Métodos Matemáticos de la Fısica II Curso: R. Benguria, Se

Métodos Matemáticos de la Fısica II Curso: R. Benguria, Se

Facultad de Fı́sica, P. Universidad Católica de Chile
FIZ–2520: Métodos Matemáticos de la Fı́sica II
Curso: R. Benguria, Semestre Otoño 2003
Tarea # 7
Fecha de Entrega: Martes 20 de mayo, 2003.
Observación: Elija uno entre el 42), 43) y 44); haga el 45), el 46b), el 47) y el 48)
42. Algunos ejemplos de Expansiones de Fourier–Bessel. Demuestre los siguientes desarrollos en serie:
(aquı́, α denota cualquier raı́z positiva de J0 (x).
P J0 (αx)
i) 1 = 2 α αJ
.
1 (α)
ii) x2 = 2
α2 −4
α α3 J1 (α) J0 (αx).
P
iii) J0 (kx) = 2J0 (k)
iv) x = 2
P h
α
v) −logx = 2
α J0 (αx)
α (α2 −k2 )J1 (α) .
P
1
αJ1 (α)
−
1
α3 J12 (α)
Rα
0
i
J0 (t) dt J0 (αx).
J0 (αx)
α α2 J1 (α) .
P
43. Mas ejemplos de Expansiones de Fourier–Bessel. Si ahora α denota cualquier raı́z positiva de J1 (x),
demuestre que
P
i) x2 = 12 + 4 α αJ20J(αx)
.
0 (α)
ii) (1 − x2 )2 =
1
3
− 64
J0 (αx)
α α4 J0 (α) .
P
44. Aún mas ejemplos de Expansiones de Fourier–Bessel. Si ahora α denota cualquier raı́z positiva de
J0 (x), demuestre que para todo 0 ≤ r < a,
a2 − r2 = 8 a2
X
α
αr
1
J0 ( ).
α3 J1 (α)
a
Use este resultado para encontrar ls solución de le ecuación de ondas en una membrana circular, de radio
a, con condiciones de borde de Dirichlet y con las condiciones iniciales: u(r, θ, 0) = 0 y ut (r, θ, 0) = a2 −r2 .
45) [Integral de Lipschitz: transformada de Laplace de J0 (x)]. Demuestre que (si a > 0),
Z ∞
1
e−ax J0 (bx) dx = √
.
2
a + b2
0
Nota: Utilice: a) que
Z ∞
a
,
e−ax cos(bx) dx = 2
a
+
b2
0
para a > 0, b) la representación integral para J0 encontrada en el problema 40) de la tarea anterior.
46) a) Demuestre que
Z
∞
J1 (x) dx = 1.
0
1
2
y
∞
Z
J1 (x)
dx = 1.
x
0
b) Si u, v, y w denotan las integrales,
Z
∞
xJ (x)
p 0
dx,
(a2 + x2 )
∞
J 0 (x)
p 0
dx,
(a2 + x2 )
xJ 00 (x)
p 0
dx,
(a2 + x2 )
0
Z
0
∞
Z
0
respectivamente, muestre que
u + v + w = 0,
du
+ av + 1 = 0,
da
y
a
A partir de estas ecuaciones demuestre que
Z ∞
0
y
Z
∞
xJ0 (x)
p
(a2 + x2 )
J1 (x)
p
0
dv
− w = 0.
da
(a2
+
x2 )
dx = e−a ,
dx =
1
1 − e−a .
a
47) Encuentre la solución u(r, θ, t) de la ecuación del calor
ut = K∇2 u,
en el semicilindro infinito 0 ≤ r ≤ R, 0 < θ < π, con las condiciones de contorno u(r, 0, t) = 0,
u(r, π, t) = 0 para 0 ≤ r < R, t > 0, u(R, θ, t) = 0, para 0 < θ < π, y la condición inicial u(r, θ, 0) = rsenθ.
48) Una partı́cula de masa m está contenida en el interior de un cilı́ndro recto circular de radio R y
altura H. La partı́cula está descrita por una función de ondas que satisface la ecuación de Schrödinger
~2
∆ψ(r, θ, z) = Eψ(r, θ, z),
2m
con la condición que ψ se anula en la superficie del cilı́ndro (i.e., tanto en las tapas como en el manto).
Encuentre los valores posibles de E.
−
Referencias
1. Mark A. Pinsky, Partial Differential Equations and Boundary-Value Problems with Applications,
Second Edition, Mc. Graw–Hill, NY, 1991.
2. Frank Bowman, Introduction to Bessel Functions, Dover Publications, NY, 1958.
3
Notas históricas: Rudolf Lipschitz, nació el 14 de Mayo de 1832 en Königsberg (actualmente Kaliningrado).
Estudió en la Universidad de Königsberg bajo la supervisión de Franz Neumann, y luego en la Universidad
de Berlin bajo la supervisión de Dirichlet. Obtuvo su doctorado el 9 de Agosto de 1853. En 1857 llegó a
ser Privatdozent en la Universidad de Berlin, y en 1862, profesor extraordinario en la Universidad de Breslau.
Finalmente fue nombrado profesor ordinario en la Universidad de Bonn en 1864, donde se mantuvo el resto de
su carrera. Durante su carrera realizó importantes investigaciones sobre Teorı́a de Números, Funciones de Bessel
y Series de Fourier, Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y Parciales, Mecánica Analı́tica y Teorı́a del Potencial.
Lipschitz es recordado especialmente por la condición que lleva su nombre y que garantiza la existencia de una
solución única para la ecuación diferencial y 0 = f (x, y). Redescubrió las algebras de Clifford y fue el primero
en usarlas para obtener representaciones del Grupo de Rotaciones en Espacios Euclideanos, introduciendo de
este modo los Grupos de Spin, Spin(n). Lipschitz murió en Bonn el 7 de Octubre de 1903. (ver http://wwwgroups.dcs.st-andrews.ac.uk/ history/Mathematicians/Lipschitz.html).
c
Rafael
Benguria D., 2003