen en la siguiente
tabla:
Halla la covarianza y el coeficiente de correlación.
¿Cómo es la relación entre las dos variables?
Solución:
Medias:
1140
= 190
6
524
y=
= 87, 33
6
x=
Desviaciones típicas:
σ
x
σ
y
216630
− 190 2 =
6
=
5 = 2, 24
45786
− 87, 33 2 =
6
=
4, 47 = 2,11
• Covarianza:
σ
xy
=
99575
− 190 ⋅ 87, 33 = 3,13
6
• Coeficiente de correlación:
r=
σ
xy
σ xσ
y
=
3, 13
= 0, 66
2, 24 ⋅ 2, 11
• Hay una relación positiva entre las variables, aunque no es demasiado fuerte.
Ejercicio nº 2.Las notas obtenidas en Matemáticas en la primera y en la segunda evaluación por un grupo
de seis alumnos de 1º de Bachillerato han sido las siguientes:
a) Halla la recta de regresión de Y sobre X.
b) Calcula ŷ (6). ¿Es fiable esta estimación ? ( Sabemos que r = 0,98).
Solución:
a)
Medias:
40
= 6, 67
6
36, 5
y=
= 6, 08
6
x=
Varianza de x:
σ
x
2
=
287, 5
− 6,67 2 = 3, 43
6
• Covarianza:
σ
xy
=
263, 25
− 6, 67 ⋅ 6, 08 = 3, 32
6
• Coeficiente de regresión:
myx =
σ
σ
xy
2
x
=
3, 32
= 0, 97
3, 43
• Ecuación de la recta de regresión de Y sobre X :
y = 6,08 + 0,97 (x − 6,67) → y = 0,97x − 0,39
b) yˆ (6) = 5,43. Podemos considerar fiable la estimación , ya que r = 0,98 y que x = 6 está
dentro del intervalo de valores que estamos considerando.
Ejercicio nº 1.A seis pacientes se les administra un cierto medicamento y, posteriormente, otro distinto,
produciéndose los siguientes cambios en la presión sanguínea:
Calcula la covariante y el coeficiente de correlación.
¿Cómo es la relación entre dos variables?
Solución:
Medias:
21,4
= 3, 57
6
10, 6
y=
= 1, 77
6
x=
Desviaciones típicas:
σ
x
=
88, 5
− 3, 57 2 =
6
2,01 = 1, 42
σ
y
=
30, 38
− 1, 77 2 =
6
1, 93 = 1, 39
• Covarianza:
44, 72
− 3, 57 ⋅ 1, 77 = 1, 13
6
• Coeficiente de correlación:
σ
xy
r =
=
σ
xy
σ xσ
=
y
1,13
= 0, 57
1, 42 ⋅ 1, 39
• Hay una relación positiva, pero débil, entre las variables.
Ejercicio nº 2.En seis modelos de automóviles "todo terreno" se han medido la potencia (en CV) y el
tiempo (en segundos) de aceleración de 0 a 100 km/h. Los resultados se recogen en la
tabla:
a) Halla la recta de regresión de Y sobre X.
b) Calcula ŷ (200). ¿Es fiable esta estimación ? (Sabemos que r = − 0,97)
Solución:
a)
Medias:
1.007
= 167, 83
6
75, 8
y =
= 12, 63
6
x=
Varianza de x:
σ
2
x
=
176693
− 167, 83 2 = 1281, 92
6
• Covarianza:
σ
xy
=
12274, 7
− 167, 83 ⋅ 12, 63 = − 73, 91
6
• Coeficiente de regresión:
myx =
σ
σ
xy
2
x
=
− 73, 91
= − 0, 058
1281, 92
• Ecuación de la recta de regresión de Y sobre X :
y = 12,63 − 0,058 (x − 167,83) → y = − 0,058x + 22,36
b) yˆ (200) = 10,76. Podemos considerar esta estimación fiable, ya que r = − 0,97 y que x = 200 está
dentro del intervalo de valores que estamos consideran do.
