INTERROGACI´ON 3, MAT 2225: TEORÍA DE N´UMEROS Facultad

INTERROGACI´ON 3, MAT 2225: TEORÍA DE N´UMEROS Facultad

INTERROGACIÓN 3, MAT 2225: TEORÍA DE NÚMEROS
Facultad de Matemáticas, PUC - Profesor: Ricardo Menares - Ayudante: Pablo Garcı́a.
La duración máxima de esta interrogación es de 3 horas. Cada una de las
tres preguntas tiene el mismo puntaje. No se permiten libros ni apuntes. Justifique claramente sus razonamientos, indicando, si viene al caso, los teoremas
del curso que utiliza.
(1) Sea q un número primo. Para n un entero positivo tal que q - n, denotamos por
ordq (n) el orden de n módulo q.
(a) Describa un algoritmo que, dados q y n, calcule ordq (n) en O (log n)q(log q)3
operaciones bit
(b) Sea
Y
R(n, q) =
pordq (p) .
p≤n
p primo 6=q
Muestre que existe una constante c > 0 tal que log R(n, q) ≤ cqn, para
todo entero positivo n y todo q primo
(c) Suponga que el tiempo necesario para calcular el k-ésimo primo es O(1). De-
scriba un algoritmo que, dados q y n, calcule R(n, q) en O n2 (log n)q 2 (log q)3
operaciones bit
(2) Sea n > 0 un entero. Sea T (n) el máximo número de operaciones bit necesarias
para multiplicar dos enteros de a lo más n bits (o dı́gitos en binario). El objetivo
de este problema es mostrar que
log 2
T (n) = O(n1+ log 3 ),
(0.1)
n → ∞.
(a) Sea u un entero de a lo más 3n bits. Muestre que existen enteros U0 , U1 , U2 ,
de a lo más n bits, tales que
u = U2 22n + U1 2n + U0 .
(0.2)
(b) Sea v otro entero de a lo más 3n bits y escribamos v = V2 22n + V1 2n + V0 ,
análogamente a (0.2). Sean
U (x) = U2 x2 + U1 x + U0 ,
V (x) = V2 x2 + V1 x + V0 ,
W (x) = U (x)V (x),
de manera que uv = W (2n ). Escribimos
W (x) = W4 x4 + W3 x2 + W2 x2 + W1 x + W0 .
Sean




W (0)
W0
 W (1) 
 W1 




 , E2 =  W2  .
W
(2)
E1 = 




 W (3) 
 W3 
W (4)
W4
Encuentre una matriz A ∈ M5×5 (Z) independiente de u, v, n tal que E1 =
AE2 .
(c) Asuma que A es invertible y que A−1 se puede calcular en tiempo O(1). Use
las partes anteriores para mostrar que existe una constante c > 0 tal que
T (3n) ≤ 5T (n) + cn,
∀n ∈ N.
(d) Demuestre (0.1). Indicación: note que la última desigualdad es equivalente a
Sigue atrás
1
5 n + c0 , ∀n ∈ N,
g(n) ≤ g
3
3
donde g(n) := T (n)/n y c0 = c/3.
(3) Sea n un entero positivo y consideremos el polinomio w(x) = xn − 1. Sea p un
número primo tal que p - n y tomemos un cuerpo finito F ⊇ Fp tal que existen
a1 , a2 , . . . , an ∈ F con
n
Y
w(x) =
(x − ai ) en F [x].
i=1
(a) Muestre que ai 6= aj si i 6= j, para todo i, j = 1, . . . , n
(b) Muestre que existe β ∈ F tal que
{a1 , a2 , . . . , an } = {1, β, β 2 , . . . , β n−1 }.
(c) Sea Φd (x) ∈ Z[x] el d-ésimo polinomio ciclotómico (es decir, Φd (x) es mónico,
irreductible en Z[x] y tal que
{ζ ∈ C : Φd (ζ) = 0} = { raı́ces d − ésimas primitivas de la unidad}.)
Denotamos por fd (x) ∈ Fp [x] el polinomio obtenido al reducir módulo p los
coeficientes de Φd (x) (es decir, fd (x) ≡ Φd (x) mod p). Sea
m
Y
fd (x) =
hi (x),
i=1
donde cada hi (x) ∈ Fp [x] es un polinomio mónico, la descomposición en
factores irreductibles de fd (x) en Fp [x]. Muestre que hi (x) 6= hj (x) si i 6= j,
para todo i, j = 1, . . . , n.
(d) Suponga que p es una raı́z primitiva módulo d. Demuestre que fd (x) es
irreductible (en otras palabras, m = 1).
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