CRITERIOS PARA EL C´ALCULO DE LÍMITES DE SUCESIONES

CRITERIOS PARA EL C´ALCULO DE LÍMITES DE SUCESIONES

CRITERIOS PARA EL CÁLCULO DE LÍMITES DE SUCESIONES
Formas indeterminadas
∞ − ∞, 0 × ∞,
∞ 0 ∞ 0
, , 1 , 0 , ∞0
∞ 0
.
Expresiones racionales
Consideremos una sucesión de término general
rn =
ap np + ap−1 np−1 · · · + a0
entonces,
bq nq + bq−1 nq−1 · · · + b0
1. si p < q, lim rn = 0
n→∞
n→∞
ap
bq
3. si p > q y
ap
bq
> 0, lim rn = +∞
n→∞
4. si p > q y
ap
bq
< 0, lim rn = −∞
2. si p = q, lim rn =
n→∞
Lı́mites indeterminados de la forma 1∞
lim (xn −1)yn
Si lim xn = 1 y lim yn = ∞, lim xn yn = e n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
Criterio de Stolz
Si existe
lim
n→∞
an+1 − an
= λ,
bn+1 − bn
entonces
lim
n→∞
an
=λ
bn
en los siguientes casos:
(i) si lim an = lim bn = 0 y (bn ) es monótona, o
n→∞
n→∞
(ii) si la sucesión bn es monótona y divergente.
Regla del bocadillo
Sean (xn ), (yn ), (zn ) tres sucesiones para las que existe un n0 ∈ N tal que
(i) xn ≤ yn ≤ zn para todo n ≥ n0
(ii) lim xn = lim yn = ` ∈ R ∪ ±∞.
n→∞
n→∞
Entonces lim yn = `.
n→∞
1
Equivalencias útiles
Si (n ) es un infinitésimo (n ) → 0:
1) ln (1 + n ) ∼ (n )
2) (n ) ∼ sen (n ) ∼ tg (n ) ∼ arcsen (n ) ∼ arctg (n )
3) 1 − cos (n ) ∼ 21 (n )2
(4) a(n ) − 1 ∼ (n ) ln a
(5) (1 + n )p − 1 ∼ p (n )
Si (n) infinito n → +∞
1) 1 + 12 + . . . n1 ∼ ln n
√
2) n! ∼ nn e−n 2πn (Fórmula de Stirling)
√
3) n n! ∼ ne
4) ln (n!) ∼ n ln n
Si lim an = 1
n→∞
1) ln (an ) ∼ (an ) − 1
√
2) n a − 1 ∼ n1 ln a
Criterio de la media aritmética
Si lim xn = ` > 0, entonces la sucesión
n→∞
mn =
x1 + · · · + xn
n
es convergente y lim mn = `.
n→∞
Criterio de la media geométrica
Si lim xn = ` > 0, entonces la sucesión
n→∞
gn =
√
n
x1 . . . xn
es convergente y lim gn = `.
n→∞
2