Ejercicio nº 1.Midiendo el nivel de colesterol y la presión sanguínea en un grupo de personas, hemos
obtenido los siguientes resultados.
Halla la covarianza y el coeficiente de correlación.
¿Cómo es la relación entre las dos variables?
Solución:
Medias:
800
= 133,33
6
892
y =
= 148, 67
6
x=
Desviaciones típicas:
σ
x
=
108512
− 133, 33 2 =
6
307, 56 = 17, 54
σ
y
=
136944
− 148, 67 2 =
6
722,42 = 26, 88
• Covarianza:
σ
xy
=
116562
− 133, 33 ⋅ 148, 67 = − 395, 17
6
• Coeficiente de correlación:
r=
σ
xy
σ xσ
=
y
− 395, 17
= − 0, 84
17, 54 ⋅ 26, 88
• La relación entre las variables es fuerte y negativa.
Ejercicio nº 2.Hemos preguntado a seis personas su peso y el número de calzado que usan, obteniendo
los resultados que se recogen en la tabla:
a) Halla la recta de regresión de Y sobre X.
b) Calcula yˆ (51). ¿Es fiable esta estimación ? (Sabemos que r = 0,46).
Solución:
Medias:
318
= 53
6
221
y=
= 36, 83
6
x=
Varianza de x:
σ
x
2
=
16870
− 53 2 = 2, 67
6
• Covarianza:
σ
xy
=
11719
− 53 ⋅ 36, 83 = 1, 18
6
• Coeficiente de regresión:
m yx =
σ
σ
xy
2
x
=
1,18
= 0, 44
2, 67
• Ecuación de la recta de regresión de y sobre x:
y = 36,83 + 0,44 (x − 53) → y = 0,44x + 13,51
b) yˆ (51) = 35,95. Esta estimación no es fiable, puesto que r = 0,46 es bajo.
Ejercicio nº 1.A seis pacientes se les administra un cierto medicamento y, posteriormente, otro distinto,
produciéndose los siguientes cambios en la presión sanguínea:
Calcula la covariante y el coeficiente de correlación.
¿Cómo es la relación entre dos variables?
Solución:
Medias:
21,4
= 3, 57
6
10, 6
y=
= 1, 77
6
x=
Desviaciones típicas:
σ
x
=
88, 5
− 3, 57 2 =
6
2,01 = 1, 42
σ
y
=
30, 38
− 1, 77 2 =
6
1, 93 = 1, 39
• Covarianza:
44, 72
− 3, 57 ⋅ 1, 77 = 1, 13
6
• Coeficiente de correlación:
σ
xy
r =
=
σ
xy
σ xσ
=
y
1,13
= 0, 57
1, 42 ⋅ 1, 39
• Hay una relación positiva, pero débil, entre las variables.
Ejercicio nº 2.Las notas obtenidas en Matemáticas en la primera y en la segunda evaluación por un grupo
de seis alumnos de 1º de Bachillerato han sido las siguientes:
a) Halla la recta de regresión de Y sobre X.
b) Calcula ŷ (6). ¿Es fiable esta estimación ? ( Sabemos que r = 0,98).
Solución:
a)
Medias:
40
= 6, 67
6
36, 5
y=
= 6, 08
6
x=
Varianza de x:
σ
x
2
=
287, 5
− 6,67 2 = 3, 43
6
• Covarianza:
σ
xy
=
263, 25
− 6, 67 ⋅ 6, 08 = 3, 32
6
• Coeficiente de regresión:
myx =
σ
σ
xy
2
x
=
3, 32
= 0, 97
3, 43
• Ecuación de la recta de regresión de Y sobre X :
y = 6,08 + 0,97 (x − 6,67) → y = 0,97x − 0,39
b) yˆ (6) = 5,43. Podemos considerar fiable la estimación , ya que r = 0,98 y que x = 6 está
dentro del intervalo de valores que estamos considerando.