Hallar los semiejes, semidistancia focal y excentricidad de la elipse

Problema realizado por Pablo Sánchez García:
Enunciado:
Hallar los semiejes, semidistancia focal y excentricidad de la elipse cuya
ecuación es:
a) 12x 2 + 36y 2 = 432
b) x 2 + y 2 = 5
Bases teóricas:
•
Elipse: Siendo F y F’ dos puntos de un plano (F ≠ F`) . Se define la ELIPSE
de focos F y F’ como el lugar geométrico de los puntos del plano tales que
la suma de sus distancias a los focos es constante e igual a 2a (a > 0).
•
Componentes:
Las rectas: La que pasa por los focos F y F’ y la recta mediatriz del
segmento F − F` se llaman ejes de simetría de la elipse.
Centro: El punto de intersección O de los dos ejes de simetría. Los puntos
A’, A, B y B’ se llaman vértices de la elipse.
Si el segmento A`− A es mayor que el segmento B`−B , ambos segmentos
se llaman respectivamente eje mayor y eje menor de la elipse.
•
Podemos ver también que como F − B = F`−B = a , se deduce según el
teorema de Pitágoras que: B − O` = O − B = b = a 2 − c 2
Elipse con:
focos: F’(-c, 0) y F(c, 0) ; c > 0
Eje mayor: Longitud 2a (2a > 0)
Eje menor: Longitud 2b (2b > 0)
La ecuación de la elipse con focos en los puntos F’ (-c, 0) y F(c, 0), eje mayor
2a, y eje menor 2b, viene dada por la ecuación
x2 y2
+
= 1 , y queda
a2 b2
representada en la elipse anterior.
Resolución gráfica:
a)Para la representación de una elipse los primero es dibujar los ejes
mayor(focal) y menor(secundario). Posteriormente colocamos los focos y el
centro según los valores obtenidos en la resolución del problema, realizado en
el siguiente apartado. El achatamiento de la elipse viene dado por la letra “e”
calculada también en el siguiente apartado:
b)Esta representación se realizaría como una circunferencia ya que, tras las
resolución del problema obtenemos que la excentricidad es cero y que sus
semiejes focales y secundarios tienen el mismo valor, por lo que nos expresa
que estamos ante una circunferencia y no una elipse como dice el enunciado.
Cálculo:
a) 12x 2 + 36y 2 = 432
1.Pasamos a la ecuación reducida para hallar los parámetros que se piden:
12x 2 + 36y 2 432
=
432
432
2
2
12x
36y
+
=1
432
432
x2 y2
+
=1
36 12
a 2 = 36 ⇒ a = 6
b 2 = 12 ⇒ b = 3.4
2.Gracias a la relación entre los parámetros de la elipse despejamos el último
que nos queda por hallar:
a2 = b2 + c 2
c 2 = a2 − b2
c 2 = 36 − 12 = 24
c = 4.89
3.Despejamos la excentricidad sabiendo que se define como el cociente entre
la semidistancia focal(c) y el semieje mayor(a):
e=
c
24
=
a
6
4.Las soluciones finales de todas las componentes de este apartado están en
el último punto bajo el título de “soluciones”.
b) x 2 + y 2 = 5
1.En este apartado se puede despejar directamente los parámetros pedidos de
la ecuación dada:
x2 + y2 = 5
a2 = 5 ⇒ a = 5
b2 = 5 ⇒ b = 5
c 2 = a2 − b2 ⇒ c = 0
e=
c
0
=
=0
a
5
2. En este caso sería una circunferencia ya que su excentricidad es cero.
Es una circunferencia de Centro C(0, 0) y radio r= 5
3.Las soluciones finales de todas las componentes de este apartado están en
el último punto bajo el título de “soluciones”.
Soluciones:
a = 6, b = 12 , c = 24 ,
a)
e=
24
6
b) Es una circunferencia de Centro C(0, 0) y radio r=
5